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数论是纯数学的一个分支，主要致力于研究整数和整数值函数。数论是对正整数集合的研究。

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数学代写|数论作业代写number theory代考|The Equation

Having just seen that the Diophantine equation $x^2+y^2=z^2$ has infinitely many primitive solutions (i.e., solutions in which $\operatorname{gcd}(x, y)=1$, it would be natural to expect that the equations $x^3+y^3=z^3, x^4+y^4=z^4$, and so on would also have infinitely many solutions. As we shall now see in this section and the next, this turns out to be not true, and in fact very strongly not true in the sense that we go from infinitely many solutions to no (nontrivial) solutions for each power $n>2$. This surprising fact was first conjectured in the 17-th century by Pierre de Fermat but was only proved in full generality about 350 years later in 1995 by Andrew Wiles. Wiles’ proof uses methods which are far beyond elementary number theory, but we shall see here that with some considerable effort we are able to use our elementary techniques to conclude that the Diophantine equation $x^4+y^4=z^4$ has no integer solutions beyond the “trivial” ones; i.e., the ones in which $x$ or $y$ is 0 . The exponent $n=4$ turns out to be easier to deal with than $n=3$ since with $n=4$, we are able, as we shall soon see, to make use of Theorem 9.2.

To get the desired result about $x^4+y^4=z^4$, we will first closely examine the related equation $x^4+y^4=z^2$, after which we can apply what we learned about it to achieve our main goal. So here is our central result:

Theorem 9.4. The only integral solutions of the Diophantine equation $x^4+y^4=z^2$ are the trivial solutions $\left{x=0, y, z=\pm y^2\right}$ and $\left{x, y=0, z=\pm x^2\right}$.

Proof. Our proof illustrates the method of “proof by descent” or “Fermat’s method of infinite descent,” as it is sometimes called. The idea is the following: Assume that the equation $x^4+y^4=$ $z^2$ has a non-trivial solution $\left{x_0, y_0, z_0\right}$ and then show that this assumption leads to another non-trivial solution $\left{x_1, y_1, z_1\right}$ with $z_1<z_0$. Repeating this process will then lead to a solution with a smaller $z_2$, and so on. Since starting with $z_0$ cannot produce an infinite strictly decreasing sequence of positive integers, our assumption that the original solution existed must have been false, and the theorem follows. So get ready for the tricky argument needed to produce the first new “smaller” solution $\left{x_1, y_1, z_1\right}$. In the course of this proof it will be necessary to introduce eight new positive integers: ${u, v}$ and later ${r, s}$ when applying Theorem $9.2 ;\left{z_1, t\right}$ and later $\left{x_1, y_1\right}$ when using the fact (already used once in the previous section) that if the product of two relatively prime integers is a perfect square, then each of the numbers must also be a perfect square.

数学代写|数论作业代写number theory代考|The Equation xn+yn=zn, n>2

Having now closely examined the specific Diophantine equations $x^2+y^2=z^2$ and $x^4+y^4=z^4$, and having reached totally different conclusions about the existence of integral solutions of them, we now turn to the general case: the equation $x^n+y^n=z^n$. Here is what Pierre de Fermat concluded about its solutions.

Conjecture 9.6. (Fermat’s Conjecture, 1637) If $n>2$, the Diophantine equation $x^n+y^n=z^n$ has no integral solutions except for the trivial solutions when one of $x$ or $y$ is 0 .

So Fermat stated that, even though $x^2+y^2=z^2$ has infinitely many integral solutions which we can explicitly describe (Theorem $9.2$ ), none of the corresponding equations with exponents greater than 2 have any non-trivial solutions. (We proved in the previous section, with considerable effort, that this is true of the equation $x^4+y^4=z^4$.) Fermat claimed to have a proof of his conjecture, but he never wrote his proof down, if indeed he really did have one. Though various special cases of the theorem were settled in the ensuing years (for example, in 1770 Leonhard Euler gave a proof for the case $n=3$ ), a general proof eluded mathematicians for centuries. Fermat’s Conjecture was finally resolved in 1995, when Andrew Wiles at Princeton University gave an extremely complicated proof requiring several hundred pages of very advanced mathematics. There remains hope that someone might discover an elementary proof of Fermat’s Conjecture (i.e., a proof using the kinds of arguments we used in the previous section to settle the matter for the case $x^4+y^4=z^4$ ), but this seems unlikely to occur because after more than 350 years no such elementary proof has been found.

We remark also that Fermat’s Conjecture is often referred to as “Fermat’s Last Theorem.” It has been given this name since Fermat had a habit of writing down conjectures but then not supplying the needed proofs. One by one these other conjectures were proved to be true by other mathematicians as the years passed, but no proof of Conjecture $9.6$ was found until 1995 . Hence it was, for many, many years, his “last theorem.”

数论作业代写

数学代写|数论作业代写数论代考|方程

在刚刚看到丢番图方程$x^2+y^2=z^2$有无穷多个原始解(即，解中包含$\operatorname{gcd}(x, y)=1$)之后，我们很自然地期望方程$x^3+y^3=z^3, x^4+y^4=z^4$等也有无穷多个解。正如我们现在将在这一节和下一节中看到的，这被证明是不正确的，事实上非常不正确，因为我们从无穷多个解到每个幂$n>2$的无(非平凡)解。这一令人惊讶的事实在17世纪由皮埃尔·德·费马首次推测出来，但直到350年后的1995年，安德鲁·怀尔斯才全面证实。怀尔斯的证明所使用的方法远远超出了初等数论，但我们将在这里看到，经过相当大的努力，我们能够使用初等技术得出这样的结论:丢番图方程$x^4+y^4=z^4$除了“平凡”解之外没有整数解;也就是说，其中$x$或$y$为0。指数$n=4$被证明比$n=3$更容易处理，因为对于$n=4$，我们能够使用定理9.2。

为了得到关于$x^4+y^4=z^4$的预期结果，我们将首先仔细研究相关的方程$x^4+y^4=z^2$，然后我们可以应用我们所学到的知识来实现我们的主要目标。下面是我们的中心结果:

定理9.4。丢番图方程$x^4+y^4=z^2$的唯一积分解是平凡解$\left{x=0, y, z=\pm y^2\right}$和$\left{x, y=0, z=\pm x^2\right}$。

证明。我们的证明说明了“下降证明法”或有时被称为“费马无限下降法”的方法。其思路如下:假设方程$x^4+y^4=$$z^2$有一个非平凡解$\left{x_0, y_0, z_0\right}$，然后证明这个假设导致另一个非平凡解$\left{x_1, y_1, z_1\right}$和$z_1<z_0$。重复这个过程将得到一个$z_2$更小的解决方案，依此类推。由于从$z_0$开始不能产生一个由正整数组成的严格递减的无穷序列，我们关于原解存在的假设一定是错误的，定理成立。因此，请准备好应对产生第一个新的“更小”解决方案$\left{x_1, y_1, z_1\right}$所需的棘手争论。在这个证明过程中，有必要引入八个新的正整数:应用定理$9.2 ;\left{z_1, t\right}$时的${u, v}$和之后的${r, s}$，以及使用事实(在前一节中已经使用过一次)时的$\left{x_1, y_1\right}$，即如果两个相对素数的乘积是完全平方，那么每个数也必须是完全平方。

数学代写|数论作业代写数论代考|方程xn+yn=zn, n>2

在仔细研究了特定的丢番图方程$x^2+y^2=z^2$和$x^4+y^4=z^4$，并对它们的积分解的存在性得出了完全不同的结论之后，我们现在转向一般情况:方程$x^n+y^n=z^n$。以下是费马对其解的结论

猜想(费马猜想，1637)如果$n>2$，丢番图方程$x^n+y^n=z^n$没有积分解，只有当$x$或$y$中的一个为0时的平凡解。

所以费马指出，尽管$x^2+y^2=z^2$有无穷多个我们可以显式描述的积分解(定理$9.2$)，但没有一个指数大于2的对应方程有任何非平凡解。(我们在前一节花了相当大的力气证明了这是对等式$x^4+y^4=z^4$成立的。)费马声称他的猜想有了证明，但他从来没有把他的证明写下来，如果他真的有的话。尽管在随后的几年里，该定理的各种特殊情况得到了解决(例如，1770年莱昂哈德·欧拉给出了该情况的证明$n=3$)，但一个普遍的证明却让数学家们困惑了好几个世纪。费马猜想最终在1995年得到解决，普林斯顿大学的安德鲁·怀尔斯给出了一个极其复杂的证明，需要数百页非常高级的数学。仍然有希望有人发现费马猜想的基本证明(即使用我们在前一节中使用的论据来解决这个问题$x^4+y^4=z^4$)，但这似乎不太可能发生，因为350多年过去了，还没有发现这样的基本证明

我们还注意到，费马猜想常被称为“费马大定理”。它之所以有这个名字，是因为费马习惯写下猜想，但不提供所需的证明。随着时间的推移，其他数学家一个接一个地证明了这些猜想是正确的，但是直到1995年才发现关于猜想$9.6$的证据。因此，在许多许多年里，这都是他的“最后定理”。

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金融工程代写

金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题，以及设计新的和创新的金融产品。

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语 广义线性模型（GLM）通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归，以及方差分析和方差分析（仅含固定效应）。

有限元方法代写

有限元方法（FEM）是一种流行的方法，用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法，用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程（即一些边界值问题）。为了解决一个问题，有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分，称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的，它是通过构建对象的网格来实现的：用于求解的数值域，它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统，以模拟整个问题。然后，有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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随机分析代写

随机微积分是数学的一个分支，对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。

时间序列分析代写

随机过程，是依赖于参数的一组随机变量的全体，参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现，其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值（如1秒，5分钟，12小时，7天，1年），因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中，往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录，以得到其自身发展的规律。

回归分析代写

多元回归分析渐进（Multiple Regression Analysis Asymptotics）属于计量经济学领域，主要是一种数学上的统计分析方法，可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系，在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。