# 数学代写|交换代数代写commutative algebra代考|MTH7059

#### Doug I. Jones

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## 数学代写|交换代数代写commutative algebra代考|The Generic Matrix is Diagonalizable

Consider $n^2$ indeterminates $\left(a_{i, j}\right){i, j \in \llbracket 1 . . n \rrbracket}$ and let $A$ be the corresponding matrix (it has coefficients in $\left.\mathbf{A}=\mathbb{Z}\left[\left(a{i, j}\right)\right]\right]$.
5.3 Proposition The generic matrix $A$ is diagonalizable over a ring $\mathbf{B}$ containing $\mathbb{Z}\left[\left(a_{i, j}\right)\right]=\mathbf{A}$

D Let $f(T)=T^n-s_1 T^{n-1}+\cdots+(-1)^n s_n$ be the characteristic polynomial of $A$. Then the coefficients $s_i$ are algebraically independent over $\mathbb{Z}$. To realize this, it suffices to specialize $A$ as the companion matrix of a generic monic polynomial.
In particular, the discriminant $\Delta=\operatorname{disc}(f)$ is nonzero in the integral ring $\mathbf{A}$. Then consider the ring $\mathbf{A}1=\mathbf{A}[1 / \Delta] \supseteq \mathbf{A}$ and the universal splitting algebra $\mathbf{C}=\operatorname{Adu}{\mathbf{A}1, f}$. Let the $x_i$ be the elements of $\mathbf{C}$ such that $f(T)=\prod_i\left(T-x_i\right)$. Finally, apply Proposition 5.2. If we want to obtain a diagonalizable matrix, we invert for instance $a=\prod_i \operatorname{det}\left(\left(A-x_i \mathbf{I}_n\right){1 . . n-1,1 . n-1}\right)$. This is an element of $\mathbf{A}$ and it suffices to convince ourselves that it is nonzero by exhibiting a particular matrix, for example the companion matrix of the polynomial $X^n-1$.
Ultimately, consider $\mathbf{A}2=\mathbf{A}[1 /(a \Delta)] \supseteq \mathbf{A}$ and take $\mathbf{B}=\operatorname{Adu}{\mathbf{A}_2, f} \supseteq \mathbf{A}_2$.
The strength of the previous result, “which makes life considerably easier” is illustrated in the following two subsections.

## 数学代写|交换代数代写commutative algebra代考|New Version of the Discriminant

Recall (Definition II-5.33) that when $\mathbf{C} \supseteq \mathbf{A}$ is a free $\mathbf{A}$-algebra of finite rank and $x_1, \ldots, x_k \in \mathbf{C}$, we call the determinant of the matrix $\left(\operatorname{Tr}{\mathbf{C} / \mathbf{A}}\left(x_i x_j\right)\right){i, j \in \llbracket 1 . . k \rrbracket}$ the discriminant of $\left(x_1, \ldots, x_k\right)$. We denote it by $\operatorname{disc}_{\mathbf{C} / \mathbf{A}}\left(x_1, \ldots, x_k\right)$.

Moreover, if $\left(x_1, \ldots, x_k\right)$ is an $\mathbf{A}$-basis of $\mathbf{C}$, we denote by Disc $\mathbf{C} / \mathbf{A}$ the multiplicative class of $\operatorname{disc} \mathbf{C} / \mathbf{A}\left(x_1, \ldots, x_k\right)$ modulo the squares of $\mathbf{A}^{\times}$. We call it the discriminant of the extension $\mathbf{C} / \mathbf{A}$.

In this subsection, we make the link between the discriminant of free algebras of finite rank and the discriminant of monic polynomials.

Let us emphasize the remarkable character of the implication $1 a \Rightarrow 1 b$ in the following proposition.
5.10 Proposition (Trace-valued discriminant) Let $\mathbf{B}$ be a free $\mathbf{A}$-algebra of finite rank $n, x \in \mathbf{B}$ and $f=\mathrm{C}{\mathbf{B} / \mathbf{A}}(x)(T)$. We have $$\operatorname{disc}\left(1, x, \ldots, x^{n-1}\right)-\operatorname{disc}(f)-(-1)^{\frac{n(n-1)}{2}} \mathrm{~N}{\mathbf{B} / \mathbf{A}}\left(f^{\prime}(x)\right) .$$
We say that $f^{\prime}(x)$ is the different of $x$. The following results ensue.

1. The following properties are equivalent.
a. $\operatorname{disc}(f) \in \mathbf{A}^{\times}$.
b. $\operatorname{Disc} \mathbf{B} / \mathbf{A} \in \mathbf{A}^{\times}$and $\left(1, x, \ldots, x^{n-1}\right)$ is an $\mathbf{A}$-basis of $\mathbf{B}$.
c. $\operatorname{Disc}_{\mathbf{B} / \mathbf{A}} \in \mathbf{A}^{\times}$and $\mathbf{B}=\mathbf{A}[x]$.
2. If $\mathrm{Disc}{\mathbf{B} / \mathbf{A}}$ is regular, the following properties are equivalent. a. $\operatorname{Disc}{\mathbf{B} / \mathbf{A}}$ and $\operatorname{disc}(f)$ are associated elements.
b. $\left(1, x, \ldots, x^{n-1}\right)$ is an $\mathbf{A}$-basis of $\mathbf{B}$.
c. $\mathbf{B}=\mathbf{A}[x]$.
3. The discriminant of a monic polynomial $g \in \mathbf{A}[T]$ represents (modulo the squares of $\left.\mathbf{A}^{\times}\right)$the discriminant of the extension $\mathbf{A}[T] /\langle g\rangle$ of $\mathbf{A}$. We have $\operatorname{disc}_T(g) \in \mathbf{A}^{\times}$ if and only if $\left\langle g(T), g^{\prime}(T)\right\rangle=\mathbf{A}$.

# 交换代数代考

## 数学代写|交换代数代写commutative algebra代考|通用矩阵是可对角化的

$5.3$ 命题通用矩阵 $A$ 在环上可对角化 $\mathbf{B}$ 包含 $\mathbb{Z}\left[\left(a_{i, j}\right)\right]=\mathbf{A}$
$\mathrm{D}$ 让 $f(T)=T^n-s_1 T^{n-1}+\cdots+(-1)^n s_n$ 是的特征多项式 $A$. 那么系数 $s_i$ 在代数上 是独立的 $\mathbb{Z}$. 为了实现这一点，专门化就足够了 $A$ 作为通用一元多项式的伴随矩阵。

$a=\prod_i \operatorname{det}\left(\left(A-x_i \mathbf{I}_n\right) 1 . . n-1,1 . n-1\right)$. 这是一个元青 $\mathbf{A}$ 通过展示一个特定的矩 阵 (例如多项式的伴随矩阵) 就足以让我们自己相信它是非零的 $X^n-1$.

## 数学代写|交换代数代写commutative algebra代考|新版本的鉴别

$5.10$ 命题（迹值判别式）让 $\mathbf{B}$ 做个自由人 $\mathbf{A}$ – 有限秩代数 $n, x \in \mathbf{B}$ 和 $f=\mathbf{C B} / \mathbf{A}(x)(T)$ 惐们有
$$\operatorname{disc}\left(1, x, \ldots, x^{n-1}\right)-\operatorname{disc}(f)-(-1)^{\frac{n(n-1)}{2}} \mathrm{NB} / \mathbf{A}\left(f^{\prime}(x)\right)$$

1. 以下属性是等效的。
一个。 $\operatorname{disc}(f) \in \mathbf{A}^{\times}$.
湾。 $\operatorname{Disc} \mathbf{B} / \mathbf{A} \in \mathbf{A}^{\times}$和 $\left(1, x, \ldots, x^{n-1}\right)$ 是一个 $\mathbf{A}$ – 基础 $\mathbf{B}$.
C. $\operatorname{Disc}_{\mathbf{B} / \mathbf{A}} \in \mathbf{A}^{\times}$和 $\mathbf{B}=\mathbf{A}[x]$.
2. 如果Disc $\mathbf{B} / \mathbf{A}$ 是正则的，下面的性质是等价的。一个。 $\operatorname{Disc} \mathbf{B} / \mathbf{A}$ 和 $\operatorname{disc}(f)$ 是 关联元素。
湾。 $\left(1, x, \ldots, x^{n-1}\right)$ 是一个 $\mathbf{A}$ – 基础 $\mathbf{B}$.
C。 $\mathbf{B}=\mathbf{A}[x]$.
3. 一元多项式的判别式 $g \in \mathbf{A}[T]$ 表示 (模的平方 $\mathbf{A}^{\times}$)扩展的判别式 $\mathbf{A}[T] /\langle g\rangle$ 的 $\mathbf{A}$ 䖸们有 $\operatorname{disc}_T(g) \in \mathbf{A}^{\times}$当且仅当 $\left\langle g(T), g^{\prime}(T)\right\rangle=\mathbf{A}$.

## 有限元方法代写

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## MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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