## 数学代写|交换代数代写commutative algebra代考|MATH2301

2023年4月3日

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## 数学代写|交换代数代写commutative algebra代考|Congruential Systems

An important stability property of local-global rings is stability by integral extension.
6.13 Theorem Let $\mathbf{A} \subseteq \mathbf{B}$ with $\mathbf{B}$ integral over $\mathbf{A}$. If $\mathbf{A}$ is local-global, then so is $\mathbf{B}$.
The proof is left until p. 511 , after a detour via congruential rings.
6.14 Definition A subset $C$ of a ring $\mathbf{A}$ is called a congruential system if it satisfies the following property: if $s_1+s_2=1$ in $\mathbf{A}$ and if $c_1, c_2 \in C$, then there exists a $c \in C$ such that $c \equiv c_1 \bmod s_1$ and $c \equiv c_2 \bmod s_2$.
Remarks
1) It amounts to the same thing to say: if $\mathfrak{a}_1$ and $\mathfrak{a}_2$ are two comaximal ideals of $\mathbf{A}$ and if $c_1, c_2 \in C$, then there exists a $c \in C$ such that $c \equiv c_1 \bmod \mathfrak{a}_1$ and $c \equiv c_2$ $\bmod \mathfrak{a}_2$.
2) The element $c^{\prime}=c_2 s_1+c_1 s_2$ is the natural candidate for $c \in \mathbf{A}$ satisfying the congruences $c \equiv c_1 \bmod s_1$ and $c \equiv c_2 \bmod s_2$. We therefore must have some element $c$ of $C$ such that $c \equiv c^{\prime} \bmod s_1 s_2$.

Example Let $(b)=\left(b_1, \ldots, b_n\right)$ be a sequence in a ring B. The Suslin set of $\left(b_1, \ldots, b_n\right)$ is the following subset of $\mathbf{B}$ :
$\operatorname{Suslin}(b)=\left{u_1 b_1+\cdots+u_n b_n \mid\left(u_1, \ldots, u_n\right)\right.$ is $\mathbb{E}_n(\mathbf{B})$-completable $}$,
$\left(\left(u_1, \ldots, u_n\right)\right.$ is the first row of a matrix of $\left.\mathbb{E}_n(\mathbf{B})\right)$.
If one of the $u_i$ ‘s is invertible, then $u_1 b_1+u_2 b_2+\cdots+u_n b_n \in \operatorname{Suslin}(b)$ and we therefore have $\left{b_1, \ldots, b_n\right} \subseteq \operatorname{Suslin}\left(b_1, \ldots, b_n\right) \subseteq\left\langle b_1, \ldots, b_n\right\rangle$.
Let us show that the set $\operatorname{Suslin}(b)$ is always congruential.
Indeed, for $E, F \in \mathbb{E}_n(\mathbf{B})$ and two comaximal elements $s, t$ of $\mathbf{B}$, there exists a $G \in \mathbb{E}_n(\mathbf{B})$ satisfying $G \equiv E \bmod s$ and $G \equiv F \bmod t$.

Let $f, g_1, \ldots, g_n \in \mathbf{A}[X]$ with $f$ monic, and $\mathbf{B}=\mathbf{A}[X] /\langle f\rangle$. Then the Suslin set of $\left(\overline{g_1}, \ldots, \overline{g_n}\right)$ plays an important role in the study of the unimodular polynomial vectors (cf. Lemma XV-6.1).
6.15 Fact For every polynomial $P \in \mathbf{A}\left[X_1, \ldots, X_n\right]$ the set $V_P$ of values of $P$ is a congruential system $\left(V_P=\left{P(x) \mid x \in \mathbf{A}^n\right}\right)$.

D Let $s, t$ be two comaximal elements and $x, y$ be in $\mathbf{A}^n$. The Chinese remainder theorem gives us some $z \in \mathbf{A}^n$ such that $z \equiv x \bmod s$ and $z \equiv y \bmod t$. Then, we have $P(z) \equiv P(x) \bmod s$ and $P(z) \equiv P(y) \bmod t$.

## 数学代写|交换代数代写commutative algebra代考|Stability by Integral Extension

As an immediate corollary of Lemma 6.19 we have the following result.

6.20 Corollary Let $\mathbf{B}$ be a strictly finite algebra over a discrete field $\mathbf{A}$ and $W$ be a congruential system in $\mathbf{B}$ such that $\langle W\rangle=\langle 1\rangle_{\mathbf{B}}$.
Then, the set $\mathrm{N}{\mathbf{B} / \mathbf{A}}(W)$ contains an invertible element. D We know that $\mathbf{B}$ is zero-dimensional, so it is congruential (Lemma 6.19). Since $W$ is congruential and generates the ideal $\langle 1\rangle$, it contains an invertible element. Finally, the norm of an invertible element is invertible. 6.21 Proposition Let $\mathbf{B}$ be a strictly finite algebra over a ring $\mathbf{A}$ and $W$ be a congruential system in $\mathbf{B}$. If $1 \in\langle W\rangle$, then, $1 \in\left\langle\mathbf{N}{\mathbf{B} / \mathbf{A}}(W)\right\rangle$.

D 1. A congruential system remains congruential by passage to a quotient ring. If we read the conclusion of Corollary 6.20 in the (weaker) form $1 \in\left\langle\mathrm{N}{\mathbf{B} / \mathbf{A}}(W)\right\rangle$, we observe that it is in an adequate form to be subjected to the constructive machinery with maximal ideals which will be explained on p. 862 in Sect. XV-6, and which is used to prove that an ideal contains 1 . We therefore obtain the desired result. Remarks 1) In classical mathematics we would also say this: if $1 \notin\left\langle\mathrm{N}{\mathbf{B} / \mathbf{A}}(W)\right\rangle_{\mathbf{A}}$, this ideal would be contained in a maximal ideal $m$ of $\mathbf{A}$. But Corollary 6.20 , applied with the discrete field $\mathbf{A} / \mathrm{m}$ and the strictly finite algebra $\mathbf{B} / \mathrm{m} \mathbf{B}$, shows that it is impossible.
The constructive machinery with maximal ideals precisely aims at decrypting this type of abstract proof and at transforming it into an algorithm which constructs 1 as an element of $\left\langle\mathrm{N}{\mathbf{B} / \mathbf{A}}(W)\right\rangle{\mathbf{A}}$ from the hypotheses.
2) As an example, if $(b)=\left(b_1, \ldots, b_q\right)$ is a system of comaximal elements in $\mathbf{B}$, we have $1 \in\left\langle\mathrm{N}{\mathbf{B} / \mathbf{A}}(w) \mid w \in \operatorname{Suslin}(b)\right\rangle{\mathbf{A}}$, since the set $\operatorname{Suslin}(b)$ is congruential. But we will refrain from believing that $1 \in\left\langle\mathrm{N}{\mathbf{B} / \mathbf{A}}\left(b_1\right), \ldots, \mathrm{N}{\mathbf{B} / \mathbf{A}}\left(b_q\right)\right\rangle_{\mathbf{A}}$.

A famous instance of this property is a result due to Suslin regarding polynomial vectors, given in Lemma XV-6.1. In this lemma, $\mathbf{B}$ is of the form $\mathbf{A}[X] /\langle v\rangle$ with $v \in \mathbf{A}[X]$ a monic polynomial. A complete decrypting will be provided in the proof of the lemma in question.

# 交换代数代考

## 数学代写|交换代数代写commutative algebra代考|Congruential Systems

6.13 定理令 $\mathbf{A} \subseteq \mathbf{B}$ 和 $\mathbf{B}$ 积分超过 $\mathbf{A}$. 如果 $\mathbf{A}$ 是局部全局 的，那么也是 $\mathbf{B}$.

6.14 定义子集 $C$ – 环 $\mathbf{A}$ 如果满足以下性质，则称为同余 系统: 如果 $s_1+s_2=1$ 在 $\mathbf{A}$ 而如果 $c_1, c_2 \in C$ ，那么 存在一个 $c \in C$ 这样 $c \equiv c_1 \bmod s_1$ 和 $c \equiv c_2 \bmod s_2$.

1) 等同于说: 如果 $\mathfrak{a}_1$ 和 $\mathfrak{a}_2$ 是的两个共极大理想 $\mathbf{A}$ 而如果 $c_1, c_2 \in C$ ，那么存在一个 $c \in C$ 这样 $c \equiv c_1 \bmod a_1$ 和 $c \equiv c_2 \bmod \mathfrak{a}_2$.
2) 元素 $c^{\prime}=c_2 s_1+c_1 s_2$ 是自然的候选人 $c \in \mathbf{A}$ 满足 同余 $c \equiv c_1 \bmod s_1$ 和 $c \equiv c_2 \bmod s_2$. 因此我们必须 有一些元素 $c$ 的 $C$ 这样 $c \equiv c^{\prime} \bmod s_1 s_2$.

## 数学代写|交换代数代写commutative algebra代考|Stability by Integral Extension

6.20 推论令 $\mathbf{B}$ 是离散域上的严格有限代数 $\mathbf{A}$ 和 $W$ 是一个 一致的系统 $\mathbf{B}$ 这样 $\langle W\rangle=\langle 1\rangle_{\mathbf{B}}$.

D 1.同余系统通过商环保持同余。如果我们以 (较弱 的) 形式阅读推论 6.20 的结论 $1 \in\langle\mathrm{NB} / \mathbf{A}(W)\rangle$ ，我 们观察到它以适当的形式服从具有最大理想的建设性机 器，这将在 p. 862在教派。XV-6，用于证明理想包含 1 。因此我们得到了想要的结果。备注 1) 在经典数学中我 们也会这样说：如果 $1 \notin\langle\mathbf{N B} / \mathbf{A}(W)\rangle_{\mathbf{A}}$ ，这个理想 将包含在最大理想中 $m$ 的 $\mathbf{A}$. 但推论 6.20，应用于离散 域 $\mathbf{A} / \mathrm{m}$ 和严格有限代数 $\mathbf{B} / \mathrm{mB}$, 说明不可能。

## 有限元方法代写

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