# 数学代写|数论作业代写number theory代考|SIT396

#### Doug I. Jones

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## 数学代写|数论作业代写number theory代考|The Functions

Functions like the Euler ( “phi”) function $\phi(n)$ (introduced in Chapter 5) which are just defined for positive integers are called numerical functions. We will now consider several other such functions. We note that the greatest integer function in the previous section is not a numerical function as defined here since it is rather a function from the real numbers to the integers.

We make the following definitions, where the symbol $\tau$ is the Greek letter “tau” and the symbol $\sigma$ is the Greek letter “sigma.”
Definition 8.2. Let $n$ be a positive integer. Then

1. $\tau(n)$ denotes the number of divisors of $n$ (including 1 and $n$ itself).
2. $\sigma(n)$ denotes the sum of the divisors of $n$.
3. $\sigma_k(n)$ denotes the sum of the $k$-th powers of the divisors of $n$.
Example 8.4.
4. $\tau(6)=4$ since the positive integers $1,2,3$, and 6 are the divisors of 6 .
5. $\sigma(6)=1+2+3+6=12$. (Note that 6 is a so-called “perfect number” since the sum of its proper divisors (i.e., 1, 2, and 3) is itself. In general a perfect number $n$ satisfies that $\sigma(n)=2 n$. Are there other perfect numbers? See Open Problem 11.2.)
6. $\sigma_2(6)=1^2+2^2+3^2+6^2=50$.

## 数学代写|数论作业代写number theory代考|The Möbius Inversion Formula

We now study another important cxample of a numerical function which turns out to be multiplicative and which is named after August Möbius (1790 – 1868). It is denoted by $\mu$, which is the Greek letter “mu.”

Definition 8.4. The Möbius function $\mu(n)$ is defined by $\mu(n)=1$ if $n=1,0$ if $a^2 \mid n$ for some integer $a>1$, and $(-1)^r$ if $n=p_1 \cdots p_r$, where the $p_i$ are distinct primes.

Example 8.7. Let’s compute $\mu$ for the first ten positive integers: $\mu(1)=1, \mu(2)=-1, \mu(3)=-1, \mu(4)=0, \mu(5)=-1, \mu(6)=1$, $\mu(7)=-1, \mu(8)=0, \mu(9)=0$, and $\mu(10)=1$.

Here are the first needed properties of the Möbius function.
Theorem 8.8. The Möbius function $\mu(n)$ is multiplicative and, in addition,
$$\sum_{d \mid n} \mu(d)= \begin{cases}1 & \text { if } n=1 \ 0 & \text { if } n>1\end{cases}$$
Proof. Suppose $n=p_1 \cdots p_r$ and $m=q_1 \cdots q_s$ where all the primes $p_i$ and $q_j$ are distinct (i.e., $n$ and $m$ are both “square-free” and $\operatorname{gcd}(n, m)=1)$. Then $\mu(n m)=(-1)^{r+s}=(-1)^r(-1)^s=$ $\mu(n) \mu(m)$, so the Möbius function is multiplicative.

# 数论作业代写

## 数学代写|数论作业代写数论代考|函数

1. $\tau(n)$表示$n$(包括1和$n$本身)的除数。
2. $\sigma(n)$表示$n$除数的和
3. $\sigma_k(n)$表示$n$除数的$k$ -th次幂的和
例8.4。
4. $\tau(6)=4$因为正整数$1,2,3$, 6是6的除数，
5. $\sigma(6)=1+2+3+6=12$(请注意，6是一个所谓的“完全数”，因为它的固有因数(即1、2和3)的和就是它本身。一般来说，完全数$n$满足$\sigma(n)=2 n$。还有其他的完全数吗?
6. $\sigma_2(6)=1^2+2^2+3^2+6^2=50$ .

## 数学代写|数论作业代写数论代考| Möbius反演公式

$$\sum_{d \mid n} \mu(d)= \begin{cases}1 & \text { if } n=1 \ 0 & \text { if } n>1\end{cases}$$

## 有限元方法代写

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## MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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