Doug I. Jones

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数学代写|组合学代写Combinatorics代考|Tracking with Unresolved Objects

Three simulated scenarios illustrating the problem of unresolved objects/merged measurements for $N=2$ objects are presented. The setup here is similar to the IPDA numerical example presented in Sect. 2.8, with necessary changes to accommodate two separate objects and resolution issues.

Each of the scenarios comprises two cases. In one case, the tracking filter runs standard JPDA and is “ignorant” of resolution issues. In the other case, the tracker runs the JPDA/Res filter and, thus, the resolution issue is handled by the tracker. This tracker is said to be “smart.” In all three scenarios, the tracker parameters are matched to the simulation parameters, with the exception of the handling of unresolved measurements.

Object motion and measurement models. All spatial units are in meters, and all time units are in seconds. For the remainder of this section, the variable $n$ is an object index and is restricted to the set ${1,2}$. The individual object state spaces are denoted $X^1$ and $X^2$, where $X^1=X^2 \equiv X$. Each state space is a subset of $\mathbb{R}^4$ and comprises position and velocity components. Elements of $\mathcal{X}^1$ and $\mathcal{X}^2$, as well as the common measurement space $Y$, are represented using boldface text so that they will not be confused with the components of the 2D position vector $(x y)^T$. An element $\mathbf{x}^n \in X^n$ is represented in coordinate form as $\mathbf{x}^n=\left(x^n \dot{x}^n y^n \dot{y}^n\right)^T$.

A sensor provides spatial $x-y$ measurements of the form $\mathbf{y}=(x y)^T \in y \subset \mathbb{R}^2$ at one second intervals starting at time $t_1=1$ and ending at time $t_K \equiv t_{120}=120$, that is, $\Delta t=1$. Simulated clutter measurements are realizations of a homogeneous PPP with uniform clutter intensity over a finite spatial region of interest $\mathcal{R} \subseteq \mathscr{Y}$. Specifically, the mean number of clutter measurements $\lambda_k^c \equiv \lambda^c$ is constant over all scans, and the clutter PDF $p_k^c(\mathbf{y}) \equiv \frac{1}{\operatorname{Vol}(\mathcal{R})}$ for $\mathbf{y} \in \mathcal{R}$ and $k=1, \ldots, K$.

At each scan $k$, object $n$ is in state $\mathbf{x}k^n \in \mathcal{X}$. Linear-Gaussian assumptions are adopted for object motion. The PDFs for the initial state, process noise, and measurement noise are given by (2.51)-(2.53). The prior object state $\mu_0^n(\cdot)$ for object $n$ at time $t_0$ is assumed to be normally distributed with mean $\hat{x}{0 \mid 0}^n=\mathbf{x}0^n$ and diagonal covariance matrix $P{000}^n=\operatorname{diag}\left(50^2, 3^2, 50^2, 3^2\right)$.

数学代写|组合学代写Combinatorics代考|JPDA/Res Filter with Weak and Strong Crossing Tracks

In this scenario, two objects move through $\mathcal{R}$ with constant velocities, eventually crossing paths at the origin as shown in Fig. 3.2. Object one (red) begins in state $\mathbf{x}_0^1 \approx(-2000 \quad 31.5-352.75 .6)^T$ at time $t_0=0$, and it moves at this constant velocity for $120 \mathrm{~s}$. Object two (blue) mirrors object one. It begins in state $\mathbf{x}_0^2 \approx$

$\left(\begin{array}{llll}-2000 & 31.5 & 352.7 & -5.6\end{array}\right)^T$, and it moves at this constant velocity for $120 \mathrm{~s}$. The objects cross at the origin at a $20^{\circ}$ angle.

The region of interest is $\mathcal{R}=[-2000,2000] \times[-1000,1000]$. The mean number of clutter measurements $\lambda_k^c \equiv \lambda^c=250$ is constant over all scans. Thus, in each scan, there is an average of approximately $2.2$ clutter measurements in a $3 \sigma_M$ measurement window.

The unresolved weighting factor is chosen to be $w_r=10 / 11 \approx 0.91$. Under the relative signal return strength interpretation, the signal return strength of object one is $10 \log {10}\left(\frac{w_r}{1-w_r}\right)=10 \mathrm{~dB}$ higher than that of object two. The tracker process noise standard deviation is set to $\sigma_p=0.5$. The resolution parameter is chosen to be $\sigma{\text {res }}=$ 235.7. This value for $\sigma_{\text {res }}$ gives a resolution probability of approximately $0.5$ when the objects are around $275 \mathrm{~m}$ apart, and the resolution probability drops to 0 when the objects eventually cross.

The filter outputs are depicted in Fig. 3.2. Ground truth object position in $x-y$ space is given by the black dashed line, the gray dots are the superposed clutter realizations over the last five scans (clutter realizations are independent from scan to scan), and red/blue ellipses are the $99 \%$ error ellipses centered at the tracker spatial estimate (” $x$ “) for each object at scans $1,10,20,30,40,50,60,70,80,90,100,110$, and 120 . The tracker spatial estimates over all 120 scans are given by the red/blue lines. Red/blue asterisks represent individual object measurements. Green asterisks are unresolved/merged measurements. For reference, the dark gray circle in the lower right-hand corner of each plot depicts a $3 \sigma_M$ measurement window.






物体运动和测量模型。所有空间单位以米为单位,所有时间单位以秒为单位。在本节的其余部分中,变量$n$是一个对象索引,并且仅限于${1,2}$集。单独的对象状态空间表示为$X^1$和$X^2$,其中$X^1=X^2 \equiv X$。每个状态空间都是$\mathbb{R}^4$的一个子集,包括位置和速度分量。$\mathcal{X}^1$和$\mathcal{X}^2$的元素,以及公共测量空间$Y$,使用粗体文本表示,这样它们就不会与二维位置向量$(x y)^T$的组件混淆。元素$\mathbf{x}^n \in X^n$以坐标形式表示为$\mathbf{x}^n=\left(x^n \dot{x}^n y^n \dot{y}^n\right)^T$。 传感器提供$\mathbf{y}=(x y)^T \in y \subset \mathbb{R}^2$形式的空间$x-y$测量,以一秒间隔从时间$t_1=1$开始,到时间$t_K \equiv t_{120}=120$结束,即$\Delta t=1$。模拟杂波测量是在有限空间兴趣区域上具有均匀杂波强度的均匀PPP的实现$\mathcal{R} \subseteq \mathscr{Y}$。具体地说,杂波测量的平均数$\lambda_k^c \equiv \lambda^c$在所有扫描中是恒定的,杂波PDF $p_k^c(\mathbf{y}) \equiv \frac{1}{\operatorname{Vol}(\mathcal{R})}$对于$\mathbf{y} \in \mathcal{R}$和$k=1, \ldots, K$。

每次扫描$k$时,对象$n$的状态为$\mathbf{x}k^n \in \mathcal{X}$。物体运动采用线性-高斯假设。初始状态、过程噪声和测量噪声的pdf由(2.51)-(2.53)给出。假设对象$n$在$t_0$时刻的先验对象状态$\mu_0^n(\cdot)$服从正态分布,均值$\hat{x}{0 \mid 0}^n=\mathbf{x}0^n$,对角协方差矩阵$P{000}^n=\operatorname{diag}\left(50^2, 3^2, 50^2, 3^2\right)$


在这种情况下,两个物体以恒定的速度穿过$\mathcal{R}$,最终在原点相交,如图3.2所示。对象1(红色)在时间$t_0=0$时的状态为$\mathbf{x}_0^1 \approx(-2000 \quad 31.5-352.75 .6)^T$,它以恒定的速度移动$120 \mathrm{~s}$。物体二(蓝色)映射物体一。它以$\mathbf{x}_0^2 \approx$ 的状态开始

$\left(\begin{array}{llll}-2000 & 31.5 & 352.7 & -5.6\end{array}\right)^T$,它以这个恒定的速度移动$120 \mathrm{~s}$。这些物体在原点处以$20^{\circ}$的角度相交。

感兴趣的区域是$\mathcal{R}=[-2000,2000] \times[-1000,1000]$。杂波测量的平均数$\lambda_k^c \equiv \lambda^c=250$在所有扫描中是恒定的。因此,在每次扫描中,$3 \sigma_M$测量窗口中大约有$2.2$个杂波测量值的平均值

未解决的权重因子被选择为$w_r=10 / 11 \approx 0.91$。在相对信号返回强度解释下,对象1的信号返回强度比对象2高$10 \log {10}\left(\frac{w_r}{1-w_r}\right)=10 \mathrm{~dB}$。跟踪器过程噪声标准差设置为$\sigma_p=0.5$。分辨率参数被选择为$\sigma{\text {res }}=$ 235.7。当两个对象相距$275 \mathrm{~m}$时,$\sigma_{\text {res }}$的这个值给出的解析概率大约是$0.5$,当两个对象最终相交时,解析概率下降到0

滤波器输出如图3.2所示。在$x-y$空间中的地面真实物体位置由黑色虚线给出,灰色点是在最近五次扫描中叠加的杂波实现(杂波实现独立于扫描到扫描),红色/蓝色椭圆是位于跟踪器空间估计(“$x$”)中心的$99 \%$误差椭圆,用于扫描$1,10,20,30,40,50,60,70,80,90,100,110$和120的每个物体。跟踪器对所有120次扫描的空间估计由红/蓝线给出。红色/蓝色星号表示单个物体的测量值。绿色星号表示未解决/合并的度量。作为参考,每个图右下角的深灰色圆圈描绘了一个$3 \sigma_M$测量窗口

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术语 广义线性模型(GLM)通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归,以及方差分析和方差分析(仅含固定效应)。



有限元是一种通用的数值方法,用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程(即一些边界值问题)。为了解决一个问题,有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分,称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的,它是通过构建对象的网格来实现的:用于求解的数值域,它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统,以模拟整个问题。然后,有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。





随机过程,是依赖于参数的一组随机变量的全体,参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现,其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值(如1秒,5分钟,12小时,7天,1年),因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中,往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录,以得到其自身发展的规律。


多元回归分析渐进(Multiple Regression Analysis Asymptotics)属于计量经济学领域,主要是一种数学上的统计分析方法,可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系,在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。


MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中,其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括:数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发,包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统,其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题,尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题,而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问,这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展,得到了许多用户的投入。在大学环境中,它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域,MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要,工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数(M 文件)的综合集合,可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。


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