统计代写|概率论代写Probability theory代考|STAT7614

Doug I. Jones

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  • Foundations of Data Science 数据科学基础
统计代写|概率论代写Probability theory代考|STAT7614

统计代写|概率论代写Probability theory代考|Regular Conditional Distribution

Let $X$ be a random variable with values in a measurable space $(E, \mathcal{E})$. With our machinery, so far we can define the conditional probability $\mathbf{P}[A \mid X]$ for fixed $A \in \mathcal{A}$ only. However, we would like to define for every $x \in E$ a probability measure $\mathbf{P}[\cdot \mid X=x]$ such that for any $A \in \mathcal{A}$, we have $\mathbf{P}[A \mid X]=\mathbf{P}[A \mid X=x]$ on ${X=x}$. In this section, we show how to do this.

For example, we are interested in a two-stage random experiment. At the first stage, we manipulate a coin at random such that the probability of a success (i.e., “head”) is $X$. At the second stage, we toss the coin $n$ times independently with outcomes $Y_1, \ldots, Y_n$. Hence the “conditional distribution of $\left(Y_1, \ldots, Y_n\right)$ given ${X=x}$ ” should be $\left(\operatorname{Ber}_x\right)^{\otimes n}$.

Let $X$ be as above and let $Z$ be a $\sigma(X)$-measurable real random variable. By the factorization lemma (Corollary $1.97$ with $f=X$ and $g=Z$ ), there is a map $\varphi: E \rightarrow \mathbb{R}$ such that
$\varphi$ is $\mathcal{E}-\mathcal{B}(\mathbb{R})$-measurable and $\varphi(X)=Z$
If $X$ is surjective, then $\varphi$ is determined uniquely. In this case, we denote $Z \circ X^{-1}:=$ $\varphi$ (even if the inverse map $X^{-1}$ itself does not exist).

Definition 8.24 Let $Y \in \mathcal{L}^1(\mathbf{P})$ and $X:(\Omega, \mathcal{A}) \rightarrow(E, \mathcal{E})$. We define the conditional expectation of $Y$ given $X=x$ by $\mathbf{E}[Y \mid X=x]:=\varphi(x)$, where $\varphi$ is the function from (8.10) with $Z=\mathbf{E}[Y \mid X]$.
Analogously, define $\mathbf{P}[A \mid X=x]=\mathbf{E}\left[\mathbb{1}_A \mid X=x\right]$ for $A \in \mathcal{A}$.
For a fixed set $B \in \mathcal{A}$ with $\mathbf{P}[B]>0$, the conditional probability $\mathbf{P}[\cdot \mid B]$ is a probability measure. Is this true also for $\mathbf{P}[\cdot \mid X=x]$ ? The question is a bit tricky since for every given $A \in \mathcal{A}$, the expression $\mathbf{P}[A \mid X=x]$ is defined for almost all $x$ only; that is, up to $x$ in a null set that may, however, depend on $A$. Since there are uncountably many $A \in \mathcal{A}$ in general, we could not simply unite all the exceptional sets for any $A$. However, if the $\sigma$-algebra $\mathcal{A}$ can be approximated by countably many A sufficiently well, then there is hope.

Our first task is to give precise definitions. Then we present the theorem that justifies our hope.

统计代写|概率论代写Probability theory代考|Processes, Filtrations, Stopping Times

We introduce the fundamental technical terms for the investigation of stochastic processes (including martingales). In order to be able to recycle the terms later in a more general context, we go for greater generality than is necessary for the treatment of martingales only.

In the following, let $(E, \tau)$ be a Polish space with Borel $\sigma$-algebra $\mathcal{E}$. Further, let $(\Omega, \mathcal{F}, \mathbf{P})$ be a probability space and let $I \subset \mathbb{R}$ be arbitrary. We are mostly interested in the cases $I=\mathbb{N}_0, I=\mathbb{Z}, I=[0, \infty)$ and $I$ an interval.

Definition $9.1$ (Stochastic process) Let $I \subset \mathbb{R}$. A family of random variables $X=$ $\left(X_t, t \in I\right)$ (on $(\Omega, \mathcal{F}, \mathbf{P})$ ) with values in $(E, \mathcal{E})$ is called a stochastic process with index set (or time set) $I$ and range $E$.

Remark $9.2$ Sometimes families of random variables with more general index sets are called stochastic processes. We come back to this with the Poisson point process in Chap. 24. $\diamond$

Remark $9.3$ Following a certain tradition, we will often denote a stochastic process by $X=\left(X_t\right)_{t \in I}$ if we want to emphasize the “time evolution” aspect rather than the formal notion of a family of random variables. Formally, both objects are of course the same. $\diamond$

Example 9.4 Let $I=\mathbb{N}0$ and let $\left(Y_n, n \in \mathbb{N}\right)$ be a family of i.i.d. Rad $1 / 2$-random variables on a probability space $(\Omega, \mathcal{F}, \mathbf{P})$; that is, random variables with $$ \mathbf{P}\left[Y_n=1\right]=\mathbf{P}\left[Y_n=-1\right]=\frac{1}{2} . $$ Let $E=\mathbb{Z}$ (with the discrete topology) and let $$ X_t=\sum{n=1}^t Y_n \quad \text { for all } t \in \mathbb{N}0 $$ $\left(X_t, t \in \mathbb{N}_0\right)$ is called a symmetric simple random walk on $\mathbb{Z} . \diamond$ Example $9.5$ The Poisson process $X=\left(X_t\right){t \geq 0}$ with intensity $\alpha>0$ (see Sect. 5.5) is a stochastic process with range $\mathbb{N}_0 \cdot \diamond$
We introduce some further terms.
Definition 9.6 If $X$ is a random variable (or a stochastic process), we write $\mathcal{L}[X]=$ $\mathbf{P}_X$ for the distribution of $X$. If $\mathcal{G} \subset \mathcal{F}$ is a $\sigma$-algebra, then we write $\mathcal{L}[X \mid \mathcal{G}]$ for the regular conditional distribution of $X$ given $\mathcal{G}$.

统计代写|概率论代写Probability theory代考|STAT7614



设$X$是一个随机变量,其值位于可测量空间$(E, \mathcal{E})$。用我们的机器,到目前为止,我们可以为固定的$A \in \mathcal{A}$只定义条件概率$\mathbf{P}[A \mid X]$。然而,我们希望为每个$x \in E$定义一个概率度量$\mathbf{P}[\cdot \mid X=x]$,这样对于任何$A \in \mathcal{A}$,我们在${X=x}$上都有$\mathbf{P}[A \mid X]=\mathbf{P}[A \mid X=x]$。在本节中,我们将展示如何做到这一点

例如,我们对两阶段随机实验感兴趣。在第一阶段,我们随机操作一枚硬币,使其成功的概率(即“正面”)为$X$。在第二阶段,我们独立抛硬币$n$次,结果是$Y_1, \ldots, Y_n$。因此,“给定${X=x}$, $\left(Y_1, \ldots, Y_n\right)$的条件分布”应该是$\left(\operatorname{Ber}_x\right)^{\otimes n}$

设$X$如上,设$Z$为$\sigma(X)$可测实随机变量。通过因式分解引理(推论$1.97$与$f=X$和$g=Z$),存在一个映射$\varphi: E \rightarrow \mathbb{R}$,使得
如果$X$是满射的,则$\varphi$被唯一确定。在这种情况下,我们表示$Z \circ X^{-1}:=$$\varphi$(即使反向映射$X^{-1}$本身不存在)

定义 $Y \in \mathcal{L}^1(\mathbf{P})$ 和 $X:(\Omega, \mathcal{A}) \rightarrow(E, \mathcal{E})$。的条件期望 $Y$ 给定 $X=x$ 通过 $\mathbf{E}[Y \mid X=x]:=\varphi(x)$,其中 $\varphi$ 从(8.10)的函数与 $Z=\mathbf{E}[Y \mid X]$.
类似地,定义 $\mathbf{P}[A \mid X=x]=\mathbf{E}\left[\mathbb{1}_A \mid X=x\right]$ 为 $A \in \mathcal{A}$.
固定设置 $B \in \mathcal{A}$ 用 $\mathbf{P}[B]>0$,条件概率 $\mathbf{P}[\cdot \mid B]$ 是一个概率度量。这也是对的吗 $\mathbf{P}[\cdot \mid X=x]$ ?这个问题有点棘手,因为对于每一个给定 $A \in \mathcal{A}$,表达式 $\mathbf{P}[A \mid X=x]$ 对几乎所有人都有定义 $x$ 只是;也就是说,到 $x$ 在空集中,它可能依赖于 $A$。因为有无数的 $A \in \mathcal{A}$ 一般来说,我们不能简单地统一任何的所有例外集 $A$。然而,如果 $\sigma$-代数 $\mathcal{A}$ 都能被无数个A充分地近似,那么就有希望。 我们的第一个任务是给出精确的定义。然后我们提出了证明我们希望的定理



在下面,让$(E, \tau)$是一个带有Borel $\sigma$ -algebra $\mathcal{E}$的波兰空间。进一步,设$(\Omega, \mathcal{F}, \mathbf{P})$为概率空间,$I \subset \mathbb{R}$为任意空间。我们最感兴趣的情况是$I=\mathbb{N}_0, I=\mathbb{Z}, I=[0, \infty)$和$I$一个区间。

定义$9.1$(随机过程)让$I \subset \mathbb{R}$。具有$(E, \mathcal{E})$值的随机变量$X=$$\left(X_t, t \in I\right)$(在$(\Omega, \mathcal{F}, \mathbf{P})$上)被称为具有索引集(或时间集)$I$和范围$E$的随机过程


备注$9.3$按照某种传统,如果我们想强调“时间演化”方面而不是随机变量族的正式概念,我们通常会用$X=\left(X_t\right)_{t \in I}$来表示一个随机过程。从形式上讲,这两个对象当然是相同的。$\diamond$

$I=\mathbb{N}0$ 让 $\left(Y_n, n \in \mathbb{N}\right)$ 成为一个有身份的家庭 $1 / 2$-概率空间上的随机变量 $(\Omega, \mathcal{F}, \mathbf{P})$;也就是随机变量 $$ \mathbf{P}\left[Y_n=1\right]=\mathbf{P}\left[Y_n=-1\right]=\frac{1}{2} . $$ 让 $E=\mathbb{Z}$ (离散拓扑),让 $$ X_t=\sum{n=1}^t Y_n \quad \text { for all } t \in \mathbb{N}0 $$ $\left(X_t, t \in \mathbb{N}_0\right)$ 叫对称简单随机漫步吗 $\mathbb{Z} . \diamond$ 使用实例 $9.5$ 泊松过程 $X=\left(X_t\right){t \geq 0}$ 强烈地 $\alpha>0$ (见第5.5节)是一个有范围的随机过程 $\mathbb{N}_0 \cdot \diamond$我们引入一些进一步的术语。9.6 If .
定义 $X$ 我们写它是随机变量(或随机过程)吗 $\mathcal{L}[X]=$ $\mathbf{P}_X$ 的分布 $X$。如果 $\mathcal{G} \subset \mathcal{F}$ 是 $\sigma$-代数,然后我们写 $\mathcal{L}[X \mid \mathcal{G}]$ 的正则条件分布 $X$ 给定 $\mathcal{G}$.

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术语 广义线性模型(GLM)通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归,以及方差分析和方差分析(仅含固定效应)。



有限元是一种通用的数值方法,用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程(即一些边界值问题)。为了解决一个问题,有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分,称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的,它是通过构建对象的网格来实现的:用于求解的数值域,它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统,以模拟整个问题。然后,有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。





随机过程,是依赖于参数的一组随机变量的全体,参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现,其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值(如1秒,5分钟,12小时,7天,1年),因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中,往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录,以得到其自身发展的规律。


多元回归分析渐进(Multiple Regression Analysis Asymptotics)属于计量经济学领域,主要是一种数学上的统计分析方法,可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系,在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。


MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中,其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括:数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发,包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统,其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题,尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题,而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问,这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展,得到了许多用户的投入。在大学环境中,它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域,MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要,工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数(M 文件)的综合集合,可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。


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