# 物理代写|光学工程代写Optical Engineering代考|CET824

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## 物理代写|光学工程代写Optical Engineering代考|OPTIMUM POLYNOMIAL APPROXIMATION

Consider a periodic function $f(x)$ with a period $T$. Then this function is approximated by a polynomial of sinusoidal functions,
$$P_N(x)=\frac{\alpha_0}{2}+\sum_{n=1}^N\left[\alpha_n \cos \left(\frac{2 \pi n x}{T}\right)+\beta_n \sin \left(\frac{2 \pi n x}{T}\right)\right] .$$
The merit function of a root-mean-square error is introduced to evaluate the approximation,
$$Q_N=\frac{1}{T} \int_{-T / 2}^{T / 2}\left[f(x)-P_N(x)\right]^2 \mathrm{~d} x .$$
Next, we find $\alpha_n$ and $\beta_n$ to minimize the merit function. This is called as the optimum polynomial approximation. At first, Eq. (3.32) is expanded,
$$Q_N=\frac{1}{T} \int_{-T / 2}^{T / 2} f(x)^2 \mathrm{~d} x-\frac{2}{T} \int_{-T / 2}^{T / 2} f(x) P_N(x) \mathrm{d} x+\frac{1}{T} \int_{-T / 2}^{T / 2} P_N(x)^2 \mathrm{~d} x .$$

Substituting Eq. (3.31) into Eq. (3.33), we have
\begin{aligned} Q_n & =\frac{1}{T} \int_{-T / 2}^{T / 2} f(x)^2 \mathrm{~d} x \ & -\frac{2}{T}\left{\frac{\alpha_0}{2} \int_{-T / 2}^{T / 2} f(x) \mathrm{d} x+\sum_{n=1}^N\left[\alpha_n \int_{-T / 2}^{T / 2} f(x) \cos \left(\frac{2 \pi n x}{T}\right) \mathrm{d} x\right.\right. \ & \left.\left.+\beta_n \int_{-T / 2}^{T / 2} f(x) \sin \left(\frac{2 \pi n x}{T}\right) \mathrm{d} x\right]\right}+\frac{1}{T} \int_{-T / 2}^{T / 2} \frac{\alpha_0^2}{4} \mathrm{~d} x \ & +\frac{\alpha_0}{T} \sum_{n=1}^N \int_{-T / 2}^{T / 2}\left[\alpha_n \cos \left(\frac{2 \pi n x}{T}\right)+\beta_n \sin \left(\frac{2 \pi n x}{T}\right)\right] \mathrm{d} x \ & +\frac{1}{T} \sum_{n=1}^N \int_{-T / 2}^{T / 2}\left[\left(\alpha_n \cos \left(\frac{2 \pi n x}{T}\right)+\beta_n \sin \left(\frac{2 \pi n x}{T}\right)\right]^2 \mathrm{~d} x .\right. \end{aligned}

## 物理代写|光学工程代写Optical Engineering代考|NORMALIZED ORTHOGONAL POLYNOMIALS

Coefficients $c_n$ in complex Fourier series of Eq. (3.12) are calculated by using Eq. (3.16), but we can calculate directly $c_n$ with the property of Fourier polynomials
$$\frac{1}{T} \int_{-T / 2}^{T / 2} \exp \left(-\mathrm{i} \frac{2 \pi n x}{T}\right) \cdot \exp \left(\mathrm{i} \frac{2 \pi m x}{T}\right) \mathrm{d} x=\delta_{n, m},$$
where $\delta_{n, m}$ is the Kronecker delta defined by
$$\delta_{n, m}= \begin{cases}1 & (n=m) \ 0 & (n \neq m) .\end{cases}$$

This means that the Fourier coefficient $c_n$ in the complex series is obtained by multiplying $\exp (-\mathrm{i} 2 \pi n x / T)$ to the both sides of Eq. (3.12) and integrating it within the period $[-T / 2, T / 2]$. The property of Eq. (3.38) enables us to calculate the Fourier coefficient $c_n$ in the complex series. The polynomials expanded by $\exp (\mathrm{i} 2 \pi n x / T)$, ( $n$ : integer) have this property. This property is called orthogonality. Polynomials $\exp (\mathrm{i} 2 \pi n x / T)$ are orthogonal within the period $[-T / 2, T / 2]$.

In general, consider the functions $\left{f_n(x)\right}$ and their inner product is defined by
$$\left(f_n, f_m\right)=\int_{-T / 2}^{T / 2} f_n(x) \cdot f_m^(x) \mathrm{d} x$$ and $$denotes the complex conjugate. When$$
\left(f_n, f_m\right)=\delta_{n, m},
$$where functions f_n and f_m are said to be orthogonal to each other and \left{f_n(x)\right} are orthogonal functions. The norm of the function f(x) is defined by$$
|f|=(f, f)^{1 / 2}
$$and the normalization of the function f(x) is performed by multiplying an arbitrary constant to the function f(x) so that its norm is unity. The normalized and orthogonal polynomials are called the normalized orthogonal polynomials. For example, the following polynomials are normalized orthogonal polynomials.$$
\begin{gathered}
\sqrt{\frac{1}{T}} \exp \left(\mathrm{i} \frac{2 \pi n x}{T}\right), \quad n=0, \pm 1, \pm 2, \ldots \
\sqrt{\frac{2}{T}} \cos \left(\mathrm{i} \frac{2 \pi n x}{T}\right), \quad n=0,1,2, \ldots \
\sqrt{\frac{2}{T}} \sin \left(\mathrm{i} \frac{2 \pi n x}{T}\right), \quad n=1,2,3, \ldots
\end{gathered}
$$# 光学工程代考 ## 物理代写|光学工程代写Optical Engineering代考|OPTIMUM POLYNOMIAL APPROXIMATION 考虑一个周期函数 f(x) 有一段时间 T. 然后这个函数被正弦函数的多项 式逼近，$$
P_N(x)=\frac{\alpha_0}{2}+\sum_{n=1}^N\left[\alpha_n \cos \left(\frac{2 \pi n x}{T}\right)+\beta_n \sin \left(\frac{2 \pi n x}{T}\right)\right]
$$引入均方根误差的评价函数来评估近似值，$$
Q_N=\frac{1}{T} \int_{-T / 2}^{T / 2}\left[f(x)-P_N(x)\right]^2 \mathrm{~d} x .
$$接下来，我们发现 \alpha_n 和 \beta_n 最小化评价函数。这称为最优多项式近 似。起初，Eq。(3.32) 被扩展，$$
Q_N=\frac{1}{T} \int_{-T / 2}^{T / 2} f(x)^2 \mathrm{~d} x-\frac{2}{T} \int_{-T / 2}^{T / 2} f(x) P_N(x) \mathrm{d} x+\frac{1}{T} \int_{-T / 2}^{T / 2}
$$代入方程式 (3.31) 进入等式。(3.33)，我们有 ## 物理代写|光学工程代写Optical Engineering代考|NORMALIZED ORTHOGONAL POLYNOMIALS 系数 c_n 在等式的复杂傅里叶级数中。(3.12) 是通过使用等式计算的。 (3.16)，但我们可以直接计算 c_n 具有傅立叶多项式的性质$$
\frac{1}{T} \int_{-T / 2}^{T / 2} \exp \left(-\mathrm{i} \frac{2 \pi n x}{T}\right) \cdot \exp \left(\mathrm{i} \frac{2 \pi m x}{T}\right) \mathrm{d} x=\delta_{n, m}
$$在哪里 \delta_{n, m} 是克罗内克三角洲定义$$
\delta_{n, m}= \begin{cases}1 & (n=m) 0 \quad(n \neq m) .\end{cases}
$$这意味着傅里叶系数 c_n 在复杂的系列中是通过相乘获得的 \exp (-\mathrm{i} 2 \pi n x / T) 到方程式的两边。(3.12) 并在期间内整合 [-T / 2, T / 2]. 方程式的属性。(3.38) 使我们能够计算傅里叶系数 c_n 在复杂的系列中。多项式扩展为 \exp (\mathrm{i} 2 \pi n x / T) ， ( n : integer ) 有这个 属性。此属性称为正交性。多项式 \exp (\mathrm{i} 2 \pi n x / T) 在周期内正交 [-T / 2, T / 2]. 一般来说，考虑功能 \backslash 左 \left{f_{-} n(x) \mid\right. 右 } 他们的内积定义为$$
\left.\left(f_n, f_m\right)=\int_{-T / 2}^{T / 2} f_n(x) \cdot f_m^{(} x\right) \mathrm{d} x


denotesthecomplexconjugate. When

## 有限元方法代写

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## MATLAB代写

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