## 物理代写|光学工程代写Optical Engineering代考|ES4C5

2022年12月28日

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## 物理代写|光学工程代写Optical Engineering代考|FOURIER TRANSFORM

As mentioned in Sec. 3.1, a periodic function can be expanded by the sum of sinusoidal functions, that is, Fourier series. What about non-periodic functions? As a matter of fact, non-periodic functions can be expanded in a similar manner. This is the Fourier transform. This extension is easy. As shown in Fig. 3.6, it should be noted that a periodic function becomes a non-periodic function when the period $T$ increases to infinity $T \rightarrow \infty$. Consider a periodic function $f(x)$ with the period $T$ expanded as a complex Fourier series,
$$\begin{gathered} f(x)=\sum_{n=-\infty}^{\infty} c_n \exp \left(\mathrm{i} \frac{2 \pi n x}{T}\right) \ c_n=\frac{1}{T} \int_{-T / 2}^{T / 2} f(x) \exp \left(-\mathrm{i} \frac{2 \pi n x}{T}\right) \mathrm{d} x . \end{gathered}$$

Then $c_n$ is regarded as a function of $n$
$$F(n)=T c_n$$
Therefore we have
$$\begin{gathered} f(x)=\sum_{n=-\infty}^{\infty} \frac{F(n)}{T} \exp \left(\mathrm{i} \frac{2 \pi n x}{T}\right) \ F(n)=\int_{-T / 2}^{T / 2} f(x) \exp \left(-\mathrm{i} \frac{2 \pi n x}{T}\right) \mathrm{d} x . \end{gathered}$$
The Fourier coefficients of $c_n$ have values at discrete points $v_n$ with the period $1 / T$, that is,
$$v_n=n / T \text {. }$$
Next, in the case when $T \rightarrow \infty, c_n$ becomes a real continuous value, and therefore, we should employ a real variable $v$ in spite of $v_n$. Eq. (3.50) is rewritten as
$$F(v)=\int_{-\infty}^{\infty} f(x) \exp (-\mathrm{i} 2 \pi v x) \mathrm{d} x .$$
Similarly, Eq. (3.49) is given by
$$f(x)=\int_{-\infty}^{\infty} F(v) \exp (\mathrm{i} 2 \pi v x) \mathrm{d} v .$$

## 物理代写|光学工程代写Optical Engineering代考|PROPERTIES OF THE FOURIER TRANSFORM

Consider the general properties of Fourier transform.

1. Linearity
The Fourier transform is a linear transform, and therefore, the principle of superposition is valid.
$$\mathscr{F}\left[a_1 f_1(x)+a_2 f_2(x)\right]=a_1 \mathscr{F}\left[f_1(x)\right]+a_2 \mathscr{F}\left[f_2(x)\right],$$
where $a_1$ and $a_2$ are constants.
2. Symmetricity (oddness and evenness)
The symmetry properties play important roles in the Fourier transform. For example, consider a real function. From Eqs. (3.26) and (3.27), we can decompose a function $f(x)$ into an odd function $f_o(x)$ and an even function $f_e(x)$,
\begin{aligned} F(v) & =\int_{-\infty}^{\infty}\left(f_e(x)+f_o(x)\right) \exp (-\mathrm{i} 2 \pi v x) \mathrm{d} x \ & =2\left[\int_0^{\infty} f_e(x) \cos (2 \pi v x) \mathrm{d} x-\mathrm{i} \int_0^{\infty} f_o(x) \sin (2 \pi v x) \mathrm{d} x\right] \ & =F_e(v)+F_o(v), \end{aligned}
where
$$\begin{gathered} F_e(v)=2 \int_0^{\infty} f_e(x) \cos (2 \pi v x) \mathrm{d} x \ F_o(v)=-2 \int_0^{\infty} f_o(x) \sin (2 \pi v x) \mathrm{d} x \end{gathered}$$
Equations (3.66) and (3.67) correspond to the coefficients $a_n$ and $b_n$ of Fourier series and called Fourier cosine transform and Fourier sine transform, respectively. This means that the Fourier transform of a real even function is a real function and given by Fourier cosine transform, and the Fourier transform of a real odd function is imaginary and is given by Fourier sine transform.
As coefficients $c_n$ in Fourier series are called the spectrum, $F(v)$ is also called spectrum, and $v$ is called frequency. It should be noted that $v$ is not a discrete integer but a continuous real number because $f(x)$ is a non-periodic function. Table $3.2$ shows symmetricity properties of Fourier transform, where Hermitian means the real part of a function is even and its imaginary part is odd, and anti-Hermitian means the real part of a function is odd and its imaginary part is even.

# 光学工程代考

## 物理代写|光学工程代写Optical Engineering代考|FOURIER TRANSFORM

$$f(x)=\sum_{n=-\infty}^{\infty} c_n \exp \left(\mathrm{i} \frac{2 \pi n x}{T}\right) c_n=\frac{1}{T} \int_{-T / 2}^{T / 2} f(x)$$

$$F(n)=T c_n$$

$$f(x)=\sum_{n=-\infty}^{\infty} \frac{F(n)}{T} \exp \left(\mathrm{i} \frac{2 \pi n x}{T}\right) F(n)=\int_{-T / 2}^{T / 2} f$$

$$v_n=n / T \text {. }$$

$$F(v)=\int_{-\infty}^{\infty} f(x) \exp (-\mathrm{i} 2 \pi v x) \mathrm{d} x .$$

$$f(x)=\int_{-\infty}^{\infty} F(v) \exp (\mathrm{i} 2 \pi v x) \mathrm{d} v .$$

## 物理代写|光学工程代写Optical Engineering代考|PROPERTIES OF THE FOURIER TRANSFORM

1. 线性
度傅里叶变换是一种线性变换，因此原理是成立的。
$$\mathscr{F}\left[a_1 f_1(x)+a_2 f_2(x)\right]=a_1 \mathscr{F}\left[f_1(x)\right]+a_2 \mathscr{F}\left[f_2\right.$$
在哪里 $a_1$ 和 $a_2$ 是常数。
2. 对称性 (奇数和均匀性)
对称性在傅立叶变换中起着重要作用。例如，考 虑一个实函数。从等式。(3.26)和(3.27)，我们可 以分解一个函数 $f(x)$ 变成奇函数 $f_o(x)$ 和偶函数 $f_e(x)$,
$$F(v)=\int_{-\infty}^{\infty}\left(f_e(x)+f_o(x)\right) \exp (-\mathrm{i} 2 \pi v x) \mathrm{d} x$$
在哪里
$$F_e(v)=2 \int_0^{\infty} f_e(x) \cos (2 \pi v x) \mathrm{d} x F_o(v)=-2$$
等式 (3.66) 和 (3.67) 对应的系数 $a_n$ 和 $b_n$ 傅里 叶级数的变换，分别称为傅里叶余弦变换和傅里 叶正弦变换。这意味着实偶函数的傅里叶变换是 实函数，由傅里叶余弦变换给出，实奇函数的傅 里叶变换是虚函数，由傅里叶正弦变换哈出。 作为系数 $c_n$ 在傅立叶级数中称为谱， $F(v)$ 也称为 频谱，并且 $v$ 称为频率。应当指出的是 $v$ 不是离散 整数而是连续实数，因为 $f(x)$ 是非周期函数。桌 子 $3.2$ 显示了傅里叶变换的对称性，其中 Hermitian 表示函数的实部为偶数，其虚部为奇 数，反 Hermitian 表示函数的实部为奇数，其虚部为偶数。

## 有限元方法代写

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## MATLAB代写

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