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期权定价理论通过分配一个价格，也就是溢价，根据计算出的合同在到期时完成货币（ITM）的概率来估计期权合同的价值。

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In the first section of this chapter we considered a simple one-step model with two possible outcomes. Then in the following section we turned our attention to a more general, continuous model, but we still only considered a single short step $\delta S_t$ over a period $\delta t$. These models not only gave insights into a general approach for solving previously intractable problems (risk neutrality); they also yielded the fundamental differential equation governing all options. We now extend the analysis from one to two steps and in the process we derive the central result which underlies the whole of the modern options industry.
(i) Beginning of First Step: We buy an option and hedge it with delta units of the underlying stock. We start with zero wealth so any cash surplus or deficit is borrowed or deposited with a bank. We have already seen from equation (4.11) that our position may be represented by
$$
f_{S_t t}-\Delta_{S_t t} S_t+B_{S_t t}=0
$$
Consider two concrete examples

• A call option valued at 10 when the stock price is 100 which has a delta of 0.5. The delta of the call is positive so the hedge is to short stock. Putting numbers into the last equation gives
  $$
  10-0.5 \times 100+B_{S_t t}=0 \quad \text { or } \quad B_{S_t t}=+40
  $$
  Shorting the stock means borrowing stock and selling it. This process generates 50 of cash but the option cost us 10 ; the net of the two is a cash surplus of 40 which we place on deposit.
• A put option worth 10 when the stock price is 100; delta is -0.5. The delta of a put is negative, so the hedge is to buy stock. Our equation now becomes
  $$
  10+0.5 \times 100+B_{S_t t}=0 \quad \text { or } \quad B_{S_t t}=-60
  $$
  This time we buy the option for 10 but also need to spend 50 on the stock hedge. Our total outlay is 60 which needs to be borrowed.

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(i) The theory developed in the last section called for rebalancing of the hedge at infinitesimally small time intervals, but this is obviously not possible in practice. The example we consider is a 1-year call option for which we rebalance the hedge once a month; in real life, we would rebalance the hedge more often. The columns of Table $4.1$ are as follows.
(A) $S_t$ : Assuming the stock price starts at 100 , we have generated a scenario of stock prices after 1 month, 2 months, …, 12 months. These values are calculated from equation (3.7), making the risk-neutral substitution $m=(r-q)-\frac{1}{2} \sigma^2$. In this particular example, we have taken $r=6 \%, q=3 \%, \sigma=25 \%$ so that
$$
S_{\text {month } i+1}=S_{\text {month } i} \exp \left{3 \% \times \frac{1}{12}-\frac{1}{2} \times(25 \%)^2+25 \% \times \sqrt{\frac{1}{12} z_{i+1}}\right}
$$
where $z_{i+1}$ is a random variable drawn from a standard normal population. Such variables are easy to generate in a spreadsheet using formulas discussed in Chapter 10. An infinite number of paths can be generated in this column simply by pressing the button which allocates the new set of random numbers for Tables $4.1$ and $4.2$. We have simply chosen a couple of paths which are good illustrations of the present subject.
(B) $\Delta_{S_t t}$ : The deltas shown in the third column are calculated from the Black Scholes model and correspond to the stock prices of column 2 and the time left to maturity.

The last three columns correspond to the portfolio $f_{S_t t}-\Delta_{S_t t} S_t+B_{S_t t}=0$, which as we have seen should have value zero at every point in time. The first line of this part of the table is constructed as follows.
(C) $f_{S_0 0}:$ On day 1, when the stock price is $100.00$, we buy an option for its fair value of $11.01$. This fair value is obtained from the Black Scholes model.
(D) $\Delta_{S_0 0} \times S_0$ : We have already calculated the delta, and this is the number of shares that is shorted to hedge the option. The cash we receive as a result of this short is shown in this column.
(E) $B_{S_0 0}$ : The amount of cash available for depositing in the cash account is the difference of the last two items.
The remainder of the last three columns is filled in as follows.
(F) $\Delta_{S_t t} \times S_t$ : Each month, observe the new share price and calculate an appropriate delta (columns 2 and 3 ).
(G) The change in the cash account is the sum of three items:

• Interest on the cash surplus received for the previous month;
• Dividends on the stock borrowed in the previous month;
• Stock bought or sold to readjust the hedge.

期权理论代写

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在本章的第一节中，我们考虑了一个简单的一步模型，有两种可能的结果。然后在下一节中，我们将注意力转向一个更一般的、连续的模型，但我们仍然只考虑$\delta t$期间内的一个简单的短步骤$\delta S_t$。这些模型不仅洞察了解决以前棘手问题的一般方法(风险中性);他们还得出了控制所有选项的基本微分方程。现在，我们将分析从一个步骤扩展到两个步骤，在这个过程中，我们得出了现代期权行业的核心结果。第一步的开始:我们购买期权，并用标的股票的delta单位对冲。我们从零财富开始，所以任何现金盈余或赤字都是借入或存入银行。我们已经从(4.11)式中看出，我们的位置可以用
$$
f_{S_t t}-\Delta_{S_t t} S_t+B_{S_t t}=0
$$
来表示。考虑两个具体的例子

• 当股价为100时，价值为10的看涨期权，其δ值为0.5。看涨期权的delta是正的，所以对冲是做空股票。把数字代入最后一个等式得到
  $$
  10-0.5 \times 100+B_{S_t t}=0 \quad \text { or } \quad B_{S_t t}=+40
  $$
  做空股票意味着借入股票并卖出。这个过程产生了50美元的现金，但期权花费了我们10美元;两者加起来的现金盈余是40，这是我们存入的。股价为100时价值10的看跌期权;等于-0.5。看跌期权的δ是负的，所以对冲是买股票。我们的等式现在变成了
  $$
  10+0.5 \times 100+B_{S_t t}=0 \quad \text { or } \quad B_{S_t t}=-60
  $$
  这一次我们以10的价格购买期权，但也需要花费50在股票对冲上。我们的总费用是60，需要借用。

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上一节中提出的理论要求在无穷小的时间间隔内重新平衡对冲，但这在实践中显然是不可能的。我们考虑的例子是1年期看涨期权，我们每月重新平衡一次对冲;在现实生活中，我们会更频繁地重新平衡对冲。表$4.1$的列如下:
(A) $S_t$:假设股价从100开始，我们生成了一个1个月，2个月，…，12个月后的股价情景。这些值由式(3.7)计算，使风险中性替代$m=(r-q)-\frac{1}{2} \sigma^2$。在这个特殊的例子中，我们取$r=6 \%, q=3 \%, \sigma=25 \%$，因此
$$
S_{\text {month } i+1}=S_{\text {month } i} \exp \left{3 \% \times \frac{1}{12}-\frac{1}{2} \times(25 \%)^2+25 \% \times \sqrt{\frac{1}{12} z_{i+1}}\right}
$$
，其中$z_{i+1}$是从标准正态总体中提取的随机变量。这些变量很容易在电子表格中使用第10章中讨论的公式生成。只需按下为表$4.1$和$4.2$分配新随机数的按钮，就可以在该列中生成无限多的路径。
(B) $\Delta_{S_t t}$:第三列所示的δ是根据Black Scholes模型计算出来的，对应于第2列的股票价格和剩余的到期时间

最后三列对应于投资组合$f_{S_t t}-\Delta_{S_t t} S_t+B_{S_t t}=0$，正如我们所看到的，它在每个时间点的值应该为0。
(C) $f_{S_0 0}:$第一天，当股票价格为$100.00$时，我们以其公允价值$11.01$购买期权。
(D) $\Delta_{S_0 0} \times S_0$:我们已经计算了delta，这是为对冲期权而做空的股票数量。
(E) $B_{S_0 0}$:可存入现金账户的现金金额是后两项的差额。
(F) $\Delta_{S_t t} \times S_t$:每个月，观察新股票的价格并计算一个适当的增量(列2和3)。
(G)现金账户的变化是三个项目的总和: 上月收到的现金盈余的利息;上月借入的股票的股息;买卖股票以调整套期

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金融工程代写

金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题，以及设计新的和创新的金融产品。

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语 广义线性模型（GLM）通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归，以及方差分析和方差分析（仅含固定效应）。

有限元方法代写

有限元方法（FEM）是一种流行的方法，用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法，用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程（即一些边界值问题）。为了解决一个问题，有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分，称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的，它是通过构建对象的网格来实现的：用于求解的数值域，它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统，以模拟整个问题。然后，有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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随机分析代写

随机微积分是数学的一个分支，对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。

时间序列分析代写

随机过程，是依赖于参数的一组随机变量的全体，参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现，其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值（如1秒，5分钟，12小时，7天，1年），因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中，往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录，以得到其自身发展的规律。

回归分析代写

多元回归分析渐进（Multiple Regression Analysis Asymptotics）属于计量经济学领域，主要是一种数学上的统计分析方法，可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系，在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。

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MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。