# 物理代写|广义相对论代写General relativity代考|PHY475

#### Doug I. Jones

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## 物理代写|广义相对论代写General relativity代考|Some Modified Theories of Gravity

In this chapter, we just provide an outline of some modified theories of gravity.

1. $f(R)$ theory of gravity: In the action of Einstein general theory of relativity, we use Lagrangian for geometry as $L_G=R$, where $R$ is a Ricci scalar. Now, it can be generalized by taking $L_G=f(R)$. This newly developed theory of gravity is known as $f(R)$ theory of gravity. For a purely phenomenological thought, $f(R)$ could be expanded in a power series with positive as well as negative powers of the curvature scalar as
$$f(R)=\ldots \ldots+\frac{\alpha_2}{R^2}+\frac{\alpha_1}{R}-2 \Lambda+R+\frac{R^2}{\beta_2}+\frac{R^3}{\beta_3}+\ldots \ldots \ldots$$
where the coefficients $\alpha_i$ and $\beta_i$ have the appropriate dimensions.
Following the same point of view, we can write the action for $f(R)$ gravity as
$$I=\int \sqrt{-g}\left[f(R)+2 k L_m\right] d^4 x .$$
Here, $L_m$ is the matter Lagrangian. Varying with respect to $g_{\mu \nu}$, we get modified Einstein field equation as
$$\Xi_{\mu v} \equiv F(R) R_{\mu v}-\frac{1}{2} g_{\mu \nu} f(R)-\left[\nabla_\mu \nabla_v-g_{\mu v} \square\right] F(R)=-k T_{\mu v}$$
2. Here, $F(R)=\frac{d f(R)}{d R}, \nabla_\mu$ is the covariant derivative with $\square F=\nabla^\mu \nabla_\mu F=\frac{1}{\sqrt{-g}} \partial_\mu\left(\sqrt{-g} g^{\mu v} \partial_v F\right)$. As usual $T_{\mu v}$ is the energy-momentum tensor of the matter fields. Conservation equation $\nabla^\mu T_{\mu v}=0$ implies $\nabla^\mu \Xi_{\mu v}=0$. Also trace of the above field equation in $f(R)$ gravity is
3. $$4. 3 \square F(R)+F(R) R-2 f(R)=-k T, 5.$$
6. where $T=g^{\mu v} T_{\mu v}$.

## 物理代写|广义相对论代写General relativity代考|Proof of Poisson Equation

Let us consider a mass $M$ occupying a volume $V$. which is enclosed by a surface $S$. The gravitational flux passing through the elementary surface $d S$ is given by g.n $d S$, where $\mathbf{g}$ is gravitational vector field (also known as gravitational acceleration) and $\mathbf{n}$ is the unit outward normal vector to $S$. Now, the total gravitational flux through $\mathrm{S}$ is
$$\int_S \mathbf{g} \cdot \mathbf{n} d S=-G M \int_S \frac{\mathbf{e}_r \cdot \mathbf{n}}{r^2} d S .$$
We know $\frac{e_r \cdot \mathrm{n}}{r^2} d S=\frac{\cos \theta d S}{r^2}$ is the elementary solid angle $d \Omega$ subtended at $M$ by the elementary surface $d S$, where $\mathbf{e}_r$ is the radial unit vector. Thus,
$$\int_S \mathbf{g} \cdot \mathbf{n} d S=-G M \int_S d \Omega=-4 \pi G M=-4 \pi G \int_V \rho(r) d V .$$
Applying Gauss divergence theorem to the left-hand side, we get
$$\int_V \nabla \cdot \mathbf{g} d V=-4 \pi G \int_V \rho(r) d V .$$
Thus, we get
$$\nabla \cdot \mathbf{g}=-4 \pi G \rho .$$

# 广义相对论代考

## 物理代写|广义相对论代写General relativity代考|Some Modified Theories of Gravity

1. $f(R)$ 引力理论：在爱因斯坦广义相对论的作用下，我们使用 拉格朗日几何作为 $L_G=R$ ，在哪里 $R$ 是 Ricci 标量。现在， 它可以通过取 $L_G=f(R)$. 这种新发展的引力理论被称为 $f(R)$ 重力理论。对于纯粹的现象学思想， $f(R)$ 可以在具有曲 率标量的正幂和负幂的幂级数中展开为
$$f(R)=\ldots \ldots+\frac{\alpha_2}{R^2}+\frac{\alpha_1}{R}-2 \Lambda+R+\frac{R^2}{\beta_2}+\frac{R^3}{\beta_3}+$$
其中系数 $\alpha_i$ 和 $\beta_i$ 具有适当的尺寸。
按照同样的观点，我们可以写出动作 $f(R)$ 重力作为
$$I=\int \sqrt{-g}\left[f(R)+2 k L_m\right] d^4 x .$$
这里， $L_m$ 是拉格朗日量。相对于变化 $g_{\mu \nu}$ ，我们得到修改后的 爱因斯坦场方程为
$$\Xi_{\mu v} \equiv F(R) R_{\mu v}-\frac{1}{2} g_{\mu \nu} f(R)-\left[\nabla_\mu \nabla_v-g_{\mu v} \square\right] F(R)$$
2. 这里, $F(R)=\frac{d f(R)}{d R}, \nabla_\mu$ 是协变导数
$\square F=\nabla^\mu \nabla_\mu F=\frac{1}{\sqrt{-g}} \partial_\mu\left(\sqrt{-g} g^{\mu v} \partial_v F\right)$. 照常 $T_{\mu v}$ 是物 质场的能量动量张量。守恒方程 $\nabla^\mu T_{\mu v}=0$ 暗示 $\nabla^\mu \Xi_{\mu v}=0$. 也跟踪上述场方程 $f(R)$ 重力是
3. $\$ \$$4. 3 Isquare F(R)+F(R) R-2 f(R)=-k T, 5. \ \$$
6. 在哪里 $T=g^{\mu v} T_{\mu v}$.

## 物理代写|广义相对论代写General relativity代考|Proof of Poisson Equation

$$\int_S \mathbf{g} \cdot \mathbf{n} d S=-G M \int_S \frac{\mathbf{e}_r \cdot \mathbf{n}}{r^2} d S$$

$$\int_S \mathbf{g} \cdot \mathbf{n} d S=-G M \int_S d \Omega=-4 \pi G M=-4 \pi G \int_V \rho(r) d V$$

$$\int_V \nabla \cdot \mathbf{g} d V=-4 \pi G \int_V \rho(r) d V$$

$$\nabla \cdot \mathbf{g}=-4 \pi G \rho$$

## 有限元方法代写

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## MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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