# 统计代写|多元统计分析代写Multivariate Statistical Analysis代考|Cumulant functions

#### Doug I. Jones

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## 统计代写|多元统计分析代写Multivariate Statistical Analysis代考|Cumulant functions

Moments $m_k=\int x^k f(x) d x$ often help in describing distributional characteristics. The normal distribution in $d=1$ dimension is completely characterized by its standard normal density $f=\varphi$ and the moment parameters are $\mu=m_1$ and $\sigma^2=m_2-m_1^2$. Another helpful class of parameters are the cumulants or semi-invariants of a distribution. In order to simplify notation we concentrate here on the one-dimensional $(d=1)$ case.

For a given one dimensional random variable $X$ with density $f$ and finite moments of order $k$ the characteristic function $\varphi_X(t)=E\left(e^{\mathrm{i} t X}\right)$ has the derivative
$$\frac{1}{\mathbf{i}^j}\left[\frac{\partial^j \log \left{\varphi_X(t)\right}}{\partial t^j}\right]{t=0}=\kappa_j, \quad j=1, \ldots, k .$$ The values $\kappa_j$ are called cumulants or semi-invariants since $\kappa_j$ does not change (for $j>$ 1) under a shift transformation $X \mapsto X+a$. The cumulants are natural parameters for dimension reduction methods, in particular the Projection Pursuit method (see Section 18.2). The relationship between the first $k$ moments $m_1, \ldots, m_k$ and the cumulants is given by $$\kappa_k=(-1)^{k-1}\left|\begin{array}{cccc} m_1 & \ldots & 0 \ m_2 & \left(\begin{array}{c} 1 \ 0 \end{array}\right) m_1 & \cdots & \ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \ m_k & \left(\begin{array}{c} k-1 \ 0 \end{array}\right) m{k-1} & \ldots & \left(\begin{array}{c} k-1 \ k-2 \end{array}\right) m_1 \end{array}\right| .$$

## 统计代写|多元统计分析代写Multivariate Statistical Analysis代考|Transformations

Suppose that $X$ has pdf $f_X(x)$. What is the pdf of $Y=3 X$ ? Or if $X=\left(X_1, X_2, X_3\right)^{\top}$, what is the pdf of
$$Y=\left(\begin{array}{c} 3 X_1 \ X_1-4 X_2 \ X_3 \end{array}\right) ?$$
This is a special case of asking for the pdf of $Y$ when
$$X=u(Y)$$
for a one-to-one transformation $u: \mathbb{R}^p \rightarrow \mathbb{R}^p$. Define the Jacobian of $u$ as
$$\mathcal{J}=\left(\frac{\partial x_i}{\partial y_j}\right)=\left(\frac{\partial u_i(y)}{\partial y_j}\right)$$
and let $\operatorname{abs}(|\mathcal{J}|)$ be the absolute value of the determinant of this Jacobian. The pdf of $Y$ is given by
$$f_Y(y)=\operatorname{abs}(|\mathcal{J}|) \cdot f_X{u(y)} .$$
Using this we can answer the introductory questions, namely
$$\left(x_1, \ldots, x_p\right)^{\top}=u\left(y_1, \ldots, y_p\right)=\frac{1}{3}\left(y_1, \ldots, y_p\right)^{\top}$$
with
$$\mathcal{J}=\left(\begin{array}{ccc} \frac{1}{3} & & 0 \ & \ddots & \ 0 & & \frac{1}{3} \end{array}\right)$$
and hence $\operatorname{abs}(|\mathcal{J}|)=\left(\frac{1}{3}\right)^p$. So the pdf of $Y$ is $\frac{1}{3^p} f_X\left(\frac{y}{3}\right)$.

# 多元统计分析代考

## 统计代写|多元统计分析代写Multivariate Statistical Analysis代考|Cumulant functions

$$\frac{1}{\mathbf{i}^j}\left[\frac{\partial^j \log \left{\varphi_X(t)\right}}{\partial t^j}\right]{t=0}=\kappa_j, \quad j=1, \ldots, k .$$值$\kappa_j$称为累积量或半不变量，因为$\kappa_j$在移位变换$X \mapsto X+a$下不会改变(对于$j>$ 1)。累积量是降维方法的自然参数，特别是投影追踪方法(见第18.2节)。第一个$k$矩$m_1, \ldots, m_k$与累积量之间的关系由式给出 $$\kappa_k=(-1)^{k-1}\left|\begin{array}{cccc} m_1 & \ldots & 0 \ m_2 & \left(\begin{array}{c} 1 \ 0 \end{array}\right) m_1 & \cdots & \ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \ m_k & \left(\begin{array}{c} k-1 \ 0 \end{array}\right) m{k-1} & \ldots & \left(\begin{array}{c} k-1 \ k-2 \end{array}\right) m_1 \end{array}\right| .$$

## 统计代写|多元统计分析代写Multivariate Statistical Analysis代考|Transformations

$$Y=\left(\begin{array}{c} 3 X_1 \ X_1-4 X_2 \ X_3 \end{array}\right) ?$$

$$X=u(Y)$$

$$\mathcal{J}=\left(\frac{\partial x_i}{\partial y_j}\right)=\left(\frac{\partial u_i(y)}{\partial y_j}\right)$$

$$f_Y(y)=\operatorname{abs}(|\mathcal{J}|) \cdot f_X{u(y)} .$$

$$\left(x_1, \ldots, x_p\right)^{\top}=u\left(y_1, \ldots, y_p\right)=\frac{1}{3}\left(y_1, \ldots, y_p\right)^{\top}$$

$$\mathcal{J}=\left(\begin{array}{ccc} \frac{1}{3} & & 0 \ & \ddots & \ 0 & & \frac{1}{3} \end{array}\right)$$

## 有限元方法代写

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## MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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