# 金融代写|金融数值计算代写Market Risk, Numerical Analysis for Finance代考|FE535

#### Doug I. Jones

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## 金融代写|金融数值计算代写Market Risk, Numerical Analysis for Finance代考|Complex exponential

Let us start considering the complex exponential. In $\mathbb{C}$, the exponential function is defined in terms of the usual power series, which is thought, here, as a function of a variable $z \in \mathbb{C}$.
Definition 2.63.
$$e^z:=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{z^n}{n !} .$$
Equations (2.26) and (2.72) only differ in the fact that, in the latter, the argument can be a complex number. Almost all the familiar properties of the exponential still hold, with the one exception of positivity, which has no sense in the unordered field $\mathbb{C}$. The fundamental property of the complex exponential is stated in the following Theorem 2.64, due to Euler.

Theorem 2.64 (Euler). For any $z=x+i y \in \mathbb{C}$, with $x, y \in \mathbb{R}$, it holds:
$$e^{x+i y}=e^x(\cos y+i \sin y) .$$
Proof. Let $z=x+i y \in \mathbb{C}$; then:
\begin{aligned} &e^z=e^{x+i y}=e^x \cdot e^{i y} \ &=e^x \cdot\left(1+\frac{i y}{1 !}+\frac{(i y)^2}{2 !}+\frac{(i y)^3}{3 !}+\frac{(i y)^4}{4 !}+\cdots\right) \ &=e^x \cdot\left{\left(1-\frac{y^2}{2 !}+\frac{y^4}{4 !}+\cdots\right)+i\left(y-\frac{y^3}{3 !}+\frac{y^5}{5 !}+\cdots\right)\right} \ &=e^x \cdot(\cos y+i \sin y) \end{aligned}
The last step, above, exploits the real power series expansion for the sine and cosine functions given in (2.27) and (2.28) respectively.

The first beautiful consequence of Theorem $2.64$ is the famous Euler identity. Corollary 2.65 (Euler identity).
$$e^{i \pi}+1=0 .$$
Proof. First observe that, if $x=0$ in (2.73), then it holds, for any $y \in \mathbb{R}$ :
$$e^{i y}=\cos y+i \sin y \text {. }$$

## 金融代写|金融数值计算代写Market Risk, Numerical Analysis for Finance代考|Complex goniometric hyperbolic functions

Equality (2.75) implies the following formulæ (2.76), again due to Euler and valid for any $y \in \mathbb{R}$ :
$$\sin y=\frac{e^{i y}-e^{-i y}}{2 i}, \quad \cos y=\frac{e^{i y}+e^{-i y}}{2} .$$
It is thus possible to use (2.76) to extend to $\mathbb{C}$ the goniometric functions. Definition 2.66. For any $z \in \mathbb{C}$, define:
$$\sin z=\frac{e^{i z}-e^{-i z}}{2 i}, \quad \cos z=\frac{e^{i z}+e^{-i z}}{2} .$$
In essence, for the sine and cosine functions, both in their goniometric and hyperbolic versions, the power series expansions (2.27), (2.28), (2.29) and (2.30) are understood as functions of a complex variable.

To define the complex logarithm, it must be taken into account that the $\mathbb{C}$ exponential function is periodic, with period $2 \pi i$, thus the $\mathbb{C}$-logarithm is not univocally determined. With this in mind, we formulate the following definition.

Definition 2.67. If $w \in \mathbb{C}$, the logarithm of $w$ is any complex number $z \in \mathbb{C}$ such that $e^z=w$.

Remark 2.68. In $\mathbb{C}$, as well as in $\mathbb{R}$, the logarithm of zero is undefined, since, from (2.73), it follows $e^z \neq 0$, for any $z \in \mathbb{C}$.

Using the polar representation of a complex number, we can represent its logarithms as shown below.

Theorem 2.69. If $w=\rho e^{i \vartheta}$ is a non-zero complex number, the logarithms of $w$ are defined as:
$$\log w=\ln \rho+i(\vartheta+2 n \pi), \quad n \in \mathbb{Z} .$$
Proof. Let $w=e^z$ and let $z=x+i y$; then, we have to solve the system:
$$e^z-\rho e^{i \vartheta},$$ with
$$e^z=e^{x+i y}=e^x e^{i y}=e^x(\cos y+i \sin y), \quad \rho e^{i \vartheta}=\rho(\cos \vartheta+i \sin \vartheta),$$
from which the real and imaginary components of $z$ are obtained:
$$x=\ln \rho, \quad \rho \geq 0, \quad y=\vartheta+2 n \pi .$$
Since $\log w=z$, thesis (2.78) follows.

# 金融数值计算代写

## 金融代写|金融数值计算代写市场风险，数值分析的金融代考|复指数

.

$$e^{x+i y}=e^x(\cos y+i \sin y) .$$

\begin{aligned} &e^z=e^{x+i y}=e^x \cdot e^{i y} \ &=e^x \cdot\left(1+\frac{i y}{1 !}+\frac{(i y)^2}{2 !}+\frac{(i y)^3}{3 !}+\frac{(i y)^4}{4 !}+\cdots\right) \ &=e^x \cdot\left{\left(1-\frac{y^2}{2 !}+\frac{y^4}{4 !}+\cdots\right)+i\left(y-\frac{y^3}{3 !}+\frac{y^5}{5 !}+\cdots\right)\right} \ &=e^x \cdot(\cos y+i \sin y) \end{aligned}上面的最后一步，分别利用(2.27)和(2.28)中给出的正弦和余弦函数的实幂级数展开 定理$2.64$的第一个美丽的结果是著名的欧拉恒等式。推论2.65(欧拉恒等式)。
$$e^{i \pi}+1=0 .$$

$$e^{i y}=\cos y+i \sin y \text {. }$$

## 金融代写|金融数值计算代写市场风险，金融数值分析代考|复角计量双曲函数

$$\sin y=\frac{e^{i y}-e^{-i y}}{2 i}, \quad \cos y=\frac{e^{i y}+e^{-i y}}{2} .$$

$$\sin z=\frac{e^{i z}-e^{-i z}}{2 i}, \quad \cos z=\frac{e^{i z}+e^{-i z}}{2} .$$本质上，对于正弦和余弦函数，无论是角函数还是双曲函数，幂级数展开式(2.27)，(2.28)，(2.29)和(2.30)都被理解为复变量的函数 为了定义复对数，必须考虑到$\mathbb{C}$指数函数是周期性的，其周期为$2 \pi i$，因此$\mathbb{C}$ -对数不是唯一确定的。考虑到这一点，我们制定了以下定义:

. . . . .

$$\log w=\ln \rho+i(\vartheta+2 n \pi), \quad n \in \mathbb{Z} .$$

$$e^z-\rho e^{i \vartheta},$$ with
$$e^z=e^{x+i y}=e^x e^{i y}=e^x(\cos y+i \sin y), \quad \rho e^{i \vartheta}=\rho(\cos \vartheta+i \sin \vartheta),$$
，从中得到$z$的实部和虚部:
$$x=\ln \rho, \quad \rho \geq 0, \quad y=\vartheta+2 n \pi .$$

## 有限元方法代写

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## MATLAB代写

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