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金融代写|金融数值计算代写Market Risk, Numerical Analysis for Finance代考|Complex exponential

Let us start considering the complex exponential. In $\mathbb{C}$, the exponential function is defined in terms of the usual power series, which is thought, here, as a function of a variable $z \in \mathbb{C}$.
Definition 2.63.
$$
e^z:=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{z^n}{n !} .
$$
Equations (2.26) and (2.72) only differ in the fact that, in the latter, the argument can be a complex number. Almost all the familiar properties of the exponential still hold, with the one exception of positivity, which has no sense in the unordered field $\mathbb{C}$. The fundamental property of the complex exponential is stated in the following Theorem 2.64, due to Euler.

Theorem 2.64 (Euler). For any $z=x+i y \in \mathbb{C}$, with $x, y \in \mathbb{R}$, it holds:
$$
e^{x+i y}=e^x(\cos y+i \sin y) .
$$
Proof. Let $z=x+i y \in \mathbb{C}$; then:
$$
\begin{aligned}
&e^z=e^{x+i y}=e^x \cdot e^{i y} \
&=e^x \cdot\left(1+\frac{i y}{1 !}+\frac{(i y)^2}{2 !}+\frac{(i y)^3}{3 !}+\frac{(i y)^4}{4 !}+\cdots\right) \
&=e^x \cdot\left{\left(1-\frac{y^2}{2 !}+\frac{y^4}{4 !}+\cdots\right)+i\left(y-\frac{y^3}{3 !}+\frac{y^5}{5 !}+\cdots\right)\right} \
&=e^x \cdot(\cos y+i \sin y)
\end{aligned}
$$
The last step, above, exploits the real power series expansion for the sine and cosine functions given in (2.27) and (2.28) respectively.

The first beautiful consequence of Theorem $2.64$ is the famous Euler identity. Corollary 2.65 (Euler identity).
$$
e^{i \pi}+1=0 .
$$
Proof. First observe that, if $x=0$ in (2.73), then it holds, for any $y \in \mathbb{R}$ :
$$
e^{i y}=\cos y+i \sin y \text {. }
$$

金融代写|金融数值计算代写Market Risk, Numerical Analysis for Finance代考|Complex goniometric hyperbolic functions

Equality (2.75) implies the following formulæ (2.76), again due to Euler and valid for any $y \in \mathbb{R}$ :
$$
\sin y=\frac{e^{i y}-e^{-i y}}{2 i}, \quad \cos y=\frac{e^{i y}+e^{-i y}}{2} .
$$
It is thus possible to use (2.76) to extend to $\mathbb{C}$ the goniometric functions. Definition 2.66. For any $z \in \mathbb{C}$, define:
$$
\sin z=\frac{e^{i z}-e^{-i z}}{2 i}, \quad \cos z=\frac{e^{i z}+e^{-i z}}{2} .
$$
In essence, for the sine and cosine functions, both in their goniometric and hyperbolic versions, the power series expansions (2.27), (2.28), (2.29) and (2.30) are understood as functions of a complex variable.

To define the complex logarithm, it must be taken into account that the $\mathbb{C}$ exponential function is periodic, with period $2 \pi i$, thus the $\mathbb{C}$-logarithm is not univocally determined. With this in mind, we formulate the following definition.

Definition 2.67. If $w \in \mathbb{C}$, the logarithm of $w$ is any complex number $z \in \mathbb{C}$ such that $e^z=w$.

Remark 2.68. In $\mathbb{C}$, as well as in $\mathbb{R}$, the logarithm of zero is undefined, since, from (2.73), it follows $e^z \neq 0$, for any $z \in \mathbb{C}$.

Using the polar representation of a complex number, we can represent its logarithms as shown below.

Theorem 2.69. If $w=\rho e^{i \vartheta}$ is a non-zero complex number, the logarithms of $w$ are defined as:
$$
\log w=\ln \rho+i(\vartheta+2 n \pi), \quad n \in \mathbb{Z} .
$$
Proof. Let $w=e^z$ and let $z=x+i y$; then, we have to solve the system:
$$
e^z-\rho e^{i \vartheta},
$$ with
$$
e^z=e^{x+i y}=e^x e^{i y}=e^x(\cos y+i \sin y), \quad \rho e^{i \vartheta}=\rho(\cos \vartheta+i \sin \vartheta),
$$
from which the real and imaginary components of $z$ are obtained:
$$
x=\ln \rho, \quad \rho \geq 0, \quad y=\vartheta+2 n \pi .
$$
Since $\log w=z$, thesis (2.78) follows.

金融数值计算代写

金融代写|金融数值计算代写市场风险，数值分析的金融代考|复指数

让我们开始考虑复指数。在 $\mathbb{C}$，指数函数是根据通常的幂级数定义的，在这里，幂级数被认为是一个变量的函数 $z \in \mathbb{C}$2.63.
.
定义$$
e^z:=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{z^n}{n !} .
$$式(2.26)和式(2.72)唯一的区别在于，后者的实参可以是复数。几乎所有熟悉的指数性质仍然成立，唯一的例外是正的，它在无序场中没有意义 $\mathbb{C}$。复指数的基本性质由欧拉定理2.64描述，

定理2.64(欧拉)。对于任何 $z=x+i y \in \mathbb{C}$，与 $x, y \in \mathbb{R}$，它包含:
$$
e^{x+i y}=e^x(\cos y+i \sin y) .
$$
证明。让 $z=x+i y \in \mathbb{C}$;则:
$$
\begin{aligned}
&e^z=e^{x+i y}=e^x \cdot e^{i y} \
&=e^x \cdot\left(1+\frac{i y}{1 !}+\frac{(i y)^2}{2 !}+\frac{(i y)^3}{3 !}+\frac{(i y)^4}{4 !}+\cdots\right) \
&=e^x \cdot\left{\left(1-\frac{y^2}{2 !}+\frac{y^4}{4 !}+\cdots\right)+i\left(y-\frac{y^3}{3 !}+\frac{y^5}{5 !}+\cdots\right)\right} \
&=e^x \cdot(\cos y+i \sin y)
\end{aligned}
$$上面的最后一步，分别利用(2.27)和(2.28)中给出的正弦和余弦函数的实幂级数展开 定理$2.64$的第一个美丽的结果是著名的欧拉恒等式。推论2.65(欧拉恒等式)。
$$
e^{i \pi}+1=0 .
$$
证明。首先观察，如果$x=0$在(2.73)中，那么对于任何$y \in \mathbb{R}$:
$$
e^{i y}=\cos y+i \sin y \text {. }
$$

都成立

金融代写|金融数值计算代写市场风险，金融数值分析代考|复角计量双曲函数

等式(2.75)意味着下面的公式æ(2.76)，同样是由于欧拉，对任何都有效 $y \in \mathbb{R}$ :
$$
\sin y=\frac{e^{i y}-e^{-i y}}{2 i}, \quad \cos y=\frac{e^{i y}+e^{-i y}}{2} .
$$
因此可以使用(2.76)扩展到 $\mathbb{C}$ 角函数。定义2.66。对于任何 $z \in \mathbb{C}$，定义:
$$
\sin z=\frac{e^{i z}-e^{-i z}}{2 i}, \quad \cos z=\frac{e^{i z}+e^{-i z}}{2} .
$$本质上，对于正弦和余弦函数，无论是角函数还是双曲函数，幂级数展开式(2.27)，(2.28)，(2.29)和(2.30)都被理解为复变量的函数 为了定义复对数，必须考虑到$\mathbb{C}$指数函数是周期性的，其周期为$2 \pi i$，因此$\mathbb{C}$ -对数不是唯一确定的。考虑到这一点，我们制定了以下定义:

定义如果$w \in \mathbb{C}$, $w$的对数是任意复数$z \in \mathbb{C}$，使得$e^z=w$ .

. . . . .

备注2.68。在$\mathbb{C}$和$\mathbb{R}$中，零的对数没有定义，因为从(2.73)开始，对于任何$z \in \mathbb{C}$，它都在$e^z \neq 0$之后

使用复数的极坐标表示法，我们可以表示其对数如下所示

定理2.69。如果$w=\rho e^{i \vartheta}$是一个非零复数，$w$的对数定义为:
$$
\log w=\ln \rho+i(\vartheta+2 n \pi), \quad n \in \mathbb{Z} .
$$
证明。让$w=e^z$，让$z=x+i y$;然后，我们必须解决系统:
$$
e^z-\rho e^{i \vartheta},
$$ with
$$
e^z=e^{x+i y}=e^x e^{i y}=e^x(\cos y+i \sin y), \quad \rho e^{i \vartheta}=\rho(\cos \vartheta+i \sin \vartheta),
$$
，从中得到$z$的实部和虚部:
$$
x=\ln \rho, \quad \rho \geq 0, \quad y=\vartheta+2 n \pi .
$$
从$\log w=z$开始，论文(2.78)遵循

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金融工程代写

金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题，以及设计新的和创新的金融产品。

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语 广义线性模型（GLM）通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归，以及方差分析和方差分析（仅含固定效应）。

有限元方法代写

有限元方法（FEM）是一种流行的方法，用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法，用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程（即一些边界值问题）。为了解决一个问题，有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分，称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的，它是通过构建对象的网格来实现的：用于求解的数值域，它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统，以模拟整个问题。然后，有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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随机微积分是数学的一个分支，对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。

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多元回归分析渐进（Multiple Regression Analysis Asymptotics）属于计量经济学领域，主要是一种数学上的统计分析方法，可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系，在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。

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