## 数学代写|数值分析代写numerical analysis代考|MA1020

2022年10月10日

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## 数学代写|数值分析代写numerical analysis代考|Preconditioning

Iterative improvement is one way in which we can prime an iterative method using the ideas of the Jacobi iteration
$$x^{k+1}=-D^{-1}(U+L) x^k+D^{-1} b$$
or the Gauss-Seidel iteration
$$x^{k+1}=-(L+D)^{-1} U x^k+(L+D)^{-1} b$$
(where $A=U+L+D) \mathrm{R}$. However, there is another way that is standard nowadays (and is an area of active research): Preconditioning, where we take a linear system $A x=b$ and modify it to an equivalent system of the form
$$M_1 A M_2 y=\tilde{b}$$
(where $y=M_2^{-1} x$ and $\tilde{b}=M_1 b$ ) for which
$$\kappa\left(M_1 A M_2\right)<<\kappa(A)$$
so that $M_1 A M_2$ is significantly better conditioned than $A$ itself ${ }^5$. We refer to $M_1$ as a left preconditioner and $M_2$ as a right preconditioner. If the costs involved in finding and using $M_1$ and $M_2$ are not too severe compared to what is gained from the reduction in the condition number, this can be very beneficial.

Preconditioning followed by an iterative method is the standard approach for large sparse linear systems. In fact, an iteration or two of Jacobi or Gauss-Seidel iteration followed by iterative improvement (see Sec. 3.3) is often considered an example of this approach, with the Jacobi or Gauss-Seidel iteration being roughly like a form of preconditioning.

In some cases it is important to use both a right preconditioner and a left preconditioner; for example, if $A$ is positive definite then $M_1 A$ may not be but $M_1 A M_2$ can be made to be positive definite, and this is likely to be desirable.

## 数学代写|数值分析代写numerical analysis代考|Krylov Space Methods

Many iterative methods for solving linear systems $A x=b$ and for finding eigenvalues and eigenvectors of a matrix $A$ are based on the Krylov space
$$K_k=\operatorname{span}\left{w, A w, A^2 w, \ldots, A^{k-1} w\right}$$
associated with $A$ and a given vector $w$, which is a subspace of $\mathbb{R}^n$. We call it the Krylov subspace generated by $A$ and $w$. We’ll focus on using it for the solution of linear systems rather than eigenvalue problems. The general idea is this: Given the linear system $A x=b$ we first try to find an approximate solution $w_1$ that is a multiple of $w$. We then look for a better approximate solution $w_2$ that was a linear

combination of $w$ and $A w$, that is, one that is an element of $K_2$. We continue in this way, so that the $k$ th approximation $w_k$ is an element of $K_k$. Since
$$K_n=\mathbb{R}^n$$
(for a typical $A$ and $w$ ) it appears that if a solution exists, then it is in $K_n$. We hope to find a good approximate solution in $K_k$ for $k \ll n$ because in the cases of interest $n$ will be very large (and $A$ will be sparse).

There are many ways to build such a method. The typical choice for $w$ is either $b$ or the residual $b-A w_0$ for some initial guess $w_0$. We’ll look at a method that uses $w=b$, so that Eq. (5.1) becomes
$$K_k=\operatorname{span}\left{b, A b, A^2 b, \ldots, A^{k-1} b\right} .$$
Choose an initial guess $w_0$ as to the solution of $A x=b$. Then define
$$V_k=w_0+K_k$$
by which we mean that $V_h$ is the set of all vectors of the form $w_0+w$, where $w_0$ is the initial guess and $w$ is any element of $K_k$. (Frequently we take $w_0=0$, in which case $V_k=K_k$.) We say that $V_k$ is an affine space, meaning a vector space shifted by a particular vector (here, $w_0$ ). Note that if $w_0 \notin K_k$ then $V_k$ is not a vector space.

# 数值分析代考

## 数学代写|数值分析代写数值分析代考|预处理

$$x^{k+1}=-D^{-1}(U+L) x^k+D^{-1} b$$

$$x^{k+1}=-(L+D)^{-1} U x^k+(L+D)^{-1} b$$
(其中$A=U+L+D) \mathrm{R}$。然而，现在还有另一种标准的方法(也是一个活跃的研究领域):预处理，我们取一个线性系统$A x=b$，并将其修改为一个等价的系统，形式为
$$M_1 A M_2 y=\tilde{b}$$
(其中$y=M_2^{-1} x$和$\tilde{b}=M_1 b$)，其中
$$\kappa\left(M_1 A M_2\right)<<\kappa(A)$$
，因此$M_1 A M_2$明显优于$A$本身${ }^5$。我们将$M_1$作为左侧预处理条件，将$M_2$作为右侧预处理条件。如果发现和使用$M_1$和$M_2$所涉及的成本与减少条件数量所获得的成本相比不是太严重，那么这将是非常有益的

## 数学代写|数值分析代写数值分析代考|Krylov空间方法

$$K_k=\operatorname{span}\left{w, A w, A^2 w, \ldots, A^{k-1} w\right}$$

$w$和$A w$的组合，即一个是$K_2$的元素。我们继续这样做，使$k$ th近似$w_k$是$K_k$的一个元素。由于
$$K_n=\mathbb{R}^n$$
(对于典型的$A$和$w$)，如果存在一个解决方案，那么它似乎在$K_n$中。我们希望在$K_k$中为$k \ll n$找到一个好的近似解，因为在感兴趣的情况下$n$将非常大(而$A$将是稀疏的)。

$$K_k=\operatorname{span}\left{b, A b, A^2 b, \ldots, A^{k-1} b\right} .$$

$$V_k=w_0+K_k$$
，这意味着$V_h$是所有形式为$w_0+w$的向量的集合，其中$w_0$是初始猜测，$w$是$K_k$的任意元素。(通常我们使用$w_0=0$，在这种情况下是$V_k=K_k$。)我们说$V_k$是一个仿射空间，这意味着一个由特定向量(这里是$w_0$)移位的向量空间。请注意，如果$w_0 \notin K_k$，那么$V_k$不是一个向量空间

## 有限元方法代写

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## MATLAB代写

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