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天文学和天体物理学是对太阳系以外的物体和现象的研究。这结合了理论模拟和用地面和航天器携带的仪器对天体发射的电磁辐射和高能粒子进行观察。

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• Advanced Probability Theory 高等概率论
• Advanced Mathematical Statistics 高等数理统计学
• (Generalized) Linear Models 广义线性模型
• Statistical Machine Learning 统计机器学习
• Longitudinal Data Analysis 纵向数据分析
• Foundations of Data Science 数据科学基础

物理代写|天体物理学和天文学代写Astrophysics and Astronomy代考|First Order Differential Equations

A differential equation of first order determines a time-dependent function $x(t)$ by a relation between the function and its first derivative $\dot{x}$. An example is the equation for radioactive decay:
$$
\dot{x}=\lambda x,
$$

The solution of this equation is $x(t)=x_0 \mathrm{e}^{-\lambda t}$, where $x_0=x(0)$ is said to be the initial value. While it is straightforward to solve a linear differential equation, in which all terms are linear in $x$ or $\dot{x}$, non-linear differential equations are more challenging.
Consider the Bernoulli equation ${ }^1$ :
$$
\dot{x}=\alpha(t) x+\beta(t) x^\rho,
$$
where $\alpha(t)$ and $\beta(t)$ are given functions and $\rho$ is a real number. It encompasses important differential equations as special cases, for example, Eq. (4.1) follows for $\alpha(t)=\lambda, \beta(t)=0, \rho=0$ and the logistic equation describing population dynamics for $\alpha(t)=a, \beta(t)=b$ with constants $a>0, b<0$, and $\rho=2$ (see Exercise 4.1). From the viewpoint of numerics, Bernoulli-type equations are interesting because an analytic solution is known and can be compared to numerical approximations.
In the following, we will attempt to numerically solve an example for a Bernoulli equation from astrophysics, namely the equation for the radial expansion of a socalled Strömgren sphere. When a hot, massive star is borne, it floods its surroundings with strongly ionizing UV radiation. As a result, a spherical bubble of ionized hydrogen (H II) forms around the star. It turns out that ionization progresses as ionization front, i.e. a thin spherical shell propagating outwards (see [4], Sect. 12.3). Inside the shell, virtually all hydrogen is ionized. The radial propagation of the shell is described by a differential equation for the time-dependent radius $r(t)$ [9] (convince yourself that this equation is a Bernoulli differential equation):
$$
\dot{r}=\frac{1}{4 \pi r^2 n_0}\left(S_-\frac{4 \pi}{3} r^3 n_0^2 \alpha\right) $$ Here, $S_$ is the total number of ionizing photons (i.e. photons of energy greater than $13.6 \mathrm{eV}$; see Sect. 3.2.1) per unit time, $n_0$ is the number density of neutral hydrogen atoms $(\mathrm{HI})$, and $\alpha \approx 3.1 \times 10^{-13} \mathrm{~cm}^3 \mathrm{~s}^{-1}$ is the recombination coefficient. Recombination of ionized hydrogen and electrons competes with ionization of neutral hydrogen. ${ }^2$

物理代写|天体物理学和天文学代写Astrophysics and Astronomy代考|Second Order Differential Equations

In mechanics, we typically deal with second order differential equations of the form
$$
\ddot{x}=f(t, x, \dot{x}),
$$
where $x(t)$ is the unknown position function, $\dot{x}(t)$ the velocity, and $\ddot{x}(t)$ the acceleration of an object of mass $m$ (which is hidden as parameter in the function $f$ ). The differential equation allows us to determine $x(t)$ for a given initial position $x_0=x\left(t_0\right)$ and velocity $v_0=\dot{x}\left(t_0\right)$ at any subsequent time $t>t_0$. For this reason, it is called equation of motion.
A very simple example is free fall:
$$
\ddot{x}=g,
$$
where $x$ is the coordinate of the falling mass in vertical direction. Close to the surface of Earth, $g \approx 9.81 \mathrm{~m} \mathrm{~s}^{-2}$ and $f(t, x, \dot{x})=g$ is constant. Of course, you know the solution of the initial value problem for this equation:
$$
x(t)=x_0+v_0\left(t-t_0\right)+\frac{1}{2} g\left(t-t_0\right)^2 .
$$
For larger distances from ground, however, the approximation $f(t, x, \dot{x})=g$ is not applicable and we need to use the $1 / r$ gravitational potential of Earth. In this case,the right-hand side of the equation of motion is given by a position-dependent function $f(x)$ and finding an analytic solution is possible, but slightly more difficult. In general, $f$ can also depend on the velocity $\dot{x}$, for example, if air resistance is taken into account. We will study this case in some detail in Sect. $4.2$ and you will learn how to apply numerical methods to solve such a problem. An example, where $f$ changes explicitly with time $t$ is a rocket with a time-dependent mass $m(t)$.

To develop the tools we are going to apply in this chapter, we shall begin with another second order differential equation for which an analytic solution is known. An almost ubiquitous system in physics is the harmonic oscillator:
$$
m \ddot{x}+k x=0,
$$
which is equivalent to
$$
\ddot{x}=f(x) \text { where } f(x)=-\frac{k}{m} x .
$$

天体物理学和天文学代考

物理代写|天体物理学和天文学代写Astrophysics and Astronomy代考|First Order Differential Equations

一阶微分方程确定时间相关函数 $x(t)$ 通过函数与其一阶 导数之间的关系 $\dot{x}$.一个例子是放射性衰变的方程式:
$$
\dot{x}=\lambda x,
$$
这个方程的解是 $x(t)=x_0 \mathrm{e}^{-\lambda t}$ ，在哪里 $x_0=x(0)$ 据说是初始值。虽然求解线性微分方程很简单，其中所 有项都是线性的 $x$ 要么 $\dot{x}$ ，非线性微分方程更具挑战性。 考虑伯努利方程 ${ }^1$ :
$$
\dot{x}=\alpha(t) x+\beta(t) x^\rho,
$$
在哪里 $\alpha(t)$ 和 $\beta(t)$ 被陚予功能和 $\rho$ 是实数。它包含作为 特殊情况的重要微分方程，例如，Eq。(4.1) 遵循 $\alpha(t)=\lambda, \beta(t)=0, \rho=0$ 和描述人口动态的逻辑方 程 $\alpha(t)=a, \beta(t)=b$ 有常量 $a>0, b<0$ ，和 $\rho=2$ (见练习 4.1) 。从数值的角度来看，伯努利型方 程很有趣，因为解析解是已知的并且可以与数值近似进 行比较。
在下文中，我们将会试对天体物理学中的伯努利方程示 例进行数值求解，即所谓的 Strömgren 球体的径向膨胀 方程。当一颗炽热的大质量恒星诞生时，它的周围充满 了强烈的电离紫外线辐射。结果，在恒星周围形成了一 个球形的电离氢 $(\mathrm{HII})$ 气泡。事实证明，电离作为电离前 沿进行，即向外传播的薄赇壳（参见 [4]，第 $12.3$
节)。在壳内，几乎所有的氢都被电离了。壳的径向传 播由时间相关半径的微分方程描述 $r(t)$ [9]（说服自己这 个方程是一个伯努利微分方程) :
$$
\dot{r}=\frac{1}{4 \pi r^2 n_0}\left(S_{-} \frac{4 \pi}{3} r^3 n_0^2 \alpha\right)
$$
这里，S_是电离光子的总数（即能量大于 $13.6 \mathrm{eV}$ ；见 教派。3.2.1) 每单位时间， $n_0$ 是中性氢原子的数密度 $(\mathrm{HI})$ ，和 $\alpha \approx 3.1 \times 10^{-13} \mathrm{~cm}^3 \mathrm{~s}^{-1}$ 是重组系数。电 离氢和电子的重组与中性氫的电离竞争。

物理代写|天体物理学和天文学代写Astrophysics and Astronomy代考|Second Order Differential Equations

在力学中，我们通常处理以下形式的二阶微分方程
$$
\ddot{x}=f(t, x, \dot{x}),
$$
在哪里 $x(t)$ 是末知位置函数， $\dot{x}(t)$ 速度，和 $\ddot{x}(t)$ 质量物 体的加速度 $m$ (在函数中隐藏为参数 $f$ ). 微分方程使我们 能够确定 $x(t)$ 对于给定的初始位置 $x_0=x\left(t_0\right)$ 和速度 $v_0=\dot{x}\left(t_0\right)$ 在随后的任何时间 $t>t_0$. 因此，它被称为 运动方程。
一个非常简单的例子是自由落体:
$$
\ddot{x}=g,
$$
在哪里 $x$ 是下洛质量在垂直方向的坐标。靠近地球表 面， $g \approx 9.81 \mathrm{~m} \mathrm{~s}^{-2}$ 和 $f(t, x, \dot{x})=g$ 是常数。当 然，你知道这个方程的初值问题的解:
$$
x(t)=x_0+v_0\left(t-t_0\right)+\frac{1}{2} g\left(t-t_0\right)^2 .
$$
然而，对于距地面较大的距离，近似值 $f(t, x, \dot{x})=g$ 不适用，我们需要使用 $1 / r$ 地球的重力势能。在这种情 况下，运动方程的右侧由位置相关函数给出 $f(x)$ 并且找 到解析解是可能的，但稍微困难一些。一般来说， $f$ 也 可以取决于速度 $\dot{x}$ ，例如，如果考虑空气阻力。我们将 在第 1 节中更详细地研究这个案例。4.2您将学习如何 应用数值方法来解决此类问题。一个例子，其中 $f$ 随时 间明确变化 $t$ 是一种质量随时间变化的火箭 $m(t)$.
为了开发我们将在本章中应用的工具，我们将从解析解 已知的另一个二阶微分方程开始。物理学中几乎无处不 在的系统是谐振子:
$$
m \ddot{x}+k x=0,
$$
这相当于
$$
\ddot{x}=f(x) \text { where } f(x)=-\frac{k}{m} x .
$$

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金融工程代写

金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题，以及设计新的和创新的金融产品。

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语 广义线性模型（GLM）通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归，以及方差分析和方差分析（仅含固定效应）。

有限元方法代写

有限元方法（FEM）是一种流行的方法，用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法，用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程（即一些边界值问题）。为了解决一个问题，有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分，称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的，它是通过构建对象的网格来实现的：用于求解的数值域，它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统，以模拟整个问题。然后，有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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随机分析代写

随机微积分是数学的一个分支，对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。

时间序列分析代写

随机过程，是依赖于参数的一组随机变量的全体，参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现，其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值（如1秒，5分钟，12小时，7天，1年），因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中，往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录，以得到其自身发展的规律。

回归分析代写

多元回归分析渐进（Multiple Regression Analysis Asymptotics）属于计量经济学领域，主要是一种数学上的统计分析方法，可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系，在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。