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计量经济学，对经济关系的统计和数学分析，通常作为经济预测的基础。这种信息有时被政府用来制定经济政策，也被私人企业用来帮助价格、库存和生产方面的决策。
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经济代写|计量经济学代写Econometrics代考|Maximum Likelihood and Generalized Least Squares
Up to this point, we have assumed that the errors adhering to regression models are independently distributed with constant variance. This is a strong assumption, which is often untenable in practice. In this chapter, we consider estimation techniques that allow it to be relaxed. These are generalized least squares, or GLS, and generalized nonlinear least squares, or GNLS, on the one hand, and various applications of the method of maximum likelihood on the other. We treat GLS and ML together because, when ML is applied to regression models with normal errors, the estimators that result are very closely related to GLS estimators.
The plan of the chapter is as follows. First of all, in Section 9.2, we relax the assumption that the error terms are independently distributed with constant variance. ML estimation of regression models without those assumptions turns out to be conceptually straightforward and to be closely related to the method of GNLS. In Section 9.3, we discuss the geometry of GLS and consider an important special case in which OLS and GLS estimates are identical. In Section 9.4, we show how a version of the Gauss-Newton regression may be used with models estimated by GNLS. In Section 9.5, we show how GNLS is related to feasible GNLS and discuss a number of fundamental results about both GNLS and feasible GNLS. The relationship between GNLS and ML is then treated in Section 9.6. In Sections $9.7$ through 9.9, we consider multivariate nonlinear regression models. Although such models may often seem very complicated, primarily because of the notational complexities of allowing for several jointly dependent variables, we show that they are actually quite straightforward to estimate by means of GNLS or ML. Finally, in Section 9.10, we discuss models for dealing with panel data and other data sets that combine time series and cross sections. In this chapter, we do not discuss plied work, namely, the estimation of regression models with serial correlation. The enormous literature on this subject will be the topic of Chapter 10.
经济代写|计量经济学代写Econometrics代考|Generalized Least Squares
In this section, we will consider the class of models
$$
\boldsymbol{y}=\boldsymbol{x}(\boldsymbol{\beta})+\boldsymbol{u}, \quad \boldsymbol{u} \sim N(\mathbf{0}, \boldsymbol{\Omega}),
$$
where $\Omega$, an $n \times n$ positive definite matrix, is the covariance matrix of the vector of error terms $\boldsymbol{u}$. The normality assumption can of course be relaxed, but we retain it for now since we want to use the method of maximum likelihood. In some applications the matrix $\Omega$ may be known. In others it may be known only up to a multiplicative constant, which implies that we can write $\boldsymbol{\Omega}=\sigma^2 \boldsymbol{\Delta}$, with $\boldsymbol{\Delta}$ a known $n \times n$ matrix and $\sigma^2$ an unknown positive scalar. In most applications, only the structure of $\Omega$ will be known; one might know for example that it arises from a particular pattern of heteroskedasticity or serial correlation and hence depends on a certain number of parameters in a certain way. We will consider all three cases.
The density of the vector $\boldsymbol{u}$ is the multivariate normal density
$$
f(\boldsymbol{u})=(2 \pi)^{-n / 2}|\boldsymbol{\Omega}|^{-1 / 2} \exp \left(-\frac{1}{2} \boldsymbol{u}^{\top} \boldsymbol{\Omega}^{-1} \boldsymbol{u}\right) .
$$
In order to pass from the density of the vector of error terms $\boldsymbol{u}$ to that of the vector of dependent variables $\boldsymbol{y}$, we must first replace $\boldsymbol{u}$ by $\boldsymbol{y}-\boldsymbol{x}(\boldsymbol{\beta})$ in (9.02) and then multiply by the absolute value of the determinant of the Jacobian matrix associated with the transformation that expresses $\boldsymbol{u}$ in terms of $\boldsymbol{y}$. This use of a Jacobian factor is analogous to what we did in Section $8.10$ with scalar random variables: For details, see Appendix B. In this case, the Jacobian matrix is the identity matrix, and so the determinant is unity. Hence the likelihood function is
$$
L^n(\boldsymbol{y}, \boldsymbol{\beta}, \boldsymbol{\Omega})=(2 \pi)^{-n / 2}|\boldsymbol{\Omega}|^{-1 / 2} \exp \left(-\frac{1}{2}(\boldsymbol{y}-\boldsymbol{x}(\boldsymbol{\beta}))^{\top} \boldsymbol{\Omega}^{-1}(\boldsymbol{y}-\boldsymbol{x}(\boldsymbol{\beta}))\right),
$$
and the loglikelihood function is
$$
\ell^n(\boldsymbol{y}, \boldsymbol{\beta}, \boldsymbol{\Omega})=-\frac{n}{2} \log (2 \pi)-\frac{1}{2} \log |\boldsymbol{\Omega}|-\frac{1}{2}(\boldsymbol{y}-\boldsymbol{x}(\boldsymbol{\beta}))^{\top} \boldsymbol{\Omega}^{-1}(\boldsymbol{y}-\boldsymbol{x}(\boldsymbol{\beta})) .(9.03)
$$
If the matrix $\Omega \Omega$ is known, it is clear that this function can be maximized by minimizing the generalized sum of squared residuals
$$
\operatorname{SSR}(\boldsymbol{\beta} \mid \boldsymbol{\Omega})=(\boldsymbol{y}-\boldsymbol{x}(\boldsymbol{\beta}))^{\top} \boldsymbol{\Omega}^{-1}(\boldsymbol{y}-\boldsymbol{x}(\boldsymbol{\beta})) .
$$
计量经济学代考
经济代写|计量经济学代写Econometrics代考|极大似然和广义最小二乘
到目前为止，我们已经假设回归模型的误差是独立分布的，方差恒定。这是一个强有力的假设，但在实践中往往站不住脚。在本章中，我们将考虑可以放松的评估技术。一方面是广义最小二乘，简称GLS，和广义非线性最小二乘，简称GNLS，另一方面是极大似然法的各种应用。我们将GLS和ML放在一起处理，因为当ML应用于具有正态误差的回归模型时，得到的估计量与GLS估计量非常密切相关
本章的计划如下。首先，在第9.2节中，我们放宽了误差项独立分布且方差恒定的假设。在没有这些假设的情况下，回归模型的ML估计在概念上是直接的，并且与GNLS方法密切相关。在第9.3节中，我们讨论了GLS的几何形状，并考虑了OLS和GLS估计值相同的一个重要特殊情况。在第9.4节中，我们展示了高斯-牛顿回归的一个版本如何与GNLS估计的模型一起使用。在第9.5节中，我们展示了GNLS与可行GNLS之间的关系，并讨论了关于GNLS和可行GNLS的一些基本结果。GNLS和ML之间的关系将在第9.6节中讨论。在$9.7$到9.9节中，我们考虑了多元非线性回归模型。尽管这样的模型通常看起来非常复杂，主要是因为允许几个联合因变量的符号复杂性，但我们表明，通过GNLS或ML的方法来估计它们实际上非常简单。最后，在9.10节中，我们讨论了处理面板数据和其他结合时间序列和截面的数据集的模型。在本章中，我们不讨论工作，即具有序列相关的回归模型的估计。关于这一主题的大量文献将是第十章的主题
经济代写|计量经济学代写Econometrics代考|广义最小二乘
在本节中，我们将考虑一类模型
$$
\boldsymbol{y}=\boldsymbol{x}(\boldsymbol{\beta})+\boldsymbol{u}, \quad \boldsymbol{u} \sim N(\mathbf{0}, \boldsymbol{\Omega}),
$$
，其中$\Omega$，一个$n \times n$正定矩阵，是误差项$\boldsymbol{u}$的向量的协方差矩阵。正规性假设当然可以放松，但我们现在保留它因为我们想使用最大似然的方法。在某些应用中，矩阵$\Omega$可能是已知的。在其他情况下，它可能只知道一个乘法常数，这意味着我们可以写$\boldsymbol{\Omega}=\sigma^2 \boldsymbol{\Delta}$, $\boldsymbol{\Delta}$是一个已知的$n \times n$矩阵，$\sigma^2$是一个未知的正标量。在大多数应用程序中，只有$\Omega$的结构是已知的;例如，人们可能知道它来自异方差或序列相关的一种特定模式，因此以某种方式依赖于一定数量的参数。我们将考虑所有三种情况。
向量$\boldsymbol{u}$的密度是多元正态密度
$$
f(\boldsymbol{u})=(2 \pi)^{-n / 2}|\boldsymbol{\Omega}|^{-1 / 2} \exp \left(-\frac{1}{2} \boldsymbol{u}^{\top} \boldsymbol{\Omega}^{-1} \boldsymbol{u}\right) .
$$
为了从误差项向量$\boldsymbol{u}$的密度传递到因变量向量$\boldsymbol{y}$的密度，我们必须首先用(9.02)中的$\boldsymbol{y}-\boldsymbol{x}(\boldsymbol{\beta})$替换$\boldsymbol{u}$，然后乘以与用$\boldsymbol{y}$表示$\boldsymbol{u}$的变换相关的雅可比矩阵行列式的绝对值。这种雅可比矩阵的使用类似于我们在$8.10$节中使用标量随机变量所做的:详细信息请参见附录b。在这种情况下，雅可比矩阵是单位矩阵，因此行列式是单位的。因此，似然函数为
$$
L^n(\boldsymbol{y}, \boldsymbol{\beta}, \boldsymbol{\Omega})=(2 \pi)^{-n / 2}|\boldsymbol{\Omega}|^{-1 / 2} \exp \left(-\frac{1}{2}(\boldsymbol{y}-\boldsymbol{x}(\boldsymbol{\beta}))^{\top} \boldsymbol{\Omega}^{-1}(\boldsymbol{y}-\boldsymbol{x}(\boldsymbol{\beta}))\right),
$$
，对数似然函数为
$$
\ell^n(\boldsymbol{y}, \boldsymbol{\beta}, \boldsymbol{\Omega})=-\frac{n}{2} \log (2 \pi)-\frac{1}{2} \log |\boldsymbol{\Omega}|-\frac{1}{2}(\boldsymbol{y}-\boldsymbol{x}(\boldsymbol{\beta}))^{\top} \boldsymbol{\Omega}^{-1}(\boldsymbol{y}-\boldsymbol{x}(\boldsymbol{\beta})) .(9.03)
$$
如果矩阵$\Omega \Omega$已知，很明显，该函数可以通过最小化残差平方和
$$
\operatorname{SSR}(\boldsymbol{\beta} \mid \boldsymbol{\Omega})=(\boldsymbol{y}-\boldsymbol{x}(\boldsymbol{\beta}))^{\top} \boldsymbol{\Omega}^{-1}(\boldsymbol{y}-\boldsymbol{x}(\boldsymbol{\beta})) .
$$ 来最大化
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金融工程代写
金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题，以及设计新的和创新的金融产品。
非参数统计代写
非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。
广义线性模型代考
广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。
术语 广义线性模型（GLM）通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归，以及方差分析和方差分析（仅含固定效应）。
有限元方法代写
有限元方法（FEM）是一种流行的方法，用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。
有限元是一种通用的数值方法，用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程（即一些边界值问题）。为了解决一个问题，有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分，称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的，它是通过构建对象的网格来实现的：用于求解的数值域，它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统，以模拟整个问题。然后，有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。
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随机分析代写
随机微积分是数学的一个分支，对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。
时间序列分析代写
随机过程，是依赖于参数的一组随机变量的全体，参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现，其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值（如1秒，5分钟，12小时，7天，1年），因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中，往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录，以得到其自身发展的规律。
回归分析代写
多元回归分析渐进（Multiple Regression Analysis Asymptotics）属于计量经济学领域，主要是一种数学上的统计分析方法，可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系，在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。
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MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。
