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期权定价理论通过分配一个价格,也就是溢价,根据计算出的合同在到期时完成货币(ITM)的概率来估计期权合同的价值。
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金融代写|期权理论代写Mathematical Introduction to Options代考|GREEKS
(i) A deeper understanding of the material of the last couple of chapters is obtained by considering the various partial derivatives of the stock price. Let us return to the Taylor expansion of Section 3.4:
$$
\delta f_{S_t t}=\frac{\partial f_{S_t t}}{\partial S_t} \delta S_t+\frac{\partial f_{S_S t}}{\partial t} \delta t+\frac{1}{2}\left{\frac{\partial^2 f_{S_t t}}{\partial S_t^2} \delta S_t^2+\frac{\partial^2 f_{S_t t}}{\partial S_t \partial t} \delta S_t \delta t+\frac{\partial^2 f_{S_t t}}{\partial t^2} \delta t^2\right}+\cdots
$$
Using the substitution $\delta S_t^2 \rightarrow \sigma^2 S_t^2 \delta t$ which is explained in Section 3.3, and retaining only terms of first order in $\delta t$ gives
$$
\delta f_{S_t t}=\frac{\partial f_{S_t t}}{\partial S_t} \delta S_t+\left{\frac{\partial f_{S_t t}}{\partial t}+\frac{1}{2} \sigma^2 S_t^2 \frac{\partial^2 f_{S_t t}}{\partial S_t^2}\right} \delta t
$$
In Section 4.2(vi) we defined the delta of a derivative by $\Delta_{S_t t}=\partial f_{S_t t} / \partial S_t$; two other partial derivatives are now defined as follows.
Theta: $\theta_{S_t t}={ }{\partial t}^{\partial f{s t}}$ This is the rate at which the value of an option changes over time.
Gamma: $\Gamma_{S_t t}=\frac{\partial \Delta_{S_t t}}{\partial S_t}=\frac{\partial^2 f_{s_s t}}{\partial S_t^2}$ The second derivative is a measure of the rate of change of the slope of the curve of $f_{S_t t}$ against $S_t$, i.e. it measures the sharpness of the curvature of the curve.
Lightening up on the notation a little, the Taylor expansion can now be written in Greek letters:
$$
\delta f_t=\Delta_t \delta S_t+\left{\theta_t+\frac{1}{2} \sigma^2 S_t^2 \Gamma_t\right} \delta t
$$
(ii) This last equation is illustrated in Figure 4.2, and may be given the following physical interpretation: in the time period $\delta t$, the stock price moves by $\delta S_t$; over the same interval, the derivative price moves by $\delta f_t=f_{S_t+\delta S_t t+\delta t}-f_{S_t t}$. This is represented by a move from the point A to the point $\mathrm{A}^{\prime}$ in the graph, with the value of $\delta f_t$ represented by the distance $\mathrm{A}^{\prime} \mathrm{D}$. This is made up of three distinct parts, which are easiest to understand if we think in terms of replication of an option rather than hedging.
金融代写|期权理论代写Mathematical Introduction to Options代考|DERIVATION OF MODEL FROM EXPECTED VALUES
(i) Risk neutrality tells us that the value at time $t=0$ of a call option maturing at time $T=0$ is given by
$$
C_0=\mathrm{e}^{-r T} \mathrm{E}\left[C_T\right]{\text {risk neutral }}=\mathrm{e}^{-r T} \mathrm{E}\left[\max \left[\left(S_T-X\right), 0\right]\right]{\text {risk neutral }}
$$
For notional simplicity, the risk-neutral suffix will be dropped but it must always be remembered that we are dealing with pseudo-probabilities and pseudo-expectations.
The value of the option is zero if it expires out-of-the-money $\left(S_TX\right]
$$
(ii) In order to obtain the expected value we need to multiply the payoff by a probability distribution and integrate over $S_T$. However, it is mathematically much simpler to transform variables: equation (3.7) states that $S_T=S_0 \mathrm{e}^{m T+\sigma \sqrt{T} z_T}$ where $m=\mu-\frac{1}{2} \sigma^2$ and $z_T$ is a standard normal variate; in a risk-neutral world with dividends, $m=(r-q)-\frac{1}{2} \sigma^2$. The mechanical details of how to evaluate the conditional expectations are given in Appendix A.1(v) The result is
$$
C_0=\mathrm{e}^{-r T}\left{S_0 \mathrm{e}^{(r-q) T} \mathrm{~N}\left[\sigma \sqrt{T}-Z_X\right]-X \mathrm{~N}\left[-Z_X\right]\right}
$$
where $Z_X=\left(\ln \left(X / S_0\right)-m T\right) / \sigma \sqrt{T}$. This result is more usually written as
$$
\begin{aligned}
&C_0=\mathrm{e}^{-r T}\left{F_{0 T} \mathrm{~N}\left[d_1\right]-X \mathrm{~N}\left[d_2\right]\right} \
&d_2=d_1-\sigma \sqrt{T} \
&d_1=\left(\ln \left(F_{0 T} / X\right)+\frac{1}{2} \sigma^2 T\right) / \sigma \sqrt{T}=\left(\ln S_0 / X+(r-q) T+\frac{1}{2} \sigma^2 T\right) / \sigma \sqrt{T}
\end{aligned}
$$
where $F_{0 T}$ is the forward price.
(iii) Note that for constant $X$, E $\left[X: S_T>X\right]=\mathrm{E}\left[X \mid S_T>X\right] \mathrm{E}\left[S_T>X\right]=X \mathrm{P}\left[S_T>X\right]$. It is therefore sometimes stated that the factor $\mathrm{N}\left[d_2\right]$ is the probability that $S_T>X$, i.e. that the option will be exercised. But remember that risk neutrality has led to the substitution $\mu \rightarrow r$. Therefore $\mathrm{P}\left[S_T>X\right]$ is a pseudo-probability. The true probability that $S_T>X$ is $\mathrm{N}\left[d_2\right]$, but with $r$ replaced by $\mu$.
期权理论代写
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(i) 通过考虑股票价格的各种偏导数,可以更深入地理解最后几章的内容。让我们回到第 $3.4$ 节的泰勒展开式:
使用藠换 $\delta S_t^2 \rightarrow \sigma^2 S_t^2 \delta t$ 这在第 $3.3$ 节中进行了解释,并且仅保留一阶项 $\delta t$ 给
在第 4.2(vi) 节中,我们将导数的 delta 定义为 $\Delta_{S_l t}=\partial f_{S_{\ell} t} / \partial S_t$; 其他两个偏导数现在定 义如下。
西塔: $\theta_{S_t t}=\partial t^{\partial f s t}$ 这是期权价值随时间变化的速率。
伽玛: $\Gamma_{S_t t}=\frac{\partial \Delta_{S_t t}}{\partial S_t}=\frac{\partial^2 f_{s_s t}}{\partial S_t^2}$ 二阶导数是曲线斜率受化率的量度 $f_{S_t t}$ 反对 $S_t$ ,即它则量曲 线曲率的锐度。
稍微简化一下符昊,泰勒展开式现在可以用希腊字母写成:
(ii) 最后一个方程如图 4.2 所示,可以以给出以下物理解释: 在时间段内 $\delta t$, 股价变动 $\delta S_t$; 在同 一区间内,衍生品价格㚆动 $\delta f_t=f_{S_t+\delta S_t t+\delta t}-f_{S_t t}$. 这由从点 $\mathrm{A}$ 到点的移动表示 $\mathrm{A}^{\prime}$ 在图 中,值为 $\delta f_t$ 用距离表示 $\mathrm{A}^{\prime} \mathrm{D}$. 这由三个不同的部分组成,如果我们从期权的貢制而不是对冲 的角度来考虑,这三个部分是最容易理解的。
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(i) 风险中性告诉我们,时间价值 $t=0$ 到期的看涨期权 $T=0$ 是 (谁) 给的 $C_0=\mathrm{e}^{-r T} \mathrm{E}\left[C_T\right]$ risk neutral $=\mathrm{e}^{-r T} \mathrm{E}\left[\max \left[\left(S_T-X\right), 0\right]\right]$ risk neutral 为简单起见,将删除风险中性后缀,但必须始终记住,我们正在处理伪概率和伪预期。 如果期权在价外到期,则期权的价值为零 $\left(S_T X\right]$
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金融工程代写
金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题,以及设计新的和创新的金融产品。
非参数统计代写
非参数统计指的是一种统计方法,其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型;这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。
广义线性模型代考
广义线性模型(GLM)归属统计学领域,是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。
术语 广义线性模型(GLM)通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归,以及方差分析和方差分析(仅含固定效应)。
有限元方法代写
有限元方法(FEM)是一种流行的方法,用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。
有限元是一种通用的数值方法,用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程(即一些边界值问题)。为了解决一个问题,有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分,称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的,它是通过构建对象的网格来实现的:用于求解的数值域,它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统,以模拟整个问题。然后,有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。
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随机分析代写
随机微积分是数学的一个分支,对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。
时间序列分析代写
随机过程,是依赖于参数的一组随机变量的全体,参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现,其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值(如1秒,5分钟,12小时,7天,1年),因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中,往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录,以得到其自身发展的规律。
回归分析代写
多元回归分析渐进(Multiple Regression Analysis Asymptotics)属于计量经济学领域,主要是一种数学上的统计分析方法,可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系,在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。
MATLAB代写
MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中,其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括:数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发,包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统,其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题,尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题,而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问,这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展,得到了许多用户的投入。在大学环境中,它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域,MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要,工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数(M 文件)的综合集合,可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。