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交换代数本质上是对代数数论和代数几何中出现的环的研究。在代数数论中，代数整数的环是Dedekind环，因此它构成了一类重要的换元环。
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数学代写|交换代数代写commutative algebra代考|Dedekind-Mertens Lemma
D First of all, notice that the products $f_i g_j$ are the coefficients of the polynomial $f(Y) g(X)$. Similarly, for some indeterminates $Y_0, \ldots, Y_m$, the content of the polynomial $f\left(Y_0\right) \cdots f\left(Y_m\right) g(X)$ is equal to $c(f)^{m+1} \mathrm{c}(g)$.
Let $h=f g$. Imagine that in the ring $\mathbf{B}=\mathbf{A}\left[X, Y_0, \ldots, Y_m\right]$ we are able to show the membership of the polynomial $f\left(Y_0\right) \cdots f\left(Y_m\right) g(X)$ in the ideal
$$
\sum_{j=0}^m\left(h\left(Y_j\right) \prod_{k, k \neq j}\left(f\left(Y_k\right)\right\rangle\right) .
$$
We would immediately deduce that $\mathrm{c}(f)^{m+1} \mathrm{c}(g) \subseteq \mathrm{c}(f)^m \mathrm{c}(h)$.
This is more or less what is going to happen. We get rid of the denominators in Lagrange’s interpolation formula (we need at least $1+\operatorname{deg} g$ interpolation points):
In the ring $\mathbf{B}$, by letting $\Delta=\prod_{j \neq k}\left(Y_j-Y_k\right)$, we get:
$$
\Delta \cdot g(X) \in \sum_{j=0}^m\left\langle g\left(Y_j\right)\right\rangle .
$$
Thus by multiplying by $f\left(Y_0\right) \cdots f\left(Y_m\right)$ :
$$
\Delta \cdot f\left(Y_0\right) \cdots f\left(Y_m\right) \cdot g(X) \in \sum_{j=0}^m h\left(Y_j\right) \prod_{k, k \neq j}\left\langle f\left(Y_k\right)\right\rangle .
$$
If we show that for any $Q \in \mathbf{B}$ we have $\mathrm{c}(Q)=\mathrm{c}(\Delta \cdot Q)$, the previous membership gives $\mathrm{c}(f)^{m+1} \mathrm{c}(g) \subseteq \mathrm{c}(f)^m \mathrm{c}(h)$.
Note that $\mathrm{c}\left(Y_i Q\right)=\mathrm{c}(Q)$ and especially that
$$
\mathrm{c}\left(Q\left(Y_0 \pm Y_1, Y_1, \ldots, Y_m\right)\right) \subseteq \mathrm{c}\left(Q\left(Y_0, Y_1, \ldots, Y_m\right)\right) .
$$
Therefore, by putting $Y_0=\left(Y_0 \pm Y_1\right) \mp Y_1, \mathrm{c}\left(Q\left(Y_0 \pm Y_1, Y_1, \ldots, Y_m\right)\right)=\mathrm{c}(Q)$. The following polynomials thus all have the same content:
$$
\begin{gathered}
Q, Q\left(Y_0+Y_1, Y_1, \ldots, Y_m\right), Y_0 Q\left(Y_0+Y_1, Y_1, \ldots, Y_m\right), \
\left(Y_0-Y_1\right) Q\left(Y_0, Y_1, \ldots, Y_m\right) .
\end{gathered}
$$
数学代写|交换代数代写commutative algebra代考|The Universal Splitting Algebra for a Monic Polynomial
Disclaimer In a context where we manipulate algebras, it is sometimes preferable to keep to the intuition that we want to have a field as the base ring, even if it is only a commutative ring. In which case we choose to give a name such as $\mathbf{k}$ to the base ring. This is what we are going to do in this section dedicated to the universal splitting algebra.
When we are truly dealing with a discrete field, we will use $\mathbf{K}$ instead.
We now proceed to the inverse operation to that which passes from the polynomial ring to the subring of symmetric polynomials.
In the presence of a monic polynomial $f=T^n+\sum_{k=1}^n(-1)^k s_k T^{n-k} \in \mathbf{k}[T]$ over a ring $\mathbf{k}$, we want to have at our disposal an extension of $\mathbf{k}$ where the polynomial is decomposed into linear factors. Such an extension can be constructed in a purely formal way. The result is called the universal splitting algebra.
4.1 Definition and notation Let $f=T^n+\sum_{k=1}^n(-1)^k s_k T^{n-k} \in \mathbf{k}[T]$ be a monic polynomial of degree $n$. We denote by Adu $\mathbf{k}{\mathbf{k}, f}$ the universal splitting algebra of $f$ over k defined as follows $$ \mathrm{Adu}{\mathbf{k}, f}=\mathbf{k}\left[X_1, \ldots, X_n\right] / \mathcal{J}(f)=\mathbf{k}\left[x_1, \ldots, x_n\right]
$$
where $\mathcal{J}(f)$ is the ideal of symmetric relators necessary to identify $\prod_{i=1}^n\left(T-x_i\right)$ with $f(T)$ in the quotient. Precisely, if $S_1, S_2, \ldots, S_n$ are the elementary symmetric functions of the $X_i$ ‘s, the ideal $\mathcal{J}(f)$ is given by
$$
\mathcal{J}(f)=\left\langle S_1-s_1, S_2-s_2, \ldots, S_n-s_n\right\rangle
$$
The universal splitting algebra $\mathbf{A}=\mathrm{Adu}_{\mathbf{k}, f}$ can be characterized by the following property.
4.2 Fact (Universal decomposition algebra, characteristic property)
- Let $\mathbf{C}$ be a $\mathbf{k}$-algebra such that $f(T)$ is decomposed into a product of factors $T-z_i$. Then, there exists a unique homomorphism of $\mathbf{k}$-algebras of $\mathbf{A}$ to $\mathbf{C}$ which sends the $x_i$ ‘s to the $z_i$ ‘s.
- This characterizes the universal splitting algebra $\mathbf{A}=\mathrm{Adu}_{\mathbf{k}, f}$, up to unique isomorphism.
- Moreover, if $\mathbf{C}$ is generated (as a $\mathbf{k}$-algebra) by the $z_i$ ‘s, the universal splitting algebra is isomorphic to a quotient of $\mathbf{A}$.
交换代数代考
数学代写|交换代数代写交换代数代考|Dedekind-Mertens引理
首先，注意乘积$f_i g_j$是多项式$f(Y) g(X)$的系数。类似地，对于某些不定式$Y_0, \ldots, Y_m$，多项式$f\left(Y_0\right) \cdots f\left(Y_m\right) g(X)$的内容等于$c(f)^{m+1} \mathrm{c}(g)$ .
让 $h=f g$。想象一下在拳击场上 $\mathbf{B}=\mathbf{A}\left[X, Y_0, \ldots, Y_m\right]$ 我们能够证明多项式的隶属度 $f\left(Y_0\right) \cdots f\left(Y_m\right) g(X)$ 在理想
$$
\sum_{j=0}^m\left(h\left(Y_j\right) \prod_{k, k \neq j}\left(f\left(Y_k\right)\right\rangle\right) .
$$我们马上就能推断出来 $\mathrm{c}(f)^{m+1} \mathrm{c}(g) \subseteq \mathrm{c}(f)^m \mathrm{c}(h)$这或多或少就是将要发生的事情。我们去掉了拉格朗日插值公式中的分母(我们至少需要 $1+\operatorname{deg} g$ 插补点):
在环中 $\mathbf{B}$，让 $\Delta=\prod_{j \neq k}\left(Y_j-Y_k\right)$，我们得到:
$$
\Delta \cdot g(X) \in \sum_{j=0}^m\left\langle g\left(Y_j\right)\right\rangle .
$$
因此乘以 $f\left(Y_0\right) \cdots f\left(Y_m\right)$ :
$$
\Delta \cdot f\left(Y_0\right) \cdots f\left(Y_m\right) \cdot g(X) \in \sum_{j=0}^m h\left(Y_j\right) \prod_{k, k \neq j}\left\langle f\left(Y_k\right)\right\rangle .
$$
$Q \in \mathbf{B}$ 我们有 $\mathrm{c}(Q)=\mathrm{c}(\Delta \cdot Q)$，以前的会员给予 $\mathrm{c}(f)^{m+1} \mathrm{c}(g) \subseteq \mathrm{c}(f)^m \mathrm{c}(h)$.
注意 $\mathrm{c}\left(Y_i Q\right)=\mathrm{c}(Q)$ 特别是
$$
\mathrm{c}\left(Q\left(Y_0 \pm Y_1, Y_1, \ldots, Y_m\right)\right) \subseteq \mathrm{c}\left(Q\left(Y_0, Y_1, \ldots, Y_m\right)\right) .
$$
因此，通过put $Y_0=\left(Y_0 \pm Y_1\right) \mp Y_1, \mathrm{c}\left(Q\left(Y_0 \pm Y_1, Y_1, \ldots, Y_m\right)\right)=\mathrm{c}(Q)$。因此，下面的多项式都具有相同的内容:
$$
\begin{gathered}
Q, Q\left(Y_0+Y_1, Y_1, \ldots, Y_m\right), Y_0 Q\left(Y_0+Y_1, Y_1, \ldots, Y_m\right), \
\left(Y_0-Y_1\right) Q\left(Y_0, Y_1, \ldots, Y_m\right) .
\end{gathered}
$$
数学代写|交换代数代写交换代数代考|一个Monic多项式的通用分裂代数
在我们使用代数的情况下，有时最好保持这样的直觉，即我们想要有一个场作为基环，即使它只是一个交换环。在这种情况下，我们选择为基环指定一个名称，例如$\mathbf{k}$。这就是我们这节课要做的事情这节课专门讲通用分裂代数。当我们真正处理一个离散字段时，我们将使用$\mathbf{K}$代替。我们现在进行从多项式环到对称多项式的子带的逆运算
在存在一个一元多项式的情况下 $f=T^n+\sum_{k=1}^n(-1)^k s_k T^{n-k} \in \mathbf{k}[T]$ 越过一个环 $\mathbf{k}$的延期，我们希望可以使用 $\mathbf{k}$ 多项式被分解成线性因子。这样的扩展可以用纯形式的方式构造。结果被称为普适分裂代数。
4.1定义和符号Let $f=T^n+\sum_{k=1}^n(-1)^k s_k T^{n-k} \in \mathbf{k}[T]$ 是次的一多项式 $n$。我们用阿杜表示 $\mathbf{k}{\mathbf{k}, f}$ 的普适分裂代数 $f$ 除以k，定义如下 $$ \mathrm{Adu}{\mathbf{k}, f}=\mathbf{k}\left[X_1, \ldots, X_n\right] / \mathcal{J}(f)=\mathbf{k}\left[x_1, \ldots, x_n\right]
$$
where $\mathcal{J}(f)$ 是否有必要确定理想的对称关系式 $\prod_{i=1}^n\left(T-x_i\right)$ 用 $f(T)$ 在商中。没错，如果 $S_1, S_2, \ldots, S_n$ 初等对称函数 $X_i$ ’s，理想 $\mathcal{J}(f)$
$$
\mathcal{J}(f)=\left\langle S_1-s_1, S_2-s_2, \ldots, S_n-s_n\right\rangle
$$
普适分裂代数 $\mathbf{A}=\mathrm{Adu}_{\mathbf{k}, f}$ 4.2事实(普适分解代数，特征性质)
- 设$\mathbf{C}$为$\mathbf{k}$ -代数，使$f(T)$分解为因子$T-z_i$的乘积。然后，$\mathbf{A}$到$\mathbf{C}$的$\mathbf{k}$ -代数存在一个唯一同态，它将$x_i$ ‘s发送到$z_i$ ‘s。
- 这表征了普遍分裂代数$\mathbf{A}=\mathrm{Adu}_{\mathbf{k}, f}$，直到唯一同态。
此外，如果$\mathbf{C}$是由$z_i$’s生成的(作为$\mathbf{k}$ -algebra)，则普域分裂代数同构于$\mathbf{A}$的商
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金融工程代写
金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题，以及设计新的和创新的金融产品。
非参数统计代写
非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。
广义线性模型代考
广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。
术语 广义线性模型（GLM）通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归，以及方差分析和方差分析（仅含固定效应）。
有限元方法代写
有限元方法（FEM）是一种流行的方法，用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。
有限元是一种通用的数值方法，用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程（即一些边界值问题）。为了解决一个问题，有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分，称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的，它是通过构建对象的网格来实现的：用于求解的数值域，它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统，以模拟整个问题。然后，有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。
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随机分析代写
随机微积分是数学的一个分支，对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。
时间序列分析代写
随机过程，是依赖于参数的一组随机变量的全体，参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现，其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值（如1秒，5分钟，12小时，7天，1年），因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中，往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录，以得到其自身发展的规律。
回归分析代写
多元回归分析渐进（Multiple Regression Analysis Asymptotics）属于计量经济学领域，主要是一种数学上的统计分析方法，可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系，在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。
MATLAB代写
MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。
