# 数学代写|凸优化作业代写Convex Optimization代考|MATH620

#### Doug I. Jones

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## 数学代写|凸优化作业代写Convex Optimization代考|Maximum volume inscribed ellipsoid

We now consider the problem of finding the ellipsoid of maximum volume that lies inside a convex set $C$, which we assume is bounded and has nonempty interior. To formulate this problem, we parametrize the ellipsoid as the image of the unit ball under an affine transformation, i.e., as
$$\mathcal{E}=\left{B u+d \mid|u|_2 \leq 1\right}$$
Again it can be assumed that $B \in \mathbf{S}{++}^n$, so the volume is proportional to $\operatorname{det} B$. We can find the maximum volume ellipsoid inside $C$ by solving the convex optimization problem $$\begin{array}{ll} \text { maximize } & \log \operatorname{det} B \ \text { subject to } & \sup {|u|_2 \leq 1} I_C(B u+d) \leq 0 \end{array}$$
in the variables $B \in \mathbf{S}^n$ and $d \in \mathbf{R}^n$, with implicit constraint $B \succ 0$.

We consider the case where $C$ is a polyhedron described by a set of linear inequalities:
$$C=\left{x \mid a_i^T x \leq b_i, i=1, \ldots, m\right}$$
To apply (8.14) we first express the constraint in a more convenient form:
\begin{aligned} \sup {|u|_2 \leq 1} I_C(B u+d) \leq 0 & \Longleftrightarrow \sup {|u|_2 \leq 1} a_i^T(B u+d) \leq b_i, \quad i=1, \ldots, m \ & \Longleftrightarrow\left|B a_i\right|_2+a_i^T d \leq b_i, \quad i=1, \ldots, m . \end{aligned}
We can therefore formulate (8.14) as a convex optimization problem in the variables $B$ and $d$ :
$$\begin{array}{ll} \operatorname{minimize} & \log \operatorname{det} B^{-1} \ \text { subject to } & \left|B a_i\right|_2+a_i^T d \leq b_i, \quad i=1, \ldots, m \end{array}$$

## 数学代写|凸优化作业代写Convex Optimization代考|Euclidean Chebyshev center of intersection of ellipsoids

Let $C$ be an intersection of $m$ ellipsoids, defined by quadratic inequalities,
$$C=\left{x \mid x^T A_i x+2 b_i^T x+c_i \leq 0, i=1, \ldots, m\right}$$
where $A_i \in \mathbf{S}{++}^n$. We have \begin{aligned} g_i(x, R) & =\sup {|u|_2 \leq 1}\left((x+R u)^T A_i(x+R u)+2 b_i^T(x+R u)+c_i\right) \ & =x^T A_i x+2 b_i^T x+c_i+\sup _{|u|_2 \leq 1}\left(R^2 u^T A_i u+2 R\left(A_i x+b_i\right)^T u\right) \end{aligned}
From $\S .1, g_i(x, R) \leq 0$ if and only if there exists a $\lambda_i$ such that the matrix inequality
$$\left[\begin{array}{cc} -x^T A_i x_i-2 b_i^T x-c_i-\lambda_i & R\left(A_i x+b_i\right)^T \ R\left(A_i x+b_i\right) & \lambda_i I-R^2 A_i \end{array}\right] \succeq 0$$
holds. Using this result, we can express the Chebyshev centering problem as
\begin{aligned} & \text { maximize } R \ & \text { subject to }\left[\begin{array}{ccc} -\lambda_i-c_i+b_i^T A_i^{-1} b_i & 0 & \left(x+A_i^{-1} b_i\right)^T \ 0 & \lambda_i I & R I \ x+A_i^{-1} b_i & R I & A_i^{-1} \end{array}\right] \succeq 0, \quad i=1, \ldots, m \text {, } \ & \end{aligned}
which is an SDP with variables $R, \lambda$, and $x$. Note that the Schur complement of $A_i^{-1}$ in the LMI constraint is equal to the lefthand side of (8.17).

# 凸优化代写

## 数学代写|凸优化作业代写Convex Optimization代考|Maximum volume inscribed ellipsoid

$\backslash$ mathca ${E}=\backslash$ eft ${B$ u $} d \backslash$ mid $|\mathrm{u}| _2 \backslash$ leq $\left.1 \backslash r i g h t\right}$
$B \in \mathbf{S}++^n \operatorname{det} B C$
maximize $\log \operatorname{det} B$ subject to $\sup |u|_2 \leq 1 I_C$

$C$ 是由一组线性不等式描述的多面体的情况
$\mathrm{C}=\backslash$ left ${\mathrm{x} \backslash$ mid a_i^T $x \backslash$ leq b_i, i $=1, \backslash$ dots, m\right } }

$\sup |u|_2 \leq 1 I_C(B u+d) \leq 0 \Longleftrightarrow \sup |u|_2 \leq 1 a_i^T(B$

$\operatorname{minimize} \quad \log \operatorname{det} B^{-1}$ subject to $\quad\left|B a_i\right|_2+a_i^T d$

## 数学代写|凸优化作业代写Convex Optimization代考|Euclidean Chebyshev center of intersection of ellipsoids

$$g_i(x, R)=\sup |u|_2 \leq 1\left((x+R u)^T A_i(x+R u)+2 i\right.$$

$$\left[-x^T A_i x_i-2 b_i^T x-c_i-\lambda_i \quad R\left(A_i x+b_i\right)^T R\left(A_i x\right.\right.$$

$\wedge \top A _i \wedge{-1}$ b_i \& 0 \& $\backslash \operatorname{left}\left(x+A ___\wedge{-1}\right.$ b_i iright) $\wedge T \backslash 0$ \&
Vlambda_i $_$\& $R I \backslash x+A _i \wedge{-1} b _i \& R I \& A _i \wedge{-1}$
lend{array} \right] Isucceq 0 , Iquad $i=1$, Vdots, $m$ Itext ${,} \backslash \&$ \& lend{aligned $}$
$$\operatorname{maximize} R \quad \text { subject to }\left[-\lambda_i-c_i+b_i^T A_i^{-1} b_i\right.$$

## 有限元方法代写

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## MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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