# 数学代写|数学建模代写math modelling代考|Find2022

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## 数学代写|数学建模代写math modelling代考|Variants of MI and HFE

The minus (-) variant is to hide several polynomials in $G$, namely, for $G$ : $k^{n} \rightarrow k^{m}$ with $G(x)=\left(g_{1}(x), \ldots, g_{m}(x)\right)^{t}$, the minus $G_{-}: k^{n} \rightarrow k^{m-l}(1 \leq l<$ $m)$ is defined by $G_{-}(x):=\left(g_{1}(x), \ldots, g_{m-l}(x)\right)$. This is mainly used for signature schemes. To generate the signature, choose $u_{1}, \ldots, u_{l} \in k$ randomly and find $x \in k^{n}$ such that $G(x)=\left(y_{1}, \ldots, y_{m-l}, u_{1}, \ldots, u_{l}\right)^{t}$. Sflash [1], selected by NESSIE project [90], is a minus variant of MI. Unfortunately, the differential attack can recover the hidden polynomials of Sflash $[41,46]$.

The plus (+) variant is to add several polynomials, namely the central map of plus is $G_{+}=\left(g_{1}(x), \ldots, g_{m}(x), h_{1}(x), \ldots, h_{l}(x)\right)$ where $l \geq 1$ is an integer and $h_{i}$ ‘s are quadratic forms chosen randomly. To decrypt $\tilde{y}=\left(y_{1}, \ldots, y_{m+l}\right)^{t} \in$ $k^{m+l}$, one finds $x \in k^{n}$ such that $G(x)=y=\left(y_{1}, \ldots, y_{m}\right)^{t}$ and verifies whether $\left(h_{1}(x), \ldots, h_{l}(x)\right)=\left(y_{m+1}, \ldots, y_{m+l}\right)$. When $m \geq n$, the decryption of the plus variant is (probably) not too slower than the original scheme since the number of solutions of $G(x)=y$ is not many. On the other hand, when $n>m$, it is much slower since the equation $G(x)=y$ will have many solutions. See [82] for the security of $\mathrm{MI} \pm$ (the plus variant of $\mathrm{MI}-$ ).

## 数学代写|数学建模代写math modelling代考|ZHFE

ZHFE [89] is an encryption scheme with $(N, M)=(1,2)$. The simplest version is as follows. Let $D \geq 1$ be an integer, $\mathscr{G}{1}(X), \mathscr{G}{2}(X)$ quadratic forms of $\bar{X}$ such that
$$\Psi(X):=X \cdot \mathscr{G}{1}(X)+X^{q} \cdot \mathscr{G}{2}(X)$$
is of degree at most $D$ and $\mathscr{G}: K \rightarrow K^{2}$ the map with $\mathscr{G}(X):=\left(\mathscr{G}{1}(X), \mathscr{G}{2}(X)\right)$. To find $X \in K$ with $\mathscr{G}{1}(X)=Y{1}$ and $\mathscr{G}{2}(X)=Y{2}$ in the decryption process, one solves the univariate equation
\begin{aligned} \Psi\left(X,\left(Y_{1}, Y_{2}\right)\right) &:=\Psi(X)-X Y_{1}-X^{q} Y_{2} \ &=X \cdot\left(\mathscr{G}{1}(X)-Y{1}\right)+X^{q} \cdot\left(\mathscr{G}{2}(X)-Y{2}\right)=0 \end{aligned}
of degree at most $D$. Similar to HFE, the complexity of the decryption is $O\left(D^{3}+\right.$ $n D^{2} \log q$ ) by the Berlekamp algorithm.

The security of ZHFE against the attacks available on HFE has been studied in $[84,89,116]$. These works claimed that ZHFE is more secure than HFE against the direct attacks, the min-rank attacks and the differential attack. However, a chosen ciphertext attack can reduce the security of ZHFE to the security of HFE against the min-rank attack [60]. This means that, similar to HFE, ZHFE has a serious trade-off between efficiency and security.

# 数学建模代写

## 数学代写|数学建模代写math modelling代考|Variants of MI and HFE

$G(x)=\left(g_{1}(x), \ldots, g_{m}(x)\right)^{t}$, 减号 $G_{-}: k^{n} \rightarrow k^{m-l}(1 \leq lm$ ，它慢得多，因为方程 $G(x)=y$ 会有很多解决方案。见 [82] 的安全性 $\mathrm{MI} \pm($ 的加号变体 $\mathrm{MI}-$ ).

## 数学代写|数学建模代写math modelling代考|ZHFE

ZHFE [89] 是一种加密方安 $(N, M)=(1,2)$. 最简单的版本如下。让 $D \geq 1$ 为整数， $\mathscr{G} 1(X), \mathscr{G} 2(X)$ 的二次形式 $\bar{X}$ 这样
$$\Psi(X):=X \cdot \mathscr{G} 1(X)+X^{q} \cdot \mathscr{G} 2(X)$$

$$\Psi\left(X,\left(Y_{1}, Y_{2}\right)\right):=\Psi(X)-X Y_{1}-X^{q} Y_{2} \quad=X \cdot(\mathscr{G} 1(X)-Y 1)+X^{q}$$

ZHFE 对 HFE 可用攻击的安全性已在 $[84,89,116]$. 这些工作声称 ZHFE 在对抗直接攻击、 最小秩玫击和差分攻击方面比 HFE 更安全。然而，选择密文攻击可以将 ZHFE 的安全性降低 到 HFE 对最小秩攻击的安全性 [60]。这意味着，与 HFE 类似，ZHFE 在效率和安全性之间 存在严重的权衡。

## 有限元方法代写

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## MATLAB代写

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