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期权定价理论通过分配一个价格，也就是溢价，根据计算出的合同在到期时完成货币（ITM）的概率来估计期权合同的价值。

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金融代写|期权理论代写Mathematical Introduction to Options代考|SIMPLE EXAMPLE

(i) Suppose a company is awaiting a crucially important yes/no decision from a government regulator, to be announced in one month. The outcome will radically alter the company’s future in a way which is predictable, once we know which way the decision goes. If the decision is “yes”, the stock price will rise to $S_{\text {high }}$ but for a “no” the price will fall to $S_{\text {low. }}$. Obviously, $S_{\text {high }}$ and $S_{\text {low }}$ must be above and below the present stock price $S_0$ (if they were both above, $S_0$ would rise immediately). Let us further assume that everyone knows that given the political climate, the yes probability is $70 \%$ and the no probability $30 \%$.

We are equity derivatives investors and are holding an unquoted option on this company’s stock which matures immediately after the announcement. The payoff of the option is $f_{1 \text { month }}$, which takes values $f_{\text {high }}$ or $f_{\text {low }}$ depending on whether the stock price becomes $f_{\text {high }}$ or $S_{\text {low }}$. How would we go about working out today’s value for this option?
(ii) Considering first the stock price itself, the expected value in one month and the expected growth rate over that month $\mu$ are defined by
$$
\mathrm{E}\left[S_{1 \text { month }}\right]=0.7 S_{\text {high }}+0.3 S_{\text {low }}=(1+\mu) S_0
$$
At the risk of emphasizing the obvious, let us be clear on this point: $\mu$ is definitely not the rate by which $S_0$ will grow, since the final stock price will be either $S_{\text {high }}$ or $S_{\text {low. }}$. It is the mathematical expectation of the stock price growth. In this example we can work out $\mu$ from our knowledge of the probabilities of yes and no; alternatively, if we knew $\mu$ at the beginning, we could work out the probabilities.
The expected value for $f_{1 \text { month }}$ is similarly given by
$$
\mathrm{E}\left[f_{1 \text { month }}\right]=0.7 f_{\text {high }}+0.3 f_{\text {low }}
$$
which we can evaluate since we know the payoff values. It should not be too hard to calculate the present value, but how? The simplest way might be just to discount back by the interest rate, but remember that this is only valid for finding the present value of some certain future amount; for a risky asset, we must discount back by the rate of return (growth rate) of the particular asset. This is clear from the slightly rewritten equation (4.1):
$$
S_0=\frac{\mathrm{E}\left[S_{1 \text { month }}\right]}{(1+\mu)}
$$
Maybe the answer is to use $(1+\mu)$ as the discount factor; but $\mu$ is the growth rate of the underlying equity stock, not the option. There is nothing to suggest that the expected growth rate of the stock $\mu$ should equal the expected growth rate of the option $\lambda$. Nor is there any simple general way of deriving $\lambda$ from $\mu$. This was the point at which option theory remained stuck for many years. At this point, we enter the world of modern option theory.

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(i) The simple “high-low” example of the last section has wider applicability than a reader might expect at this point. However this remains to be developed in Chapter 7, and for the moment we will extend the theory in a way that describes real financial markets in a more credible way. Following the reasoning of the last section, we assume that we can construct a little portfolio in such a way that a derivative and $-\Delta$ units of stock hedge each other in the short term. Only short-term moves are considered since it is reasonable to assume that the $\Delta$ units of short stock position needed to hedge one derivative will vary with the stock price and the time to maturity. Therefore the hedge will only work over small ranges before $\Delta$ needs to be changed in order to maintain the perfect hedge.

The value of the portfolio at time $t$ may be written $f_t-S_t \Delta$. The increase in value of this portfolio over a small time interval $\delta t$, during which $S_t$ changes by $\delta S_t$, may be written
$$
\delta f_t-S_t \Delta-S_t q \Delta \delta t
$$
The first two terms are obvious while the last term is just the amount of dividend which we must pay to the stock lender from whom we have borrowed stock in the time interval $\delta t$, assuming a continuous dividend proportional to the stock price.

The quantity $\Delta$ is chosen so that the short stock position exactly hedges the derivative over a small time interval $\delta t$; this is the same as saying that the outcome of the portfolio is certain. The arbitrage arguments again lead us to the conclusion that the return of this portfolio must equal the interest rate:
$$
\frac{\delta f_t-\delta S_t \Delta-S_t q \Delta \delta t}{f_t-S_t \Delta}=r \delta t
$$
or
$$
\delta f_t-\delta S_t \Delta+(r-q) S_t \Delta \delta t=r f_t \delta t
$$
These equations are the exact analogue of equations (4.2) for the simple high-low model of the last section.

期权理论代写

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假设一家公司正在等待政府监管机构一个至关重要的是/否决定，该决定将在一个月内宣布。一旦我们知道决策的走向，结果将以一种可预测的方式从根本上改变公司的未来。如果决定为“是”，股价将上升到$S_{\text {high }}$，但如果决定为“否”，股价将下降到$S_{\text {low. }}$。显然，$S_{\text {high }}$和$S_{\text {low }}$必须高于或低于当前股价$S_0$(如果它们都高于，$S_0$将立即上涨)。让我们进一步假设每个人都知道，在当前的政治气候下，是的概率是$70 \%$，否的概率是$30 \%$

我们是股票衍生品投资者，持有该公司股票的未报价期权，该期权将在公告发布后立即到期。期权的收益是$f_{1 \text { month }}$，它的值是$f_{\text {high }}$还是$f_{\text {low }}$，取决于股价是变成$f_{\text {high }}$还是$S_{\text {low }}$。
(ii)首先考虑股价本身，一个月后的期望值和当月的预期增长率$\mu$由
$$
\mathrm{E}\left[S_{1 \text { month }}\right]=0.7 S_{\text {high }}+0.3 S_{\text {low }}=(1+\mu) S_0
$$
定义，尽管强调明显的风险，但让我们明确这一点:$\mu$肯定不是$S_0$将增长的速率，因为最终的股价将是$S_{\text {high }}$或$S_{\text {low. }}$。它是股价增长的数学预期。在这个例子中，我们可以根据我们对是和否的概率的知识计算出$\mu$;或者，如果我们一开始就知道$\mu$，我们就能算出概率。$f_{1 \text { month }}$的期望值类似地由
$$
\mathrm{E}\left[f_{1 \text { month }}\right]=0.7 f_{\text {high }}+0.3 f_{\text {low }}
$$
给出，我们可以计算它，因为我们知道支付值。计算现值应该不难，但如何计算呢?最简单的方法可能是用利率折现，但记住，这只适用于求某未来金额的现值;对于风险资产，我们必须按特定资产的回报率(增长率)折现。从稍微重写的公式(4.1)可以清楚地看出:
$$
S_0=\frac{\mathrm{E}\left[S_{1 \text { month }}\right]}{(1+\mu)}
$$
也许答案是使用$(1+\mu)$作为贴现因子;但$\mu$是标的股票的增长率，而不是期权。没有任何证据表明股票$\mu$的预期增长率应该等于期权$\lambda$的预期增长率。也不存在从$\mu$派生$\lambda$的简单通用方法。这就是期权理论多年来停滞不前的原因。至此，我们进入了现代期权理论的世界

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在这一点上，上一节中简单的“high-low”示例的适用性比读者所预期的要广泛。然而，这仍将在第7章中展开，目前我们将扩展理论，以一种更可信的方式描述真实的金融市场。根据上一节的推理，我们假设可以构建一个小型投资组合，即衍生品和$-\Delta$单位的股票在短期内相互对冲。我们只考虑短期波动，因为我们可以合理地假设，对冲一个衍生品所需的$\Delta$单位的空头股票头寸将随着股价和到期时间的变化而变化。因此，在$\Delta$需要更改以保持完美的对冲之前，对冲只会在小范围内工作。

投资组合在$t$时刻的值可以写成$f_t-S_t \Delta$。这个投资组合的价值在一个小的时间间隔$\delta t$上的增长，在这个时间间隔中$S_t$改变了$\delta S_t$，可以写成
$$
\delta f_t-S_t \Delta-S_t q \Delta \delta t
$$
前两项是明显的，而最后一项只是我们必须支付给股票出借人的股息数额，我们从他那里借了股票，在$\delta t$的时间间隔，假设持续的股息与股价成正比

选择数量$\Delta$，使空头股票头寸在$\delta t$小时间间隔内精确对冲衍生品;这相当于说投资组合的结果是确定的。套利论证再次使我们得出结论，该投资组合的回报必须等于利率:
$$
\frac{\delta f_t-\delta S_t \Delta-S_t q \Delta \delta t}{f_t-S_t \Delta}=r \delta t
$$
或
$$
\delta f_t-\delta S_t \Delta+(r-q) S_t \Delta \delta t=r f_t \delta t
$$
这些方程与上一节简单高低模型的方程(4.2)完全类似

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金融工程代写

金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题，以及设计新的和创新的金融产品。

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语 广义线性模型（GLM）通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归，以及方差分析和方差分析（仅含固定效应）。

有限元方法代写

有限元方法（FEM）是一种流行的方法，用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法，用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程（即一些边界值问题）。为了解决一个问题，有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分，称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的，它是通过构建对象的网格来实现的：用于求解的数值域，它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统，以模拟整个问题。然后，有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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随机分析代写

随机微积分是数学的一个分支，对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。

时间序列分析代写

随机过程，是依赖于参数的一组随机变量的全体，参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现，其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值（如1秒，5分钟，12小时，7天，1年），因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中，往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录，以得到其自身发展的规律。

回归分析代写

多元回归分析渐进（Multiple Regression Analysis Asymptotics）属于计量经济学领域，主要是一种数学上的统计分析方法，可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系，在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。