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有限元方法finite differences method是一类通过近似有限差分导数来求解微分方程的数值技术。空间域和时间间隔(如果适用)都被离散化，或者被分解成有限数量的步骤，并且这些离散点的解的值通过求解包含有限差分和邻近点的值的代数方程来近似。

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数学代写|有限元方法代写Finite Element Method代考|Boundary and initial value problems

Consider a system with dependent variables $u$, $v$, and $w$ defined over a domain $\Omega$, which itself occupies a subsection of space (Fig. 1.1). In general, each variable can take different values at different points in the domain and these values can also vary in time. Spatial position of a point $P$ in the domain $\Omega$ can be identified with respect to a spatial reference system (e.g., $(x, y, z))$. If the position of point $P$ also varies in time, the position of point $P$ is said to be time dependent. Thus, for example, if $u$ is a function of space and time $u=u(x, y, z, t)$. In these notes, we will consider boundary value problems (BVPs) and initial value problems that are formulated by using PDEs. A very general representation of such a problem can be given as follows:
$$
\mathcal{L}(u, v, w)=f \text { in } \Omega, \text { for } 0 \leq t \leq \tau
$$
where $\mathcal{L}(\cdot)$ is a differential operator of independent spatial variables $x, y, z$ and time $t, f=f(x, y, z, t)$ is typically a function that represents the internal effects that act on the system, and $\tau$ is the duration of interest.

The dependent variables interact with the outside of the domain $\Omega$ through the boundary $\Gamma$ of the domain, and typically experience changes as a result of the external effects that are imposed on the boundary. These external effects are known as the boundary conditions which depend on the physics of the problem.

The Dirichlet boundary condition represents a prescribed value for a dependent variable,
$$
u=u_b(t) \text { on } \Gamma_E
$$
Here the variable $u$ of the solution domain is prescribed to $u_b$ on a segment of the boundary $\Gamma_E$. In general, this prescribed variable can be a function of time $t$. The Dirichlet boundary condition is also known as the essential boundary condition.
The von Neumann boundary condition typically describes the external effects that cause a change in the system. Such effects include external forces, heat flow, etc. As we will demonstrate later in the notes, the von Neumann boundary conditions are typically represented as follows:
$$
\mathcal{B}(u, v, w)=g(t) \text { on } \Gamma_N
$$
where $\mathcal{B}(\cdot)$ is another differential operator, $g$ is a given function, and $\Gamma_N$ represents the segment of the boundary over which the von Neumann boundary condition is applied. The von Neumann boundary condition, also known as the natural boundary condition or the nonessential boundary condition, can also vary in time.

数学代写|有限元方法代写Finite Element Method代考|Boundary value problems

In some problems, only the steady state of the dependent variables is of interest and the temporal variation is neglected (or negligible). Thus, for example, $u$ becomes only a function of the spatial dimensions $u=u(x, y, z)$. A steady state boundary value problem can be formulated by dropping the time dependence as follows:
$$
\mathcal{L}(u, v, w)=f \text { in } \Omega
$$
where for a boundary value problem $\mathcal{L}(\cdot)$ is a differential operator of the independent spatial variables $(x, y, z)$ and $f=f(x, y, z)$. A steady state boundary value problem is also subject to the Dirichlet and/or von Neumann conditions on the boundary of the domain.
Example 1.1 Equation of motion of a solid bar
a) Derive the equation of motion of an elastic bar in terms of its deflection $u(x, t)$. Initially, assume that the bar has a variable cross-sectional area $A(x)$ and that it is subjected to distributed axial load $q(x, t)$ and a concentrated force $F$ at its free end as shown in Fig. 1.2. Also assume small deflections, linear elastic material behavior with constant elastic modulus $E$, and constant mass density $\rho$.
b) Obtain the steady state solution for the case of constant cross-section and zero distributed force.

Solution 1.1a: The solution domain $\Omega$ for this problem spans $0<x<L$. The boundaries $\Gamma$ of the solution domain are located at $x=0$ and $x=L$. Internal forces develop in the bar in response to external loading. The internal normal force $N(x)$ at the cross-section $x$ can be defined as follows:
$$
N(x)=\bar{\sigma}(x) A(x)
$$
where the average normal stress $\bar{\sigma}$ is defined as follows:
$$
\bar{\sigma}(x)=\frac{1}{A(x)} \int_{A(x)} \sigma d A
$$
and where $\sigma$ is the internal normal stress, $A$ is the cross-sectional area of the bar. The equation of motion of the bar can be obtained by using Newton’s second law on a small segment of the bar (Fig. 1.2). The balance of internal and inertial forces gives,
$$
\begin{aligned}
& \sum F_x=\rho A d x \frac{\partial^2 u}{\partial t^2} \
& -N+q d x+\left(N+\frac{\partial N}{\partial x} d x\right)=\rho A d x \frac{\partial^2 u}{\partial t^2} \
& \frac{\partial N}{\partial x}=-q+\rho A \frac{\partial^2 u}{\partial t^2}
\end{aligned}
$$

有限元方法代考

数学代写|有限元方法代写Finite Element Method代考|Boundary and initial value problems

考虑一个在域$\Omega$上定义了因变量$u$、$v$和$w$的系统，该域本身占据了一小部分空间(图1.1)。一般情况下，每个变量在域中的不同点可以取不同的值，这些值也可以随时间变化。点$P$在域$\Omega$中的空间位置可以通过空间参考系统(例如$(x, y, z))$)来确定。如果点$P$的位置也随时间变化，则称点$P$的位置与时间有关。例如，如果$u$是空间和时间的函数$u=u(x, y, z, t)$。在这些笔记中，我们将考虑用偏微分方程表示的边值问题(bvp)和初值问题。这类问题的一个非常一般的表示可以给出如下:
$$
\mathcal{L}(u, v, w)=f \text { in } \Omega, \text { for } 0 \leq t \leq \tau
$$
其中$\mathcal{L}(\cdot)$是独立空间变量$x, y, z$的微分算子，而时间$t, f=f(x, y, z, t)$通常是表示作用于系统的内部效应的函数，$\tau$是感兴趣的持续时间。

因变量通过域的边界$\Gamma$与域的外部$\Omega$交互，并且通常由于施加在边界上的外部影响而经历变化。这些外部效应被称为边界条件，它取决于问题的物理性质。

狄利克雷边界条件表示因变量的规定值，
$$
u=u_b(t) \text { on } \Gamma_E
$$
这里，解域的变量$u$在边界$\Gamma_E$的一段上指定为$u_b$。一般来说，这个规定的变量可以是时间的函数$t$。狄利克雷边界条件又称本质边界条件。
冯·诺依曼边界条件通常描述引起系统变化的外部效应。这些影响包括外力、热流等。正如我们稍后将在注释中演示的那样，冯·诺伊曼边界条件通常表示如下:
$$
\mathcal{B}(u, v, w)=g(t) \text { on } \Gamma_N
$$
其中$\mathcal{B}(\cdot)$是另一个微分算子，$g$是一个给定函数，$\Gamma_N$表示应用冯诺依曼边界条件的边界段。冯·诺依曼边界条件，也称为自然边界条件或非本质边界条件，也可以随时间变化。

数学代写|有限元方法代写Finite Element Method代考|Boundary value problems

在某些问题中，只关心因变量的稳态，而忽略(或可忽略)时间变化。因此，例如，$u$变成了空间维度$u=u(x, y, z)$的函数。将时间依赖性去掉，可以得到稳态边值问题:
$$
\mathcal{L}(u, v, w)=f \text { in } \Omega
$$
其中对于边值问题$\mathcal{L}(\cdot)$是独立空间变量$(x, y, z)$和$f=f(x, y, z)$的微分算子。稳态边值问题也受狄利克雷和/或冯诺依曼条件的约束。
例1.1实体杆的运动方程
a)根据挠度推导出弹性杆的运动方程$u(x, t)$。首先，假设杆具有变截面积$A(x)$，且在其自由端受到分布轴向载荷$q(x, t)$和集中力$F$，如图1.2所示。也假设小挠度，线性弹性材料的行为与恒定弹性模量$E$和恒定质量密度$\rho$。
b)得到截面等且分布力为零情况下的稳态解。

解决方案1.1a:此问题的解决方案域$\Omega$跨越$0<x<L$。解决方案域的边界$\Gamma$分别位于$x=0$和$x=L$。内力在杆内产生，以响应外部载荷。截面处的内法向力$N(x)$$x$可定义为:
$$
N(x)=\bar{\sigma}(x) A(x)
$$
其中平均法向应力$\bar{\sigma}$定义如下:
$$
\bar{\sigma}(x)=\frac{1}{A(x)} \int_{A(x)} \sigma d A
$$
其中$\sigma$为内正应力，$A$为杆的截面积。利用牛顿第二定律在杆的一小段上得到杆的运动方程(图1.2)。内力和惯性力的平衡给出，
$$
\begin{aligned}
& \sum F_x=\rho A d x \frac{\partial^2 u}{\partial t^2} \
& -N+q d x+\left(N+\frac{\partial N}{\partial x} d x\right)=\rho A d x \frac{\partial^2 u}{\partial t^2} \
& \frac{\partial N}{\partial x}=-q+\rho A \frac{\partial^2 u}{\partial t^2}
\end{aligned}
$$

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金融工程代写

金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题，以及设计新的和创新的金融产品。

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语 广义线性模型（GLM）通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归，以及方差分析和方差分析（仅含固定效应）。

有限元方法代写

有限元方法（FEM）是一种流行的方法，用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法，用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程（即一些边界值问题）。为了解决一个问题，有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分，称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的，它是通过构建对象的网格来实现的：用于求解的数值域，它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统，以模拟整个问题。然后，有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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随机分析代写

随机微积分是数学的一个分支，对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。

时间序列分析代写

随机过程，是依赖于参数的一组随机变量的全体，参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现，其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值（如1秒，5分钟，12小时，7天，1年），因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中，往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录，以得到其自身发展的规律。

回归分析代写

多元回归分析渐进（Multiple Regression Analysis Asymptotics）属于计量经济学领域，主要是一种数学上的统计分析方法，可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系，在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。