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拓扑学是数学的一个分支，有时被称为 “橡胶板几何”，在这个分支中，如果两个物体可以通过弯曲、扭曲、拉伸和收缩等空间运动连续变形为彼此，同时不允许撕开或粘在一起的部分，则被认为是等效的。

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数学代写|拓扑学代写Topology代考|Chern numbers

Consider a compact two-dimensional manifold $M$ and a map to the two-sphere, $\phi: M \rightarrow S^{2}$. In other words, for $\boldsymbol{r} \in M, \phi(\boldsymbol{r})=\left(\phi_{x}(\boldsymbol{r}), \phi_{y}(\boldsymbol{r})\right)$, with $\phi_{x}^{2}+\phi_{y}^{2}=1$, where $\boldsymbol{r}=(x, y)$ in some coordinate system on $M$. Something that looks suspiciously like a curvature tensor can be defined, $F_{i j}=\partial_{i} \phi_{j}-\partial_{j} \phi_{i}$, and from this curvature we may construct a topological invariant:
$$
c_{1}=\frac{1}{2 \pi} \int_{M} d x d y F_{x y} .
$$
This is the first Chern number, and it takes values in the integers. Notice that equation (5.14) looks very reminiscent of the expression for the Euler characteristic as an integral over Gaussian curvature (the Gauss-Bonnet theorem); the Chern number is in fact one of many generalizations of the Euler characteristic.

Even for non-compact spaces, the integral defining the Chern number may converge if the curvature vanishes at large distances. It is often convenient to replace non-compact two-dimensional surfaces by equivalent compact surfaces. For example, the plane $M=\mathbb{R}^{2}$ can be compactified into a two-sphere by, collapsing the circle at infinity to a point, effectively sewing together the ‘edges’ at infinity. Topologically, this means identifying $M$ with a two-sphere, $M \sim S^{2}$, so that the mapping $\phi$ takes spheres to spheres, $\phi: S^{2} \rightarrow S^{2}$. In the notation of chapter 3, the compactification can be written $S^{2} \sim M / \partial M . c_{1}$ essentially counts the number of times the first sphere wraps around the second, and its integer values will characterize the second homotopy class, $\pi_{2}\left(S^{2}\right)$.

In physical applications, $\phi(\boldsymbol{r})$ will often represent a point on the Bloch or Poincaré sphere, $x, y$ will be momentum components, and the two dimensional manifold $M$ will be a torus $T^{2}$ representing a Brillouin zone. In this context, $c_{1}$ is often referred to as the TKNN invariant (after Thouless, Kohomoto, Nightingale, and den Nijs [1]); it turns out to be important in the quantum Hall effect, and it will make an appearance in chapter $10 .$

数学代写|拓扑学代写Topology代考|Pontrjagin index

The second and third homotopy classes of the two-spheres are both labeled by integers:
$$
\pi_{2}\left(S^{2}\right)=\pi_{3}\left(S^{2}\right)=\mathbb{Z} .
$$
These labels are known, respectively, as the Pontrjagin and Hopf indices, and are discussed, respectively, in this section and the next.

Consider a map $\boldsymbol{\phi}: I \times I \rightarrow S^{2}$. This could, for example, represent a scalar field with internal degrees of freedom forming a three-dimensional vector lying on the unit sphere in the internal space. Such internal variables could be the three ‘color’ degrees of freedom in the theory of strong nuclear interactions or the components of a polarization vector in optics. The condition that the field be a unit vector in the internal space is written as $\phi \cdot \phi=1$ or $\phi_{a} \phi^{a}=1$, where the dot product and the latin indices are in the internal target space of the mapping. Components in the original square $I \times I$ will be given Greek indices. Let $x^{\mu}$ with $\mu=1,2$ be coordinates on the unit square $I \times I$. We can compactify the square by collapsing all the points on the boundary to a single point, thereby identifying the square with the two-sphere. Therefore, $\boldsymbol{\phi}$ can be viewed as a map between spheres: $\boldsymbol{\phi}: S^{2} \rightarrow S^{2}$, thereby defining a homotopy class in $\pi_{2}\left(S^{2}\right)$.
Define a quantity
$$
Q=\frac{1}{8 \pi} \int_{I \times I} \epsilon^{\mu \nu} \boldsymbol{\phi} \cdot\left(\partial_{\mu} \boldsymbol{\phi} \times \partial_{\nu} \boldsymbol{\phi}\right) d x^{1} d x^{2}=\frac{1}{4 \pi} \int_{I \times I} A,
$$
where
$$
A=\phi \cdot\left(\frac{\partial \phi}{\partial x^{1}} \times \frac{\partial \phi}{\partial x^{2}}\right) d x^{1} \wedge d x^{2}=\frac{1}{2} \epsilon_{u b \iota} \phi^{a} \partial_{\mu} \phi^{b} \partial_{\nu} \phi^{c} d^{\mu} \wedge d x^{\nu}
$$

拓扑学代考

数学代写|拓扑学代写Topology代考|Chern numbers

考虑一个紧凑的二维流形 $M$ 和两个球体的地图， $\phi: M \rightarrow S^{2}$. 换句话说，对于 $\boldsymbol{r} \in M, \phi(\boldsymbol{r})=\left(\phi_{x}(\boldsymbol{r}), \phi_{y}(\boldsymbol{r})\right)$ ，和 $\phi_{x}^{2}+\phi_{y}^{2}=1$ ，在哪里 $\boldsymbol{r}=(x, y)$ 在某个坐标系 上 $M$. 可以定义看起来像曲率张量的东西， $F_{i j}=\partial_{i} \phi_{j}-\partial_{j} \phi_{i}$ ，并且从这个曲率我们可以 构造一个拓扑不变量:
$$
c_{1}=\frac{1}{2 \pi} \int_{M} d x d y F_{x y} .
$$
这是第一个陈数，它采用整数值。请注意，方程 (5.14) 看起来很像欧拉特性的表达式，它是 高斯曲率上的积分（高斯-博内定理）；陈数实际上是欧拉特征的许多推广之一。
即使对于非尓致空间，如果曲率在大距离处消失，定义陈数的积分也可能会收玫。用等效的 紧致曲面代菖非览致二维曲面通常很方便。例如，飞机 $M=\mathbb{R}^{2}$ 可以通过将无限远的圆折 识别 $M$ 有两个球体, $M \sim S^{2}$, 使得映射 $\phi$ 将球体带到球体， $\phi: S^{2} \rightarrow S^{2}$. 在第 3 章的符 号中，㬌化可以写成 $S^{2} \sim M / \partial M \cdot c_{1}$ 本质上计算第一个球体环绕第二个球体的次数，其 整数值将表征第二个同伦幂, $\pi_{2}\left(S^{2}\right)$.
在物理应用中， $\phi(\boldsymbol{r})$ 通常将表示布洛赫或庞加莱球上的一个点， $x, y$ 将是动量分量，以及二 维流形 $M$ 将是一个圆环 $T^{2}$ 代表布里渊区。在这种情况下， $c_{1}$ 通常被称为 TKNN 不变量（在 Thouless、Kohomoto、Nightingale 和 den Nijs [1] 之后) ；事实证明它在量子霍尔效应 中很重要，它将出现在章节中 10 .

数学代写|拓扑学代写Topology代考|Pontrjagin index

双球体的第二和第三同伦坣都用整数标记:
$$
\pi_{2}\left(S^{2}\right)=\pi_{3}\left(S^{2}\right)=\mathbb{Z} .
$$
这些标签分别称为 Pontrjagin 和 Hopf 索引，并在本节和下一节中分别讨论。
考虑一张地图 $\phi: I \times I \rightarrow S^{2}$. 例如，这可以表示具有内部自由度的标量场，形成一个位 于内部空间的单位球面上的三维矢量。这种内部变量可以是强核相互作用理论中的三个“颜 色”自由度，也可以是光学中偏振矢量的分量。场为内部空间单位向量的条件写为 $\phi \cdot \phi=1$ 或者 $\phi_{a} \phi^{a}=1$ ，其中点积和拉丁索引位于映射的内部目标空间中。原始正方形中的组件 $I \times I$ 将获得烯腊指数。让 $x^{\mu}$ 和 $\mu=1,2$ 是单位正方形上的坐标 $I \times I$. 我们可以通过将边 界上的所有点折䇥为一个点来压缩正方形，从而将正方形帜别为两个球体。所以， $\phi$ 可以看 作是球体之间的地图: $\phi: S^{2} \rightarrow S^{2}$ ，从而定义了一个同伦类 $\pi_{2}\left(S^{2}\right)$. 定义数量
$$
Q=\frac{1}{8 \pi} \int_{I \times I} \epsilon^{\mu \nu} \phi \cdot\left(\partial_{\mu} \phi \times \partial_{\nu} \phi\right) d x^{1} d x^{2}=\frac{1}{4 \pi} \int_{I \times I} A
$$
在哪里
$$
A=\phi \cdot\left(\frac{\partial \phi}{\partial x^{1}} \times \frac{\partial \phi}{\partial x^{2}}\right) d x^{1} \wedge d x^{2}=\frac{1}{2} \epsilon_{u b l} \phi^{a} \partial_{\mu} \phi^{b} \partial_{\nu} \phi^{c} d^{\mu} \wedge d x^{\nu}
$$

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金融工程代写

金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题，以及设计新的和创新的金融产品。

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语 广义线性模型（GLM）通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归，以及方差分析和方差分析（仅含固定效应）。

有限元方法代写

有限元方法（FEM）是一种流行的方法，用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法，用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程（即一些边界值问题）。为了解决一个问题，有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分，称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的，它是通过构建对象的网格来实现的：用于求解的数值域，它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统，以模拟整个问题。然后，有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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随机分析代写

随机微积分是数学的一个分支，对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。

时间序列分析代写

随机过程，是依赖于参数的一组随机变量的全体，参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现，其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值（如1秒，5分钟，12小时，7天，1年），因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中，往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录，以得到其自身发展的规律。

回归分析代写

多元回归分析渐进（Multiple Regression Analysis Asymptotics）属于计量经济学领域，主要是一种数学上的统计分析方法，可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系，在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。