数学代写|信息论代写information theory代考|CPSC530

Doug I. Jones

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数学代写|信息论代写information theory代考|The General Expression for the Entropy of a $1 D$ Fluid

In Sect. 2.2 we derived a general expression for the change in the entropy of a system when the intermolecular interactions are turned on:
$$\Delta S=-\int \operatorname{Pr}\left(R^N\right) \log g\left(R^N\right) d R^N=-I(1 ; 2 ; \ldots ; N)$$
Here, $\operatorname{Pr}\left(R^N\right)$ is the probability density of finding the system of $N$ simple-spherical particles at a specific configuration $R^N=R_1, R_2, \cdots, R_N$, where $R_i$ is the location of particle $i$. The correlation function among $N$ particles defined by:
$$g\left(R^N\right)=\frac{\operatorname{Pr}\left(R^N\right)}{\prod_{i=1}^N \operatorname{Pr}\left(R_i\right)}$$
where $\operatorname{Pr}\left(R_i\right) d R_i$ is the probability of finding particle $i$ within the element of volume $d R_i=\left(d x_i d y_i d z_i\right)$ at $R_i$.

If we take the Boltzmann constant $k_B$ equal to 1 , and use the logarithm to the base 2, we may identify $\Delta S$ with the mutual information (MI) among all the particles. Since the MI must always be positive the change in entropy in Eq. (2.73) is always negative.

数学代写|信息论代写information theory代考|Aqueous Solutions of Inert Gases

For a 1D system of particles the expression for the entropy of the system is much simpler. We skip the derivation here and present the final result (assuming that $k_B=1$ and the logarithm is to the base 2). For details, see Ben-Naim [7, 12].
$$S=-N \log \Lambda-N T \frac{\partial \log \Lambda}{\partial T}-N \int_0^{\infty} \operatorname{Pr}(r) \log \operatorname{Pr}(r) d r$$
In Eq. (2.75), $\Lambda$ is the 1D momentum partition function(PF) of the system, defined by:
$$\Lambda=\frac{h}{\sqrt{2 \pi m k_B T}}$$
where $h$ is the Planck constant, $k_B$ the Boltzmann constant, $m$ the mass of the particles and $T$ the absolute temperature.
$\operatorname{Pr}(r) d r$ is the probability of finding a pair of nearest-neighbor particles at a distance between $r$ and $r+d r$. This distribution density is given by:
$$\operatorname{Pr}(r)=\frac{\exp [-\beta p r-\beta U(r)]}{\int \exp [-\beta p r-\beta U(r)] d r}$$
where, $p$ is the pressure, $\beta=\frac{1}{T}$ (note that $k_B=1$ ), and $U(r)$ is the pair interaction potential.

信息论代写

数学代写|信息论代写information theory代考|The General Expression for the Entropy of a $1 D$ Fluid

$$\Delta S=-\int \operatorname{Pr}\left(R^N\right) \log g\left(R^N\right) d R^N=-I(1 ; 2 ; \ldots ; N)$$

$$g\left(R^N\right)=\frac{\operatorname{Pr}\left(R^N\right)}{\prod_{i=1}^N \operatorname{Pr}\left(R_i\right)}$$

数学代写|信息论代写information theory代考|Aqueous Solutions of Inert Gases

$$S=-N \log \Lambda-N T \frac{\partial \log \Lambda}{\partial T}-N \int_0^{\infty} \operatorname{Pr}(r) \log \operatorname{Pr}(r) d r$$

$$\Lambda=\frac{h}{\sqrt{2 \pi m k_B T}}$$

$\operatorname{Pr}(r) d r$是在$r$和$r+d r$之间找到一对最近邻粒子的概率。该分布密度由下式给出:
$$\operatorname{Pr}(r)=\frac{\exp [-\beta p r-\beta U(r)]}{\int \exp [-\beta p r-\beta U(r)] d r}$$

有限元方法代写

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MATLAB代写

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