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- Foundations of Data Science 数据科学基础
数学代写|基础数据分析代写Elementary data Analysis代考|Adding Probabilistic Assumptions
The usual treatment of linear regression adds many more probabilistic assumptions, namely that
and that $Y$ values are independent conditional on their $\vec{X}$ values. So now we are assuming that the regression function is exactly linear; we are assuming that at each $\vec{X}$ the scatter of $Y$ around the regression function is Gaussian; we are assuming that the variance of this scatter is constant; and we are assuming that there is no dependence between this scatter and anything else.
None of these assumptions was needed in deriving the optimal linear predictor. None of them is so mild that it should go without comment or without at least some attempt at testing.
Leaving that aside just for the moment, why make those assumptions? As you know from your earlier classes, they let us write down the likelihood of the observed responses $y_1, y_2, \ldots y_n$ (conditional on the covariates $\vec{x}_1, \ldots \vec{x}_n$ ), and then estimate $\beta$ and $\sigma^2$ by maximizing this likelihood. As you also know, the maximum likelihood estimate of $\beta$ is exactly the same as the $\beta$ obtained by minimizing the residual sum of squares. This coincidence would not hold in other models, with non-Gaussian noise.
We saw earlier that $\hat{\beta}$ is consistent under comparatively weak assumptions that it converges to the optimal coefficients. But then there might, possibly, still be other estimators are also consistent, but which converge faster. If we make the extra statistical assumptions, so that $\hat{\beta}$ is also the maximum likelihood estimate, we can lay that worry to rest. The MLE is generically (and certainly here!) asymptotically efficient, meaning that it converges as fast as any other consistent estimator, at least in the long run. So we are not, so to speak, wasting any of our data by using the MLE.
A further advantage of the MLE is that, as $n \rightarrow \infty$, its sampling distribution is itself a Gaussian, centered around the true parameter values. This lets us calculate standard errors and confidence intervals quite easily.
数学代写|基础数据分析代写Elementary data Analysis代考|Examine the Residuals
By construction, the residuals of a fitted linear regression have mean zero and are uncorrelated with the predictor variables. If the usual probabilistic assumptions hold, however, they have many other properties as well.
- The residuals have a Gaussian distribution at each $\vec{x}$.
- The residuals have the same Gaussian distribution at each $\vec{x}$, i.e., they are $i n$ dependent of the predictor variables. In particular, they must have the same variance (i.e., they must be homoskedastic).
- The residuals are independent of each other. In particular, they must be uncorrelated with each other.
These properties – Gaussianity, homoskedasticity, lack of correlation — are all testable properties. When they all hold, we say that the residuals are white noise. One would never expect them to hold exactly in any finite sample, but if you do test for them and find them strongly violated, you should be extremely suspicious of your model. These tests are much more important than checking whether the coefficients are significantly different from zero.
Every time someone uses linear regression with the standard assumptions for inference and does not test whether the residuals are white noise, an angel loses its wings.
基础数据分析代考
数学代写|基础数据分析代写基本数据分析代考|添加概率假设
线性回归的通常处理方法增加了更多的概率假设，即
和$Y$值是独立的，条件是它们的$\vec{X}$值。现在我们假设回归函数完全是线性的;我们假设在每个$\vec{X}$处$Y$对回归函数的散点为高斯分布;我们假设这个散点的方差是恒定的;我们假设这个散点和其他点之间没有相关性
在推导最佳线性预测器时，这些假设都不需要。它们中没有一个是温和到不需要评论或至少不需要尝试测试的
暂且不谈这个，为什么要做这些假设呢?正如您从前面的课程中所知道的，它们让我们写下观察到的响应的可能性$y_1, y_2, \ldots y_n$(以协变量$\vec{x}_1, \ldots \vec{x}_n$为条件)，然后通过最大化这种可能性来估计$\beta$和$\sigma^2$。你也知道，$\beta$的最大似然估计与最小化残差平方和得到的$\beta$完全相同。这种巧合在其他非高斯噪声的模型中并不成立。我们前面看到，$\hat{\beta}$在相对较弱的假设下是一致的，即它收敛于最优系数。但也有可能，还有其他的估计量也是一致的，但收敛得更快。如果我们做出额外的统计假设，那么$\hat{\beta}$也是最大似然估计，我们就可以消除这种担忧。MLE是一般的(当然是这里!)渐近有效的，这意味着它的收敛速度和任何其他一致估计器一样快，至少从长期来看是这样的。因此，可以说，使用MLE不会浪费任何数据。
MLE的另一个优点是，如$n \rightarrow \infty$，其抽样分布本身是一个高斯分布，以真实参数值为中心。这让我们可以很容易地计算标准误差和置信区间。
数学代写|基础数据分析代写基本数据分析代考|检验残差
通过构造，拟合线性回归的残差均值为零，且与预测变量不相关。然而，如果通常的概率假设成立，它们还有许多其他属性
- 残差在每个点上都有高斯分布 $\vec{x}$
- 残差在各点具有相同的高斯分布 $\vec{x}$，即，他们是 $i n$ 依赖于预测变量。特别是，它们必须具有相同的方差(即，它们必须是同方差)。残差是相互独立的。
这些性质——高斯性、同方差、缺乏相关性——都是可测试的性质。当它们都成立时，我们说残差是白噪声。人们永远不会期望它们在任何有限的样本中完全成立，但如果你对它们进行了测试，发现它们严重违反了，你应该对你的模型极为怀疑。这些检验比检查系数是否与零有显著差异要重要得多
每当有人使用带有标准假设的线性回归进行推理，而不检验残差是否为白噪声时，天使就失去了翅膀
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金融工程代写
金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题，以及设计新的和创新的金融产品。
非参数统计代写
非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。
广义线性模型代考
广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。
术语 广义线性模型（GLM）通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归，以及方差分析和方差分析（仅含固定效应）。
有限元方法代写
有限元方法（FEM）是一种流行的方法，用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。
有限元是一种通用的数值方法，用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程（即一些边界值问题）。为了解决一个问题，有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分，称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的，它是通过构建对象的网格来实现的：用于求解的数值域，它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统，以模拟整个问题。然后，有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。
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随机分析代写
随机微积分是数学的一个分支，对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。
时间序列分析代写
随机过程，是依赖于参数的一组随机变量的全体，参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现，其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值（如1秒，5分钟，12小时，7天，1年），因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中，往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录，以得到其自身发展的规律。
回归分析代写
多元回归分析渐进（Multiple Regression Analysis Asymptotics）属于计量经济学领域，主要是一种数学上的统计分析方法，可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系，在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。
MATLAB代写
MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。
