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• Longitudinal Data Analysis 纵向数据分析
• Foundations of Data Science 数据科学基础

数学代写|高等线性代数代写Advanced Linear Algebra代考|Commuting matrices

One learns early on when dealing with matrices that in general they do not commute (indeed, in general $A B \neq B A$ ). Sometimes, though, one does encounter commuting matrices; for example, if they are matrix representations of taking partial derivatives with respect to different variables on a vector space of “nice” functions. It is of interest to relate such commuting matrices to one another. We focus on the case when one of the matrices is nonderogatory.

We call a matrix nonderogatory if the matrix only has a single Jordan block associated with each eigenvalue. The following results is easily proven.

Proposition 4.6.1 Let $A \in \mathbb{F}^{n \times n}$. The following are equivalent.
(i) A is nonderogatory.
(ii) $w_1(A, \lambda)=\operatorname{dim} \operatorname{Ker}\left(A-\lambda I_n\right)=1$ for every eigenvalue $\lambda$ of $A$.
(iii) $m_A(t)=p_A(t)$.
The main result of this section is the following. We say that matrices $A$ and $B$ commute if $A B=B A$.
Theorem 4.6.2 Let $A \in \mathbb{F}^{n \times n}$ be nonderogatory with $p_A(\lambda)=\prod_{i=1}^m\left(\lambda-\lambda_i\right)^{n_i}$ with $\lambda_1, \ldots, \lambda_m \in \mathbb{F}$ all different. Then $B \in \mathbb{F}^{n \times n}$ commutes with $A$ if and only if there exists a polynomial $p(X) \in \mathbb{F}[X]$ so that $B=p(A)$. In that case, one can always choose $p(X)$ to have degree $\leq n-1$.
When $A$ is not nonderogatory, there is no guarantee that commuting matrices have to be of the form $p(A)$, as the following example shows.
Example 4.6.3 Let $\mathbb{F}=\mathbb{R}, A=\left(\begin{array}{ll}1 & 0 \ 0 & 1\end{array}\right)$, and $B=\left(\begin{array}{ll}1 & 2 \ 0 & 3\end{array}\right)$. Clearly $A B=B A$. If $p(X)$ is some polynomial, then $p(A)=\left(\begin{array}{cc}p(1) & 0 \ 0 & p(1)\end{array}\right)$, which never equals $B$.
We will need the following result.

数学代写|高等线性代数代写Advanced Linear Algebra代考|The resolvent

One matrix function that is of particular interest is the resolvent. The resolvent of a matrix $A \in \mathbb{C}^{n \times n}$ is the function
$$
R(\lambda):=\left(\lambda I_n-A\right)^{-1},
$$
which is well-defined on $\mathbb{C} \backslash \sigma(A)$, where $\sigma(A)={z \in \mathbb{C}: z$ is an eigenvalue of $A}$ is the spectrum of $A$. We have the following observation.

Proposition 4.9.1 Let $A \in \mathbb{C}^{n \times n}$ with minimal polynomial $m_A(t)=\prod_{j=1}^m\left(t-\lambda_j\right)^{k_j}$, and let $P_{j k}, j=1, \ldots, m, k=0, \ldots, k_j-1$, be as in Theorem 4.8.4. Then
$$
R(\lambda)=\left(\lambda I_n-A\right)^{-1}=\sum_{j=1}^m \sum_{k=0}^{n_j-1} \frac{k !}{\left(\lambda-\lambda_j\right)^{k+1}} P_{j k} .
$$
Proof. Fix $\lambda \in \mathbb{C} \backslash \sigma(A)$, and define $g(z)=\frac{1}{\lambda-z}$, which is well-defined and $k$ times differentiable for every $k \in \mathbb{N}$ on the domain $\mathbb{C} \backslash{\lambda}$. Notice that $g(A)=\left(\lambda I_n-A\right)^{-1}=R(\lambda)$. Also observe that
$$
g^{\prime}(t)=\frac{1}{(\lambda-t)^2}, g^{\prime \prime}(t)=\frac{2}{(\lambda-t)^3}, \ldots, g^{(k)}(t)=\frac{k !}{(\lambda-t)^{k+1}} .
$$
Thus, by Theorem 4.8.4,
$$
R(\lambda)=g(A)=\sum_{j=1}^m \sum_{k=0}^{n_j-1} g^{(k)}(t) P_{j k}=\sum_{j=1}^m \sum_{k=0}^{n_j-1} \frac{k !}{\left(\lambda-\lambda_j\right)^{k+1}} P_{j k} .
$$
If we make use of a fundamental complex analysis result, Cauchy’s integral formula, we can develop an integral formula for $f(A)$ that is used, for instance, in analyzing differential operators. Let us start by stating Cauchy’s result. A function $f$ of a complex variable is called analytic on an open set $D \subseteq \mathbb{C}$ if $f$ is continuously differentiable at every point $z \in D$.

高等线性代数代考

数学代写|高等线性代数代写Advanced Linear Algebra代考|交换矩阵

在处理矩阵时，人们很早就知道它们通常不会交换(实际上，通常$A B \neq B A$)。有时候，我们会遇到交换矩阵;例如，如果它们是对不同变量在一个很好的函数向量空间上求偏导的矩阵表示。把这样的交换矩阵彼此联系起来是很有趣的。我们关注其中一个矩阵非贬损的情况。

如果矩阵只有一个Jordan块与每个特征值相关联，我们称该矩阵为非减损矩阵。下面的结果很容易得到证明

命题4.6.1让$A \in \mathbb{F}^{n \times n}$。
(i) A是非贬义的。
(ii) $w_1(A, \lambda)=\operatorname{dim} \operatorname{Ker}\left(A-\lambda I_n\right)=1$对于$A$的每个特征值$\lambda$ .
(iii) $m_A(t)=p_A(t)$ .
本节的主要结果如下。我们说矩阵$A$和$B$如果$A B=B A$交换
定理4.6.2让$A \in \mathbb{F}^{n \times n}$非贬损，$p_A(\lambda)=\prod_{i=1}^m\left(\lambda-\lambda_i\right)^{n_i}$和$\lambda_1, \ldots, \lambda_m \in \mathbb{F}$都不同。然后$B \in \mathbb{F}^{n \times n}$与$A$交换当且仅当存在一个多项式$p(X) \in \mathbb{F}[X]$使$B=p(A)$。在这种情况下，我们总是可以选择$p(X)$来表示度$\leq n-1$ .
当$A$不是非贬损的时候，并不保证交换矩阵一定是$p(A)$的形式，如下面的例子所示。示例4.6.3让$\mathbb{F}=\mathbb{R}, A=\left(\begin{array}{ll}1 & 0 \ 0 & 1\end{array}\right)$，和$B=\left(\begin{array}{ll}1 & 2 \ 0 & 3\end{array}\right)$。显然$A B=B A$。如果$p(X)$是一个多项式，那么$p(A)=\left(\begin{array}{cc}p(1) & 0 \ 0 & p(1)\end{array}\right)$永远不等于$B$。
我们将需要以下结果。

数学代写|高等线性代数代写Advanced Linear Algebra代考|The resolvent

.

一个特别有趣的矩阵函数是解。矩阵$A \in \mathbb{C}^{n \times n}$的解是函数
$$
R(\lambda):=\left(\lambda I_n-A\right)^{-1},
$$
，该函数在$\mathbb{C} \backslash \sigma(A)$上有明确的定义，其中$\sigma(A)={z \in \mathbb{C}: z$是$A}$的特征值，是$A$的谱。我们有以下观察:

命题4.9.1令$A \in \mathbb{C}^{n \times n}$具有最小多项式$m_A(t)=\prod_{j=1}^m\left(t-\lambda_j\right)^{k_j}$，且令$P_{j k}, j=1, \ldots, m, k=0, \ldots, k_j-1$如定理4.8.4所示。那么
$$
R(\lambda)=\left(\lambda I_n-A\right)^{-1}=\sum_{j=1}^m \sum_{k=0}^{n_j-1} \frac{k !}{\left(\lambda-\lambda_j\right)^{k+1}} P_{j k} .
$$
证明。修复$\lambda \in \mathbb{C} \backslash \sigma(A)$，并定义$g(z)=\frac{1}{\lambda-z}$，它是定义良好的，并且对于域$\mathbb{C} \backslash{\lambda}$上的每个$k \in \mathbb{N}$$k$乘可微。注意$g(A)=\left(\lambda I_n-A\right)^{-1}=R(\lambda)$。因此，根据定理4.8.4，
$$
g^{\prime}(t)=\frac{1}{(\lambda-t)^2}, g^{\prime \prime}(t)=\frac{2}{(\lambda-t)^3}, \ldots, g^{(k)}(t)=\frac{k !}{(\lambda-t)^{k+1}} .
$$
，
$$
R(\lambda)=g(A)=\sum_{j=1}^m \sum_{k=0}^{n_j-1} g^{(k)}(t) P_{j k}=\sum_{j=1}^m \sum_{k=0}^{n_j-1} \frac{k !}{\left(\lambda-\lambda_j\right)^{k+1}} P_{j k} .
$$
如果我们利用一个基本的复分析结果，柯西的积分公式，我们可以开发一个$f(A)$的积分公式，例如，用于分析微分算子。让我们从柯西的结果开始。复变量的函数$f$在开集$D \subseteq \mathbb{C}$上称为解析函数，如果$f$在每一点$z \in D$上都是连续可微的。

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金融工程代写

金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题，以及设计新的和创新的金融产品。

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语 广义线性模型（GLM）通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归，以及方差分析和方差分析（仅含固定效应）。

有限元方法代写

有限元方法（FEM）是一种流行的方法，用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法，用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程（即一些边界值问题）。为了解决一个问题，有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分，称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的，它是通过构建对象的网格来实现的：用于求解的数值域，它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统，以模拟整个问题。然后，有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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随机分析代写

随机微积分是数学的一个分支，对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。

时间序列分析代写

随机过程，是依赖于参数的一组随机变量的全体，参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现，其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值（如1秒，5分钟，12小时，7天，1年），因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中，往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录，以得到其自身发展的规律。

回归分析代写

多元回归分析渐进（Multiple Regression Analysis Asymptotics）属于计量经济学领域，主要是一种数学上的统计分析方法，可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系，在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。