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数值分析是数学的一个分支，使用数字近似法解决连续问题。它涉及到设计能给出近似但精确的数字解决方案的方法，这在精确解决方案不可能或计算成本过高的情况下很有用。

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• Statistical Computing 统计计算
• Advanced Probability Theory 高等概率论
• Advanced Mathematical Statistics 高等数理统计学
• (Generalized) Linear Models 广义线性模型
• Statistical Machine Learning 统计机器学习
• Longitudinal Data Analysis 纵向数据分析
• Foundations of Data Science 数据科学基础

数学代写|数值分析代写numerical analysis代考|Regression and Curve Fitting

Regression and curve fitting are also important computational tasks in statistics. A common approach is to use least squares to fit a set of data $\left(\boldsymbol{x}i, y_i\right)$, $i=1,2, \ldots, N$, with a function $x \mapsto \sum{j=1}^m c_j \varphi_j(x)$. We assume a statistical model $y_i=\sum_{j=1}^m c_j \varphi_j\left(x_i\right)+\epsilon_i$ where $\epsilon_i$ follows a $\operatorname{Normal}\left(0, \sigma^2\right)$ distribution and the $\epsilon_i$ ‘s are mutually independent. The likelihood function is $$
\begin{aligned}
L(\boldsymbol{c}) & =\prod_{i=1}^N(2 \pi)^{-1 / 2} \exp \left(-\epsilon_i^2 / \sigma^2\right) \
& =(2 \pi)^{-N / 2} \exp \left(-\epsilon^T \epsilon / \sigma^2\right), \quad \text { so } \
\ln L(\boldsymbol{c}) & =-\frac{N}{2} \ln (2 \pi)-\frac{1}{\sigma^2} \boldsymbol{\epsilon}^T \epsilon=-\frac{N}{2} \ln (2 \pi)-\frac{1}{\sigma^2}(\Phi \boldsymbol{c}-\boldsymbol{y})^T(\Phi \boldsymbol{c}-\boldsymbol{y})
\end{aligned}
$$
where $\Phi_{i j}=\varphi_i\left(\boldsymbol{x}_j\right)$. So maximizing $L(\boldsymbol{c})$ for $\boldsymbol{c}$ is equivalent to minimizing $(\Phi \boldsymbol{c}-\boldsymbol{y})^T(\Phi \boldsymbol{c}-\boldsymbol{y})$. That is, we are minimizing the sum of the squares of the errors. This can be done using either normal equations or the $\mathrm{QR}$ factorization. The optimal $\boldsymbol{c}$ is given by the normal equations $\Phi^T \Phi \widehat{\boldsymbol{c}}=\Phi^T \boldsymbol{y}$. If $\boldsymbol{c}$ is the true set coefficients, $\boldsymbol{y}=\Phi \boldsymbol{c}+\boldsymbol{\epsilon}$ and so $\Phi^T \Phi \widehat{\boldsymbol{c}}=\Phi^T \Phi \boldsymbol{c}+\Phi^T \boldsymbol{\epsilon}$ and therefore $\widehat{\boldsymbol{c}}=\boldsymbol{c}+\left(\Phi^T \Phi\right)^{-1} \Phi^T \boldsymbol{\epsilon}$. The error in the computed coefficients $\widehat{\boldsymbol{c}}-\boldsymbol{c}=\left(\Phi^T \Phi\right)^{-1} \Phi^T \boldsymbol{\epsilon}$ is distributed according to the $\operatorname{Normal}\left(\mathbf{0}, \sigma^2\left(\Phi^T \Phi\right)^{-1}\right)$ distribution. This estimate is unbiased: $\mathbb{E}[\widehat{\boldsymbol{c}}]=\boldsymbol{c}$. We might want to estimate the variance $\sigma^2$ of the $\epsilon_i$ ‘s by using $\widehat{\boldsymbol{\epsilon}}=\boldsymbol{y}-\Phi \widehat{\boldsymbol{c}}$. However, this will lead to a biased estimate of $\sigma^2$ :
$$
\begin{aligned}
\widehat{\boldsymbol{\epsilon}} & =\boldsymbol{y}-\Phi \widehat{\boldsymbol{c}}=\boldsymbol{y}-\Phi\left(\Phi^T \Phi\right)^{-1} \Phi^T \boldsymbol{y} \
& =\left[I-\Phi\left(\Phi^T \Phi\right)^{-1} \Phi^T\right] \boldsymbol{y} .
\end{aligned}
$$
The matrix $P:=I-\Phi\left(\Phi^T \Phi\right)^{-1} \Phi^T$ is the orthogonal projection onto the orthogonal complement of range $\Phi$. Since $\boldsymbol{y}=\Phi \boldsymbol{c}+\boldsymbol{\epsilon}$,
$$
\widehat{\epsilon}=P(\Phi c+\epsilon)=P \epsilon
$$
so $\widehat{\boldsymbol{\epsilon}}$ is in (range $\Phi)^{\perp}$. We can consider $\widehat{\boldsymbol{\epsilon}}$ to be distributed according to the $\operatorname{Normal}\left(\mathbf{0}, \sigma^2 P\right)$ distribution as $P^T=P=P^2=P^T P$, understood as the limit of the distribution of $\operatorname{Normal}\left(0, \sigma^2 P+\alpha I\right)$ as $\alpha \downarrow 0$. Also
$$
\mathbb{E}\left[\widehat{\boldsymbol{\epsilon}}^T \widehat{\boldsymbol{\epsilon}}\right]=\mathbb{E}\left[\boldsymbol{\epsilon}^T P^T P \boldsymbol{\epsilon}\right]=\mathbb{E}\left[\boldsymbol{\epsilon}^T P \boldsymbol{\epsilon}\right]=\operatorname{trace}(P) \sigma^2
$$

数学代写|数值分析代写numerical analysis代考|Bayesian Inference

Given a data set $D$, how likely is a hypothesis $H$ ? This is the conditional probability $\operatorname{Pr}[H \mid D]$. But this is usually very difficult to compute directly. Instead, it is much easier to compute $\operatorname{Pr}[D \mid H]$ as the hypothesis $H$ is a statement about the nature of the data $D$. From Bayes’ theorem,
$$
\operatorname{Pr}[H \mid D]=\frac{\operatorname{Pr}[D \& H]}{\operatorname{Pr}[D]}=\frac{\operatorname{Pr}[D \mid H] \operatorname{Pr}[H]}{\sum_{H^{\prime}} \operatorname{Pr}\left[D \mid H^{\prime}\right] \operatorname{Pr}\left[H^{\prime}\right]}
$$
where $H^{\prime}$ ranges over all plausible hypotheses. The value $\operatorname{Pr}[H]$ is the probability that hypothesis $H$ is true before we have any data about it. This probability $\operatorname{Pr}[H]$ is the a priori probability, while $\operatorname{Pr}[H \mid D]$ is the a posteriori probability of hypothesis $H$. Estimating $\operatorname{Pr}[H]$ is often a subjective matter. Consider the question, “What is the probability that the sun will rise every 24 hours?” We might have personally observed these occurring tens of thousands of times and have historical records going back hundreds of thousands of times before that. But what should we assign to this hypothesis before we have evidence, or before we know anything about the sun? Without evidence we have very little basis for any computation of $\operatorname{Pr}[H]$. We can make an arbitrary assignment $\operatorname{Pr}[H]=\frac{1}{2}$. The observed data of centuries of observing the sun rise every day would then give $\operatorname{Pr}[H \mid D]$ very close to one.

数值分析代考

数学代写|数值分析代写numerical analysis代考|Regression and Curve Fitting

回归和曲线拟合也是统计学中重要的计算任务。一种常 见的方法是使用最小二乘法来拟合一组数据 $\left(\boldsymbol{x} i, y_i\right)$ ， $i=1,2, \ldots, N$, 有一个函数
$x \mapsto \sum j=1^m c_j \varphi_j(x)$. 我们假设一个统计模型 $y_i=\sum_{j=1}^m c_j \varphi_j\left(x_i\right)+\epsilon_i$ 在哪里 $\epsilon_i$ 跟随一个
$\operatorname{Normal}\left(0, \sigma^2\right)$ 分布和 $\epsilon_i$ 的是相互独立的。似然函数是
$$
L(\boldsymbol{c})=\prod_{i=1}^N(2 \pi)^{-1 / 2} \exp \left(-\epsilon_i^2 / \sigma^2\right) \quad=(2 \pi)^{-N / 2}
$$
在哪里 $\Phi_{i j}=\varphi_i\left(\boldsymbol{x}_j\right)$. 所以最大化 $L(\boldsymbol{c})$ 为了 $\boldsymbol{c}$ 相当于最 小化 $(\Phi \boldsymbol{c}-\boldsymbol{y})^T(\Phi \boldsymbol{c}-\boldsymbol{y})$. 也就是说，我们正在最小 化误差的平方和。这可以使用正规方程或QR分解。最 优的 $\boldsymbol{c}$ 由正规方程给出 $\Phi^T \boldsymbol{\Phi} \hat{\boldsymbol{c}}=\boldsymbol{\Phi}^T \boldsymbol{y}$. 如果 $\boldsymbol{c}$ 是真集系 数， $\boldsymbol{y}=\Phi \boldsymbol{c}+\boldsymbol{\epsilon}$ 所以 $\Phi^T \Phi \hat{\boldsymbol{c}}=\Phi^T \Phi \boldsymbol{c}+\Phi^T \boldsymbol{\epsilon}$ 因此 $\hat{\boldsymbol{c}}=\boldsymbol{c}+\left(\Phi^T \Phi\right)^{-1} \Phi^T \boldsymbol{\epsilon}$. 计算系数的误差
$\hat{\boldsymbol{c}}-\boldsymbol{c}=\left(\Phi^T \Phi\right)^{-1} \Phi^T \boldsymbol{\epsilon}$ 是根据分布
$\operatorname{Normal}\left(\mathbf{0}, \sigma^2\left(\Phi^T \Phi\right)^{-1}\right)$ 分配。这个估计是无偏
的: $\mathbb{E}[\hat{\boldsymbol{c}}]=\boldsymbol{c}$. 我们可能想估计方差 $\sigma^2$ 的 $\epsilon_i$ 的通过使用 $\hat{\boldsymbol{\epsilon}}=\boldsymbol{y}-\Phi \hat{\boldsymbol{c}}$. 但是，这会导致有偏估计 $\sigma^2$ :
$$
\hat{\boldsymbol{\epsilon}}=\boldsymbol{y}-\Phi \hat{\boldsymbol{c}}=\boldsymbol{y}-\Phi\left(\Phi^T \Phi\right)^{-1} \Phi^T \boldsymbol{y} \quad=[I-\Phi
$$
矩阵 $P:=I-\Phi\left(\Phi^T \Phi\right)^{-1} \Phi^T$ 是范围的正交补集上的 正交投影 $\Phi$. 自从 $\boldsymbol{y}=\Phi \boldsymbol{c}+\boldsymbol{\epsilon}$,
$$
\hat{\epsilon}=P(\Phi c+\epsilon)=P \epsilon
$$
所以 $\hat{\boldsymbol{\epsilon}}$ 在 (范围 $\Phi)^{\perp} \cdot$ 我们可以考虑 $\hat{\boldsymbol{\epsilon}}$ 将根据分配 $\operatorname{Normal}\left(\mathbf{0}, \sigma^2 P\right)$ 分布为 $P^T=P=P^2=P^T P$, 理解为分布的极限 $\operatorname{Normal}\left(0, \sigma^2 P+\alpha I\right)$ 作为 $\alpha \downarrow 0$. 还
$$
\mathbb{E}\left[\hat{\boldsymbol{\epsilon}}^T \hat{\boldsymbol{\epsilon}}\right]=\mathbb{E}\left[\boldsymbol{\epsilon}^T P^T P \boldsymbol{\epsilon}\right]=\mathbb{E}\left[\boldsymbol{\epsilon}^T P \boldsymbol{\epsilon}\right]=\operatorname{trace}(P) \sigma^2
$$

数学代写|数值分析代写numerical analysis代考|Bayesian Inference

给定一个数据集 $D$, 一个假设的可能性有多大 $H$ ? 这是条 件概率 $\operatorname{Pr}[H \mid D]$. 但这通常很难直接计算。相反，它更 容易计算 $\operatorname{Pr}[D \mid H]$ 作为假设 $H$ 是关于数据性质的陈述 D. 从贝叶斯定理，
$$
\operatorname{Pr}[H \mid D]=\frac{\operatorname{Pr}[D \& H]}{\operatorname{Pr}[D]}=\frac{\operatorname{Pr}[D \mid H] \operatorname{Pr}[H]}{\sum_{H^{\prime}} \operatorname{Pr}\left[D \mid H^{\prime}\right] \operatorname{Pr}\left[H^{\prime}\right]}
$$
在哪里 $H^{\prime}$ 涵盖所有可能的假设。价值 $\operatorname{Pr}[H]$ 是假设的概 率 $H$ 在我们有任何关于它的数据之前是真的。这个概率 $\operatorname{Pr}[H]$ 是先验概率，而 $\operatorname{Pr}[H \mid D]$ 是假设的后验概率 $H$. 估计 $\operatorname{Pr}[H]$ 通常是一个主观问题。考虑这个问题， “阳 每 24 小时升起的概率是多少? “我们可能亲自观察到这 些事件发生了数万次，并且在此之前有数十万次的历史 记录。但是，在我们有证据之前，或者在我们对太阳有 任何了解之前，我们应该为这个假设指定什么? 没有证 据，我们几乎没有任何计算依据 $\operatorname{Pr}[H]$. 我们可以任意分 配 $\operatorname{Pr}[H]=\frac{1}{2}$. 几个世纪以来每天观察太阳升起的观测 数据将给出 $\operatorname{Pr}[H \mid D]$ 非常接近一个。

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金融工程代写

金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题，以及设计新的和创新的金融产品。

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语 广义线性模型（GLM）通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归，以及方差分析和方差分析（仅含固定效应）。

有限元方法代写

有限元方法（FEM）是一种流行的方法，用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法，用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程（即一些边界值问题）。为了解决一个问题，有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分，称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的，它是通过构建对象的网格来实现的：用于求解的数值域，它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统，以模拟整个问题。然后，有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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随机分析代写

随机微积分是数学的一个分支，对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。

时间序列分析代写

随机过程，是依赖于参数的一组随机变量的全体，参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现，其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值（如1秒，5分钟，12小时，7天，1年），因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中，往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录，以得到其自身发展的规律。

回归分析代写

多元回归分析渐进（Multiple Regression Analysis Asymptotics）属于计量经济学领域，主要是一种数学上的统计分析方法，可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系，在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。