## 数学代写|信息论作业代写information theory代考|Convex functions

2023年4月10日

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## 数学代写|信息论作业代写information theory代考|Convex functions

We first define the convexity and concavity of a function $f$ on $\mathcal{A}$ below. convexity means that
$$f\left(\sum_i p_i \rho_i\right) \leq \sum_i p_i f\left(\rho_i\right)$$
for all finite discrete ensemble $\left{p_i, \rho_i\right}$ in $\mathcal{A}$. On the other hand, if $f: \mathcal{A} \subseteq \mathcal{S}(\mathbb{H}) \rightarrow$ $[-\infty,+\infty]$ does not take the value $+\infty$ then its concavity means that
$$f\left(\sum_i p_i \rho_i\right) \geq \sum_i p_i f\left(\rho_i\right),$$
for all finite discrete ensemble $\left{p_i, \rho_i\right}$ in $\mathcal{A}$.
Therefore, a real-valued function $f: \mathcal{A} \subseteq \mathcal{S}(\mathbb{H}) \rightarrow \mathbb{R}$ is concave if $-f$ is convex and vice versa.

A function $f: \mathcal{A} \subseteq \mathcal{S}(\mathbb{H}) \rightarrow[-\infty,+\infty]$ is said to be upper bounded (on $\mathcal{A}$ ) if there exists a real number $M$ such that $f(\rho) \leq M$ for all $\rho \in \mathcal{A}$. The function $f$ is said to be lower bounded (on $\mathcal{A}$ ) if there exists a real number $m$ such that $m \leq f(\rho)$ for all $\rho \in \mathcal{A}$. The function $f$ is said to be bounded (on $\mathcal{A}$ ) if it is both upper and lower bounded (on $\mathcal{A}$ ). It is called semibounded if it is either upper bounded or lower bounded (on $\mathcal{A}$ ).
Definition 3.4.1. A semibounded function $f$ on $\mathcal{A} \subseteq \mathcal{S}(\mathbb{H})$ is said to be $\sigma$-convex on $\mathcal{A}$ if $$f\left(\sum_i p_i \rho_i\right) \leq \sum_i p_i f\left(\rho_i\right)$$
for all countable (discrete) ensemble $\left{p_i, \rho_i\right}_i$ of states in $\mathcal{A}$. The function $f$ is said to be $\sigma$-concave on $\mathcal{A}$ if $-f$ is $\sigma$-convex on $\mathcal{A}$.

## 数学代写|信息论作业代写information theory代考|Convex hull and convex closure

General theory of convex and variational analysis can be found in the classic monographs by Rockafellar [131] and Rockafella and Wets [132]. Shirokov [143] and [146] has applied these general theory to the setting of convex functions on $\mathcal{S}(\mathbb{H})$. In particular, he developed characterizations of $\sigma$-convex hull on these functions.

Recall that a function $f: \mathcal{A} \subseteq \mathcal{S}(\mathbb{H}) \rightarrow[-\infty,+\infty]$ is said to be a closed function if ${(\rho, f(\rho)) \mid \rho \in \mathcal{A}}$ is a closed subset of $\mathcal{A} \times[-\infty,+\infty]$, where $\mathcal{A}$ is a closed convex subset of $\mathcal{S}(\mathbb{H})$. Consider the subset
$$\operatorname{epi}(f)={(\rho, \lambda) \in \mathcal{A} \times[-\infty,+\infty] \mid \lambda \geq f(\rho)}$$
of the set $\mathcal{A} \times[-\infty,+\infty]$. Note that the function $f$ is uniquely determined by the corresponding set epi( $f)$. Such a function $f$ is called convex if the set epi(f) is a convex subset of $\mathcal{A} \times[-\infty,+\infty]$ and it is called closed if the set epi $(f)$ is a closed subset of $\mathcal{A} \times[-\infty,+\infty]$. Each closed function $f$ is lower semicontinuous in the sense that the set defined by the inequality $f(\rho) \leq \lambda$ is a closed subset of $\mathcal{A}$ for arbitrary $\lambda \in[-\infty,+\infty]$, and conversely, each lower semicontinuous function $f$ is closed. It is possible to show that the lower semicontinuity of a function $f$ means that
$$\liminf {n \rightarrow+\infty} f\left(\rho_n\right) \geq f\left(\rho_0\right)$$ for arbitrary sequence $\left(\rho_n\right){n=1}^{+\infty}$ converging to $\rho_0$ under $|\cdot|_1$.
The convex hull, $\operatorname{co}(f)$, and the convex closure, $\overline{\operatorname{co}}(f)$, of the function $f$ on a closed convex subset $\mathcal{A}$ of $\mathcal{S}(\mathbb{H})$ are defined as follows.

# 信息论代写

## 数学代写|信息论作业代写information theory代考|Convex functions

$$f\left(\sum_i p_i \rho_i\right) \leq \sum_i p_i f\left(\rho_i\right)$$

$$f\left(\sum_i p_i \rho_i\right) \geq \sum_i p_i f\left(\rho_i\right)$$

$$f\left(\sum_i p_i \rho_i\right) \leq \sum_i p_i f\left(\rho_i\right)$$

## 数学代写|信息论作业代写information theory代考|Convex hull and convex closure

Shirokov [143] 和 [146] 将这些一般理论应用于凸函数 的设置 $\mathcal{S}(\mathbb{H})$. 特别是，他开发了以下特征 $\sigma$-convex hull 在这些功能上。

$\mathcal{A} \times[-\infty,+\infty]$. 每个关闭函数 $f$ 在由不等式定义的集 合的意义上是下半连续的 $f(\rho) \leq \lambda$ 是的闭子集 $\mathcal{A}$ 对于任 意 $\lambda \in[-\infty,+\infty]$ ，反之，每个下半连续函数 $f$ 关闭 了。可以证明函数的下半连续性 $f$ 意思是
$$\liminf n \rightarrow+\infty f\left(\rho_n\right) \geq f\left(\rho_0\right)$$

## 有限元方法代写

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## MATLAB代写

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