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交换代数本质上是对代数数论和代数几何中出现的环的研究。在代数数论中，代数整数的环是Dedekind环，因此它构成了一类重要的换元环。

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数学代写|交换代数代写commutative algebra代考|Congruential Systems

An important stability property of local-global rings is stability by integral extension.
6.13 Theorem Let $\mathbf{A} \subseteq \mathbf{B}$ with $\mathbf{B}$ integral over $\mathbf{A}$. If $\mathbf{A}$ is local-global, then so is $\mathbf{B}$.
The proof is left until p. 511 , after a detour via congruential rings.
6.14 Definition A subset $C$ of a ring $\mathbf{A}$ is called a congruential system if it satisfies the following property: if $s_1+s_2=1$ in $\mathbf{A}$ and if $c_1, c_2 \in C$, then there exists a $c \in C$ such that $c \equiv c_1 \bmod s_1$ and $c \equiv c_2 \bmod s_2$.
Remarks
1) It amounts to the same thing to say: if $\mathfrak{a}_1$ and $\mathfrak{a}_2$ are two comaximal ideals of $\mathbf{A}$ and if $c_1, c_2 \in C$, then there exists a $c \in C$ such that $c \equiv c_1 \bmod \mathfrak{a}_1$ and $c \equiv c_2$ $\bmod \mathfrak{a}_2$.
2) The element $c^{\prime}=c_2 s_1+c_1 s_2$ is the natural candidate for $c \in \mathbf{A}$ satisfying the congruences $c \equiv c_1 \bmod s_1$ and $c \equiv c_2 \bmod s_2$. We therefore must have some element $c$ of $C$ such that $c \equiv c^{\prime} \bmod s_1 s_2$.

Example Let $(b)=\left(b_1, \ldots, b_n\right)$ be a sequence in a ring B. The Suslin set of $\left(b_1, \ldots, b_n\right)$ is the following subset of $\mathbf{B}$ :
$\operatorname{Suslin}(b)=\left{u_1 b_1+\cdots+u_n b_n \mid\left(u_1, \ldots, u_n\right)\right.$ is $\mathbb{E}_n(\mathbf{B})$-completable $}$,
$\left(\left(u_1, \ldots, u_n\right)\right.$ is the first row of a matrix of $\left.\mathbb{E}_n(\mathbf{B})\right)$.
If one of the $u_i$ ‘s is invertible, then $u_1 b_1+u_2 b_2+\cdots+u_n b_n \in \operatorname{Suslin}(b)$ and we therefore have $\left{b_1, \ldots, b_n\right} \subseteq \operatorname{Suslin}\left(b_1, \ldots, b_n\right) \subseteq\left\langle b_1, \ldots, b_n\right\rangle$.
Let us show that the set $\operatorname{Suslin}(b)$ is always congruential.
Indeed, for $E, F \in \mathbb{E}_n(\mathbf{B})$ and two comaximal elements $s, t$ of $\mathbf{B}$, there exists a $G \in \mathbb{E}_n(\mathbf{B})$ satisfying $G \equiv E \bmod s$ and $G \equiv F \bmod t$.

Let $f, g_1, \ldots, g_n \in \mathbf{A}[X]$ with $f$ monic, and $\mathbf{B}=\mathbf{A}[X] /\langle f\rangle$. Then the Suslin set of $\left(\overline{g_1}, \ldots, \overline{g_n}\right)$ plays an important role in the study of the unimodular polynomial vectors (cf. Lemma XV-6.1).
6.15 Fact For every polynomial $P \in \mathbf{A}\left[X_1, \ldots, X_n\right]$ the set $V_P$ of values of $P$ is a congruential system $\left(V_P=\left{P(x) \mid x \in \mathbf{A}^n\right}\right)$.

D Let $s, t$ be two comaximal elements and $x, y$ be in $\mathbf{A}^n$. The Chinese remainder theorem gives us some $z \in \mathbf{A}^n$ such that $z \equiv x \bmod s$ and $z \equiv y \bmod t$. Then, we have $P(z) \equiv P(x) \bmod s$ and $P(z) \equiv P(y) \bmod t$.

数学代写|交换代数代写commutative algebra代考|Stability by Integral Extension

As an immediate corollary of Lemma 6.19 we have the following result.

6.20 Corollary Let $\mathbf{B}$ be a strictly finite algebra over a discrete field $\mathbf{A}$ and $W$ be a congruential system in $\mathbf{B}$ such that $\langle W\rangle=\langle 1\rangle_{\mathbf{B}}$.
Then, the set $\mathrm{N}{\mathbf{B} / \mathbf{A}}(W)$ contains an invertible element. D We know that $\mathbf{B}$ is zero-dimensional, so it is congruential (Lemma 6.19). Since $W$ is congruential and generates the ideal $\langle 1\rangle$, it contains an invertible element. Finally, the norm of an invertible element is invertible. 6.21 Proposition Let $\mathbf{B}$ be a strictly finite algebra over a ring $\mathbf{A}$ and $W$ be a congruential system in $\mathbf{B}$. If $1 \in\langle W\rangle$, then, $1 \in\left\langle\mathbf{N}{\mathbf{B} / \mathbf{A}}(W)\right\rangle$.

D 1. A congruential system remains congruential by passage to a quotient ring. If we read the conclusion of Corollary 6.20 in the (weaker) form $1 \in\left\langle\mathrm{N}{\mathbf{B} / \mathbf{A}}(W)\right\rangle$, we observe that it is in an adequate form to be subjected to the constructive machinery with maximal ideals which will be explained on p. 862 in Sect. XV-6, and which is used to prove that an ideal contains 1 . We therefore obtain the desired result. Remarks 1) In classical mathematics we would also say this: if $1 \notin\left\langle\mathrm{N}{\mathbf{B} / \mathbf{A}}(W)\right\rangle_{\mathbf{A}}$, this ideal would be contained in a maximal ideal $m$ of $\mathbf{A}$. But Corollary 6.20 , applied with the discrete field $\mathbf{A} / \mathrm{m}$ and the strictly finite algebra $\mathbf{B} / \mathrm{m} \mathbf{B}$, shows that it is impossible.
The constructive machinery with maximal ideals precisely aims at decrypting this type of abstract proof and at transforming it into an algorithm which constructs 1 as an element of $\left\langle\mathrm{N}{\mathbf{B} / \mathbf{A}}(W)\right\rangle{\mathbf{A}}$ from the hypotheses.
2) As an example, if $(b)=\left(b_1, \ldots, b_q\right)$ is a system of comaximal elements in $\mathbf{B}$, we have $1 \in\left\langle\mathrm{N}{\mathbf{B} / \mathbf{A}}(w) \mid w \in \operatorname{Suslin}(b)\right\rangle{\mathbf{A}}$, since the set $\operatorname{Suslin}(b)$ is congruential. But we will refrain from believing that $1 \in\left\langle\mathrm{N}{\mathbf{B} / \mathbf{A}}\left(b_1\right), \ldots, \mathrm{N}{\mathbf{B} / \mathbf{A}}\left(b_q\right)\right\rangle_{\mathbf{A}}$.

A famous instance of this property is a result due to Suslin regarding polynomial vectors, given in Lemma XV-6.1. In this lemma, $\mathbf{B}$ is of the form $\mathbf{A}[X] /\langle v\rangle$ with $v \in \mathbf{A}[X]$ a monic polynomial. A complete decrypting will be provided in the proof of the lemma in question.

交换代数代考

数学代写|交换代数代写commutative algebra代考|Congruential Systems

局部-全局环的一个重要稳定性特性是通过整体扩展实现 的稳定性。
6.13 定理令 $\mathbf{A} \subseteq \mathbf{B}$ 和 $\mathbf{B}$ 积分超过 $\mathbf{A}$. 如果 $\mathbf{A}$ 是局部全局 的，那么也是 $\mathbf{B}$.
证明留到 $\mathrm{p}$ 。511，绕过同余环后。
6.14 定义子集 $C$ – 环 $\mathbf{A}$ 如果满足以下性质，则称为同余 系统: 如果 $s_1+s_2=1$ 在 $\mathbf{A}$ 而如果 $c_1, c_2 \in C$ ，那么 存在一个 $c \in C$ 这样 $c \equiv c_1 \bmod s_1$ 和 $c \equiv c_2 \bmod s_2$.
备注
1) 等同于说: 如果 $\mathfrak{a}_1$ 和 $\mathfrak{a}_2$ 是的两个共极大理想 $\mathbf{A}$ 而如果 $c_1, c_2 \in C$ ，那么存在一个 $c \in C$ 这样 $c \equiv c_1 \bmod a_1$ 和 $c \equiv c_2 \bmod \mathfrak{a}_2$.
2) 元素 $c^{\prime}=c_2 s_1+c_1 s_2$ 是自然的候选人 $c \in \mathbf{A}$ 满足 同余 $c \equiv c_1 \bmod s_1$ 和 $c \equiv c_2 \bmod s_2$. 因此我们必须 有一些元素 $c$ 的 $C$ 这样 $c \equiv c^{\prime} \bmod s_1 s_2$.

数学代写|交换代数代写commutative algebra代考|Stability by Integral Extension

作为引理 6.19 的直接推论，我们有以下结果。
6.20 推论令 $\mathbf{B}$ 是离散域上的严格有限代数 $\mathbf{A}$ 和 $W$ 是一个 一致的系统 $\mathbf{B}$ 这样 $\langle W\rangle=\langle 1\rangle_{\mathbf{B}}$.
然后，集合 $\mathrm{NB} / \mathbf{A}(W)$ 包含一个可逆元素。D 我们知 道 $\mathbf{B}$ 是零维的，所以它是同余的（引理 6.19）。自从 $W$ 是一致的并产生理想 $\langle 1\rangle$ ，它包含一个可逆元素。最后， 可逆元素的范数是可逆的。6.21 命题让 $\mathbf{B}$ 是环上的严格 有限代数 $\mathbf{A}$ 和 $W$ 是一个一致的系统 $\mathbf{B}$. 如果 $1 \in\langle W\rangle$ ， 然后， $1 \in\langle\mathbf{N B} / \mathbf{A}(W)\rangle$.

D 1.同余系统通过商环保持同余。如果我们以 (较弱 的) 形式阅读推论 6.20 的结论 $1 \in\langle\mathrm{NB} / \mathbf{A}(W)\rangle$ ，我 们观察到它以适当的形式服从具有最大理想的建设性机 器，这将在 p. 862在教派。XV-6，用于证明理想包含 1 。因此我们得到了想要的结果。备注 1) 在经典数学中我 们也会这样说：如果 $1 \notin\langle\mathbf{N B} / \mathbf{A}(W)\rangle_{\mathbf{A}}$ ，这个理想 将包含在最大理想中 $m$ 的 $\mathbf{A}$. 但推论 6.20，应用于离散 域 $\mathbf{A} / \mathrm{m}$ 和严格有限代数 $\mathbf{B} / \mathrm{mB}$, 说明不可能。
具有最大理想的构造机器正是旨在解密这种抽象证明， 并将其转化为一种算法，将 1 构造为 $\langle\mathrm{NB} / \mathbf{A}(W)\rangle \mathbf{A}$ 从假设。此属性的一个著名实例是 Suslin 关于多项式向量的结 果，在引理 XV-6.1 中给出。在这个引理中， $\mathbf{B}$ 是形式 $\mathbf{A}[X] /\langle v\rangle$ 和 $v \in \mathbf{A}[X]$ 一元多项式。完整的解密将在 相关引理的证明中提供。

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金融工程代写

金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题，以及设计新的和创新的金融产品。

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语 广义线性模型（GLM）通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归，以及方差分析和方差分析（仅含固定效应）。

有限元方法代写

有限元方法（FEM）是一种流行的方法，用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法，用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程（即一些边界值问题）。为了解决一个问题，有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分，称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的，它是通过构建对象的网格来实现的：用于求解的数值域，它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统，以模拟整个问题。然后，有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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随机分析代写

随机微积分是数学的一个分支，对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。

时间序列分析代写

随机过程，是依赖于参数的一组随机变量的全体，参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现，其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值（如1秒，5分钟，12小时，7天，1年），因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中，往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录，以得到其自身发展的规律。

回归分析代写

多元回归分析渐进（Multiple Regression Analysis Asymptotics）属于计量经济学领域，主要是一种数学上的统计分析方法，可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系，在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。

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MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。