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拓扑学是数学的一个分支，有时被称为 “橡胶板几何”，在这个分支中，如果两个物体可以通过弯曲、扭曲、拉伸和收缩等空间运动连续变形为彼此，同时不允许撕开或粘在一起的部分，则被认为是等效的。

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• Longitudinal Data Analysis 纵向数据分析
• Foundations of Data Science 数据科学基础

数学代写|拓扑学代写Topology代考|Winding number

Consider a two-dimensional surface $\mathcal{S}$ punctured at point $P$ (figure $5.4$ ). In other words, $\mathcal{S}$ has a hole due to the removal of point $P$ from the space. The remaining space is denoted $\mathcal{S}^{\prime}=\mathcal{S}-{P}$. Take some starting point $x_{0} \in \mathcal{S}^{\prime}$, and consider some closed path $\gamma: I \rightarrow \mathcal{S}^{\prime}$, where $I=[0,1]$ is the unit interval, with $\gamma(1)=\gamma(0)$. Drawing a line $L$ from $P$ to $x_{0}$, we may define the angle of any point $\gamma(s)$ on the curve from $L$. $\theta$ may be thought of as a coordinate on the circle, $S^{1}$, and as one progresses along $\gamma(s)$, this angle may not be single-valued, since $\theta$ and $\theta+2 \pi$ represent the same point. We therefore unwrap the circle to form a line $\mathbb{R}$, as in figure $5.5$, allowing $\theta$ to have any angle from 0 to $\infty$. (In the terminology of fiber bundles (chapter 4), the new $\mathbb{R}$-valued function $\tilde{\theta}(s)$ is a lift of the multivalued function $\theta(s)$. $\theta$ and $\tilde{\theta}$ are strictly speaking different functions, but henceforth we will simply denote both functions as $\theta$.)

As closed loop $\gamma(s)$ completes its circuit from $s=0$ to $s=1$, the angle $\theta(s)$ evolves from an initial value $\theta(0)$ to final value $\theta(1)$. The winding number of path $\gamma$ about point $P$ is then defined to be
$$
n(\gamma, P)=\frac{1}{2 \pi}[\theta(1)-\theta(0)]=\frac{1}{2 \pi} \int_{0}^{1} \frac{d \theta}{d s} d s .
$$
The winding number is clearly an integer, since when the curve returns to its starting point it must end up at an angle that differs from its initial value by an integer multiple of $2 \pi$. Equally clear is the intuitive meaning of $n$ : it counts the number of times the curve encloses $P$ before returning to its starting point, with $n>0$ for counterclockwise windings and $n<0$ for clockwise.

An important theorem provides the connection between winding number and homotopy: Two loops $\gamma_{1}$ and $\gamma_{2}$ in $\mathcal{S}^{\prime}$ are homotopic to each other if and only if they have the same winding number about $P$. In other words, the winding number can be used to label the first homotopy class.

This theorem can be generalized to more complicated situations. For example, $\mathcal{S}$ may be punctured at multiple points, $P_{j}$, for $j=1, \ldots, n$. Every curve will then have multiple winding numbers: there will be a winding number $n_{j}(\gamma)=n\left(\gamma, P_{j}\right)$ about each puncture. Then two loops in the punctured space will be homotopic if and only if their complete set of winding numbers $\left{n_{1}, \ldots, n_{n}\right}$ are the same.

数学代写|拓扑学代写Topology代考|Index of zero points of vector fields

Let $U$ be an open set of a topological space and let $V$ be a vector field on $U$. A zero of $\boldsymbol{V}$ is a point $P \in U$ where all the components of $\boldsymbol{V}$ vanish, $\boldsymbol{V}=0$. A zero at $P$ is isolated if there is a neighborhood of $P$ that contains no other zeros. Let $\mathcal{Z}$ denote the set of zeros and $U^{\prime}=U-\mathcal{Z}$ be the complementary set of points in $U$ where the field is nonvanishing.

Consider a closed loop $\gamma$ that encloses isolated zero $P$ a single time in the counterclockwise direction. We can define the vector field along the curve, $\boldsymbol{V}{\gamma}(s) \equiv \boldsymbol{V}(\gamma(s))$. The index, $\mathcal{I}{P}(\boldsymbol{V})=\operatorname{Index}_{P}(\boldsymbol{V})$, of the vector field $\boldsymbol{V}$ about zero $P$ is given by the number of rotations of the vector field $V_{\gamma}(s)$ about $P$ as one circulates counterclockwise along $\gamma(s)$. Examples are shown in figure 5.6. If the rotation of the vector is counterclockwise, the index is positive; for clockwise rotations it is negative. If $P$ is the only singular point, then $V_{\gamma}(s)$ is independent of the chosen path (as long as the path completes one circuit of $P$ ), so the dependence on $\gamma$ is usually dropped. If there are multiple singular points, then the index of the field is the sum of the indices at all of the singular points, $\mathcal{I}=\sum_{p} \mathcal{I}_{p}$

Vector fields can always be related to differential operators (see chapter 4), so that index theorems, such as the Atiyah-Singer theorem or Riemann-Roch theorem which involve various types of generalized indices, provide linkages between (i) differential equations on a space, (ii) the possible vector fields on the space, (iii) and the topology of the space (sce scction 8). In chapter 6 scveral topological numbers relevant to optics will be defined which can be viewed as indices of the type defined above.

拓扑学代考

数学代写|拓扑学代写Topology代考|Winding number

考虑一个二维表面 $\mathcal{S}$ 点刺破 $P$ (数字 5.4) 。换句话说， $\mathcal{S}$ 由于去除点而有孔 $P$ 从空间。剩余 空间表示 $\mathcal{S}^{\prime}=\mathcal{S}-P$. 采取一些起点 $x_{0} \in \mathcal{S}^{\prime}$ ，并考虞一些封闭路径 $\gamma: I \rightarrow \mathcal{S}^{\prime}$ ，在哪 里 $I=[0,1]$ 是单位区间，其中 $\gamma(1)=\gamma(0)$. 画一条线 $L$ 从 $P$ 至 $x_{0}$ ，我们可以定义任意点 的角度 $\gamma(s)$ 从曲线上 $L . \theta$ 可以认为是圆上的坐标， $S^{1}$ ，并且随着一个人的进步 $\gamma(s)$ ，这个 角度可能不是单值的，因为 $\theta$ 和 $\theta+2 \pi$ 代表同一个点。因此，我们展开圆寿以形成一条线 $\mathbb{R}$ ，如图5.5, 允许 $\theta$ 从 0 到任意角度 $\infty$. (在纤维束的术语中 (第 4 章)，新的 $\mathbb{R}$ 值函数 $\tilde{\theta}(s)$ 是多值函数的提升 $\theta(s) \cdot \theta$ 和 $\tilde{\theta}$ 严格来说是不同的函数，但此后我们将简单地将这两个函数表 示为 $\theta$.)
作为闭环 $\gamma(s)$ 从完成其电路 $s=0$ 至 $s=1$, 角度 $\theta(s)$ 从初始值演变而来 $\theta(0)$ 到最終值 $\theta(1)$. 路径的蜿蜒数 $\gamma$ 关于点 $P$ 然后定义为
$$
n(\gamma, P)=\frac{1}{2 \pi}[\theta(1)-\theta(0)]=\frac{1}{2 \pi} \int_{0}^{1} \frac{d \theta}{d s} d s .
$$
绕组数显然是一个整数，因为当曲线返回其起点时，它必须以与其初始值相差整数倍的角度 结束 $2 \pi$. 同样清楚的是 $n$ : 它计算曲线包围的次数 $P$ 在返回其起点之前，与 $n>0$ 对于逆时 针绕组和 $n<0$ 顺时针方向。
一个重要的定理提供了绕组数和同伦之间的联系: 两个循环 $\gamma_{1}$ 和 $\gamma_{2}$ 在 $\mathcal{S}^{\prime}$ 当且仅当它们具有 相同的绕组数时，它们是彼此同伦的 $P$. 换句话说，绕组数可以用来标记第一同伦类。
这个定理可以推广到更复杂的情况。例如， $\mathcal{S}$ 可能在多个点被刺穿， $P_{j}$ ，为了 $j=1, \ldots, n$. 然后每条曲线将有多个绕组数: 会有一个绕组数 $n_{j}(\gamma)=n\left(\gamma, P_{j}\right)$ 关于每 次穿刺。那么在被刺穿的空间中的两个环将是同伦的当且仅当它们的完整的绕组数集
left{{_{{1}, Vdots, n_{n}}right}} 是相同的。

数学代写|拓扑学代写Topology代考|Index of zero points of vector fields

让 $U$ 是一个拓扑空间的开集，令 $V$ 成为一个向量场 $U$.一个零 $V$ 是一个点 $P \in U$ 其中的所有 组件 $\boldsymbol{V}$ 消失， $\boldsymbol{V}=0$. 一个零在 $P$ 如果附近有 $P$ 不包含其他零。让 $\mathcal{Z}$ 表示䨐的集合和 $U^{\prime}=U-\mathcal{Z}$ 是互补的点集 $U$ 场不消失的地方。
考虑一个闭环 $\gamma$ 包含孤立的零 $P$ 逆时针方向一次。我们可以定义沿曲线的向量场， $\boldsymbol{V} \gamma(s) \equiv \boldsymbol{V}(\gamma(s))$. 该指数, $\mathcal{I} P(\boldsymbol{V})=\operatorname{Index}{P}(\boldsymbol{V})$, 的向量场 $\boldsymbol{V}$ 大约为零 $P$ 由向量场 的旋转次数给出 $V{\gamma}(s)$ 关于 $P$ 当一个人逆时针循环 $\gamma(s)$. 示例如图 $5.6$ 所示。如果向量逆时 于所选路径 (只要路径完成一圈 $P$ )，所以依赖于 $\gamma$ 通常会被丢弃。如果有多个奇异点，则该 字段的索引是所有奇异点处的索引之和, $\mathcal{I}=\sum_{p} \mathcal{I}_{p}$
矢量场总是与微分算子相关（见第 4 章)，因此索引定理，例如涉及各种类型的广义支引的 Atiyah-Singer 定理或 Riemann-Roch 定理，提供了（i）微分方程之间的联系空间，(ii) 空 间上可能的向量场，(iii) 和空间的拓扑结构（第 8 节) 。在第 6 章中，将定义与光学相关的 多个拓扑数，可以将其视为上述类型的䋈引。

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金融工程代写

金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题，以及设计新的和创新的金融产品。

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语 广义线性模型（GLM）通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归，以及方差分析和方差分析（仅含固定效应）。

有限元方法代写

有限元方法（FEM）是一种流行的方法，用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法，用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程（即一些边界值问题）。为了解决一个问题，有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分，称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的，它是通过构建对象的网格来实现的：用于求解的数值域，它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统，以模拟整个问题。然后，有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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随机分析代写

随机微积分是数学的一个分支，对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。

时间序列分析代写

随机过程，是依赖于参数的一组随机变量的全体，参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现，其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值（如1秒，5分钟，12小时，7天，1年），因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中，往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录，以得到其自身发展的规律。

回归分析代写

多元回归分析渐进（Multiple Regression Analysis Asymptotics）属于计量经济学领域，主要是一种数学上的统计分析方法，可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系，在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。