# 数学代写|数论作业代写number theory代考|MATH308

#### Doug I. Jones

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## 数学代写|数论作业代写number theory代考|The Greatest Integer Function

8.11. (a) Use Theorem $8.2$ to find the highest power of 2 in $36 !$.
(b) Do the same for the highest power of 3 in 36 !.
(c) Do the same for the highest power of 5 in 36 !.
(d) Do the same for the highest power of 11 in 36 !.
8.12. If 100 ! were multiplied out, how many zeros would there be at the end?
8.13. (a) As in Example 8.3, compute the binomial coefficient $\left(\begin{array}{c}10 \ 6\end{array}\right)$ using its definition.
(b) Use Theorem $8.2$ to compute $\left(\begin{array}{c}10 \ 6\end{array}\right)$ by counting the number of factors of $2,3,5$ and 7 in each of 10 !, 6 ! and $4 !$.
8.14. For what real numbers $x$ is it true that
(a) $[x+2]=[x]+2$,
(b) $[2 x]=2[x]$.
(Suggestion: It’s very often a good idea to simply compute some examples and try to recognize a pattern. For example, for Part (b), note that $2[1.4]=2 \cdot 1=2=[2.8]$, but $2[1.6]=2 \cdot 1=2 \neq[3.2]$.)
The Functions $\phi(n), \tau(n), \sigma(n)$, and $\sigma_k(n)$
8.15. Find the value of:
(a) $\phi(30)$
(b) $\tau(30)$
(c) $\sigma(30)$,
(d) $\sigma_2(30)$.
8.16. Find the smallest positive integer $n$ so that
(a) $\phi(n)=6$,
(b) $\tau(n)=6$,
(c) $\sigma(n)=6$.
8.17. (a) Using Theorem 8.4, compute $\tau(864)$.
(b) Using Theorem 8.7, compute $\sigma(864)$.

## 数学代写|数论作业代写number theory代考|The Linear Equation a x+b y=c

We first consider the simplest Diophantine equation, namely a linear equation where we seek integers $x$ and $y$ so that for given integers $a, b, c$, we have $a x+b y=c$. The problem is rather trivial if one of $a$ or $b$ is 0 . For example if $a=0$, then the equation $b y=c$ has an integer solution if and only if $b$ divides $c$. Hence we assume that neither $a$ nor $b$ is zero. If $d=\operatorname{gcd}(a, b)$, the greatest common divisor of the integers $a$ and $b$, then the above linear equation has no solution if $d$ does not divide $c$ since $d$ clearly does divide $a x+b y$.
Suppose then that $d=\operatorname{gcd}(a, b)$ divides $c$. We can now use the following procedure to first find an initial solution to our equation and then find out how to generate infinitely many solutions from that initial one:
(1) Since $d$ divides $c$, we can divide our equation through by $d$, and the resulting equation will have the exact same solutions as the original equation. For simplicity, we shall denote the new reduced equation by the symbols $a x+b y=c$, where now $a$ and $b$ are relatively prime.
(2) Use either trial and error or the Euclidean Algorithm to find a solution $\left(x_0, y_0\right)$ of the equation $a x+b y=1$. For a reminder of how to find $\left(x_0, y_0\right)$ using the Euclidean Algorithm, see the discussion following Example 1.5 as well as Solved Problems $1.10$ and 1.11.
(3) Multiplying both sides of the solved equation in (2) by $c$, we obtain the equation $a\left(c x_0\right)+b\left(c y_0\right)=c$, and so we have found our initial solution $\left(x_1=c x_0, y_1=c y_0\right)$ of the given equation.
(4) We can now use the solution $\left(x_1, y_1\right)$ to generate infinitely many solutions, basically by having the $x$ solution go up and the $y$ solution go down, or vice versa. Letting $t$ be any integer, we claim that $\left(x_1+b t, y_1-a t\right)$ is also a solution. Checking this:
$$a\left(x_1+b t\right)+b\left(y_1-a t\right)=a x_1+a b t+b y_1-a b t=a x_1+b y_1=c .$$

# 数论作业代写

## 数学代写|数论作业代写数论代考|最大整数函数

8.11。(a)使用定理$8.2$找到$36 !$中2的最高次幂。
(b)对36中3的最高次幂做同样的处理!。
(c)对36中5的最高次幂做同样的处理!。
(d)对36中11的最高次幂做同样的处理!。
8.12。如果100 !如果把它乘出来，最后会有多少个零?
8.13。(a)如例8.3所示，使用定义计算二项式系数$\left(\begin{array}{c}10 \ 6\end{array}\right)$
(b)使用$8.2$定理计算$\left(\begin{array}{c}10 \ 6\end{array}\right)$，计算$2,3,5$和7的因数个数(10)，6 !和$4 !$ .
8.14。对于什么实数$x$
(a) $[x+2]=[x]+2$，
(b) $[2 x]=2[x]$ .
(建议:通常情况下，简单地计算一些例子并尝试识别一个模式是一个好主意。例如，对于(b)部分，注意$2[1.4]=2 \cdot 1=2=[2.8]$，但是$2[1.6]=2 \cdot 1=2 \neq[3.2]$ .)

8.15。找出
(a) $\phi(30)$
(b) $\tau(30)$
(c) $\sigma(30)$，
(d) $\sigma_2(30)$ .
8.16。找出最小正整数$n$，使
(a) $\phi(n)=6$，
(b) $\tau(n)=6$，
(c) $\sigma(n)=6$。(a)利用定理8.4，计算$\tau(864)$ .
(b)利用定理8.7，计算$\sigma(864)$ .

## 数学代写|数论作业代写数论代考|线性方程a x+b y=c

(1) Since $d$ 除 $c$，我们可以把方程除以 $d$，得到的方程的解与原方程的解完全相同。为简单起见，我们将用符号表示新的简化方程 $a x+b y=c$，现在在哪里 $a$ 和 $b$
(2)用试错法或欧氏算法来找到一个解 $\left(x_0, y_0\right)$ 这个方程的 $a x+b y=1$。提醒你如何找到 $\left(x_0, y_0\right)$ 使用欧几里得算法，参见示例1.5之后的讨论以及已解决的问题 $1.10$ 和1.11.
(3)在(2)中解出的方程两边同时乘以 $c$，得到方程 $a\left(c x_0\right)+b\left(c y_0\right)=c$，所以我们找到了初始解 $\left(x_1=c x_0, y_1=c y_0\right)$
(4)我们现在可以用解了 $\left(x_1, y_1\right)$ 生成无穷多个解，基本上是通过 $x$ 溶液向上 $y$ 溶液向下，反之亦然。出租 $t$ 任何整数都可以 $\left(x_1+b t, y_1-a t\right)$ 也是一个解。正在检查这个:
$$a\left(x_1+b t\right)+b\left(y_1-a t\right)=a x_1+a b t+b y_1-a b t=a x_1+b y_1=c .$$

## 有限元方法代写

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## MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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