# 金融代写|金融数值计算代写Market Risk, Numerical Analysis for Finance代考|FINC3020

#### Doug I. Jones

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## 金融代写|金融数值计算代写Market Risk, Numerical Analysis for Finance代考|Solved exercises

1. Given the following sequence of functions, establish whether it is pointwise and/or uniformly convergent:
$$f_n(x)=\frac{n x+x^2}{n^2}, \quad x \in[0,1],$$
2. Evaluate the pointwise limit of the sequence of functions:
$$f_n(x)=\sqrt[n]{1+x^n}, \quad x \geq 0 .$$
3. Show that the following sequence of functions converges pointwise, but not uniformly, to $f(x)=0$ :
$$f_n(x)=n x e^{-n x}, \quad x>0,$$
4. Show that the following sequence of functions converges uniformly to $f(x)=0$ :
$$f_n(x)=\frac{\sqrt{1-x^n}}{n^2}, \quad x \in[-1,1],$$
5. Show that:
$$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n 2^n}=\ln 2 .$$
6. Evaluate:
$$\lim _{n \rightarrow \infty} \int_1^{\infty} \frac{n e^{-n x}}{1+n x} \mathrm{~d} x .$$
7. Use the definite integral $\int_0^1 \frac{x(1-x)}{1+x} \mathrm{~d} x$ to prove that:
$$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{(n+1)(n+2)}=\frac{3}{2}-\ln 4 .$$
8. Let $f_n(x)=\left(1+\frac{x^2}{n}\right)^{-n}, \quad x \geq 0$

## 金融代写|金融数值计算代写Market Risk, Numerical Analysis for Finance代考|Unsolved exercises

1. Show that the sequence of functions $f_n(x)=\frac{x}{n}$, with $x \in \mathbb{R}$, converges pointwise to $f(x)=0$, but the convergence is not uniform.

Show also that, on the other hand, when $a>0$, the sequence $\left(f_n\right)$ converges uniformly to $f(x)=0$ for $x \in[-a, a]$.

1. Let $f_n(x)=\left(\cos \frac{x}{\sqrt{n}}\right)^n, x \in \mathbb{R}$. Show that:
a. $f_n$ converges pointwise to a non-zero function $f(x)$ to be determined;
b. if $a>0$, the sequence $\left(f_n\right)$ converges uniformly on $[-a, a]$.
Hint. Consider the sequence $g_n(x)=\ln f_n(x)$ and use the power series (2.33) and (2.28).
2. Establish if the sequence of functions $\left(f_n\right)$, defined by $f_n(x)=\frac{x+x^2 e^{n x}}{1+e^{n x}}$, for $x \in \mathbb{R}$, converges pointwise and/or uniformly.
3. Show that $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n 3^n}=\ln \frac{3}{2}$.
4. Show that $\lim _{n \rightarrow \infty} \int_0^1 e^{\frac{x+1}{n}} \mathrm{~d} x=1$.
5. Consider the following equality and say if (and why) it is true or false:
6. $$7. \lim {n \rightarrow \infty} \int_0^1 \frac{x^4}{x^2+n^2} \mathrm{~d} x=\int_0^1 \lim {n \rightarrow \infty} \frac{x^4}{x^2+n^2} \mathrm{~d} x . 8.$$
9. Let $f_n(x)=\frac{n\left(x^3+x\right) e^{-x}}{1+n x}$, with $x \in[0,1]$.
10. a. Show that $\left(f_n\right)$ is pointwise convergent to a function $f(x)$ to be determined.
11. b. Show that, for any $x \in[0,1]$ and for any $n \in \mathbb{N}$ :
12. $$13. \left|f_n(x)-f(x)\right| \leq \frac{2}{1+n x} . 14.$$
15. c. Show that, for any $a>0$, sequence $\left(f_n\right)$ converges uniformly to $f$ on $[a, 1]$, but the convergence is not uniform on $[0,1]$.
16. d. Evaluate $\lim _{n \rightarrow \infty} \int_0^1 f_n(x) \mathrm{d} x$.

# 金融数值计算代写

## 金融代写|金融数值计算代写市场风险，金融数值分析代考|解决练习

$$f_n(x)=\frac{n x+x^2}{n^2}, \quad x \in[0,1],$$计算函数序列的逐点极限:
$$f_n(x)=\sqrt[n]{1+x^n}, \quad x \geq 0 .$$说明下列函数序列点向收敛，但不一致收敛于 $f(x)=0$ :
$$f_n(x)=n x e^{-n x}, \quad x>0,$$证明下列函数序列一致收敛于 $f(x)=0$ :
$$f_n(x)=\frac{\sqrt{1-x^n}}{n^2}, \quad x \in[-1,1],$$显示:
$$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n 2^n}=\ln 2 .$$评估值:
$$\lim {n \rightarrow \infty} \int_1^{\infty} \frac{n e^{-n x}}{1+n x} \mathrm{~d} x .$$使用定积分 $\int_0^1 \frac{x(1-x)}{1+x} \mathrm{~d} x$ 证明:
$$\sum{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{(n+1)(n+2)}=\frac{3}{2}-\ln 4 .$$Let $f_n(x)=\left(1+\frac{x^2}{n}\right)^{-n}, \quad x \geq 0$

## 金融代写|金融数值计算代写市场风险，金融数值分析代考|未解决的练习

1. 表明函数序列$f_n(x)=\frac{x}{n}$，加上$x \in \mathbb{R}$，点向收敛到$f(x)=0$，但收敛不是均匀的还表明，另一方面，当$a>0$时，对于$x \in[-a, a]$，序列$\left(f_n\right)$一致收敛到$f(x)=0$
1. Let $f_n(x)=\left(\cos \frac{x}{\sqrt{n}}\right)^n, x \in \mathbb{R}$。显示:
a。 $f_n$ 逐点收敛于非零函数 $f(x)$ 待定;
b。如果 $a>0$，顺序 $\left(f_n\right)$ 一致收敛于 $[-a, a]$.
提示。考虑顺序 $g_n(x)=\ln f_n(x)$ 用幂级数(2.33)和(2.28)
2. 建立if函数序列 $\left(f_n\right)$，定义为 $f_n(x)=\frac{x+x^2 e^{n x}}{1+e^{n x}}$，为 $x \in \mathbb{R}$，点收敛和/或一致收敛。
3. $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n 3^n}=\ln \frac{3}{2}$.
4. $\lim _{n \rightarrow \infty} \int_0^1 e^{\frac{x+1}{n}} \mathrm{~d} x=1$
5. .
6. 考虑下面的等式并说出它是真还是假(以及为什么)$$7. \lim {n \rightarrow \infty} \int_0^1 \frac{x^4}{x^2+n^2} \mathrm{~d} x=\int_0^1 \lim {n \rightarrow \infty} \frac{x^4}{x^2+n^2} \mathrm{~d} x . 8.$$
9. Let $f_n(x)=\frac{n\left(x^3+x\right) e^{-x}}{1+n x}$，与 $x \in[0,1]$a.
10. 证明这一点 $\left(f_n\right)$ 是否点向收敛于一个函数 $f(x)$
11. b。证明给任何人看 $x \in[0,1]$ 对于任何 $n \in \mathbb{N}$ :
12. $$13. \left|f_n(x)-f(x)\right| \leq \frac{2}{1+n x} . 14.$$
15. c。证明给任何人看 $a>0$，序列 $\left(f_n\right)$ 一致收敛于 $f$ 在 $[a, 1]$，但收敛不均匀 $[0,1]$d.
16. 评估 $\lim _{n \rightarrow \infty} \int_0^1 f_n(x) \mathrm{d} x$.

## 有限元方法代写

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## MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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