数学代写|数值分析代写numerical analysis代考|MA1020

2022年10月10日

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数值分析是数学的一个分支,使用数字近似法解决连续问题。它涉及到设计能给出近似但精确的数字解决方案的方法,这在精确解决方案不可能或计算成本过高的情况下很有用。

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  • Longitudinal Data Analysis 纵向数据分析
  • Foundations of Data Science 数据科学基础
数学代写|数值分析代写numerical analysis代考|MA1020

数学代写|数值分析代写numerical analysis代考|Preconditioning

Iterative improvement is one way in which we can prime an iterative method using the ideas of the Jacobi iteration
$$
x^{k+1}=-D^{-1}(U+L) x^k+D^{-1} b
$$
or the Gauss-Seidel iteration
$$
x^{k+1}=-(L+D)^{-1} U x^k+(L+D)^{-1} b
$$
(where $A=U+L+D) \mathrm{R}$. However, there is another way that is standard nowadays (and is an area of active research): Preconditioning, where we take a linear system $A x=b$ and modify it to an equivalent system of the form
$$
M_1 A M_2 y=\tilde{b}
$$
(where $y=M_2^{-1} x$ and $\tilde{b}=M_1 b$ ) for which
$$
\kappa\left(M_1 A M_2\right)<<\kappa(A)
$$
so that $M_1 A M_2$ is significantly better conditioned than $A$ itself ${ }^5$. We refer to $M_1$ as a left preconditioner and $M_2$ as a right preconditioner. If the costs involved in finding and using $M_1$ and $M_2$ are not too severe compared to what is gained from the reduction in the condition number, this can be very beneficial.

Preconditioning followed by an iterative method is the standard approach for large sparse linear systems. In fact, an iteration or two of Jacobi or Gauss-Seidel iteration followed by iterative improvement (see Sec. 3.3) is often considered an example of this approach, with the Jacobi or Gauss-Seidel iteration being roughly like a form of preconditioning.

In some cases it is important to use both a right preconditioner and a left preconditioner; for example, if $A$ is positive definite then $M_1 A$ may not be but $M_1 A M_2$ can be made to be positive definite, and this is likely to be desirable.

数学代写|数值分析代写numerical analysis代考|Krylov Space Methods

Many iterative methods for solving linear systems $A x=b$ and for finding eigenvalues and eigenvectors of a matrix $A$ are based on the Krylov space
$$
K_k=\operatorname{span}\left{w, A w, A^2 w, \ldots, A^{k-1} w\right}
$$
associated with $A$ and a given vector $w$, which is a subspace of $\mathbb{R}^n$. We call it the Krylov subspace generated by $A$ and $w$. We’ll focus on using it for the solution of linear systems rather than eigenvalue problems. The general idea is this: Given the linear system $A x=b$ we first try to find an approximate solution $w_1$ that is a multiple of $w$. We then look for a better approximate solution $w_2$ that was a linear

combination of $w$ and $A w$, that is, one that is an element of $K_2$. We continue in this way, so that the $k$ th approximation $w_k$ is an element of $K_k$. Since
$$
K_n=\mathbb{R}^n
$$
(for a typical $A$ and $w$ ) it appears that if a solution exists, then it is in $K_n$. We hope to find a good approximate solution in $K_k$ for $k \ll n$ because in the cases of interest $n$ will be very large (and $A$ will be sparse).

There are many ways to build such a method. The typical choice for $w$ is either $b$ or the residual $b-A w_0$ for some initial guess $w_0$. We’ll look at a method that uses $w=b$, so that Eq. (5.1) becomes
$$
K_k=\operatorname{span}\left{b, A b, A^2 b, \ldots, A^{k-1} b\right} .
$$
Choose an initial guess $w_0$ as to the solution of $A x=b$. Then define
$$
V_k=w_0+K_k
$$
by which we mean that $V_h$ is the set of all vectors of the form $w_0+w$, where $w_0$ is the initial guess and $w$ is any element of $K_k$. (Frequently we take $w_0=0$, in which case $V_k=K_k$.) We say that $V_k$ is an affine space, meaning a vector space shifted by a particular vector (here, $w_0$ ). Note that if $w_0 \notin K_k$ then $V_k$ is not a vector space.

数学代写|数值分析代写numerical analysis代考|MA1020

数值分析代考

数学代写|数值分析代写数值分析代考|预处理


迭代改进是一种方法,我们可以使用Jacobi迭代
$$
x^{k+1}=-D^{-1}(U+L) x^k+D^{-1} b
$$
或Gauss-Seidel迭代
$$
x^{k+1}=-(L+D)^{-1} U x^k+(L+D)^{-1} b
$$
(其中$A=U+L+D) \mathrm{R}$。然而,现在还有另一种标准的方法(也是一个活跃的研究领域):预处理,我们取一个线性系统$A x=b$,并将其修改为一个等价的系统,形式为
$$
M_1 A M_2 y=\tilde{b}
$$
(其中$y=M_2^{-1} x$和$\tilde{b}=M_1 b$),其中
$$
\kappa\left(M_1 A M_2\right)<<\kappa(A)
$$
,因此$M_1 A M_2$明显优于$A$本身${ }^5$。我们将$M_1$作为左侧预处理条件,将$M_2$作为右侧预处理条件。如果发现和使用$M_1$和$M_2$所涉及的成本与减少条件数量所获得的成本相比不是太严重,那么这将是非常有益的


预处理后的迭代方法是大型稀疏线性系统的标准方法。事实上,一两次Jacobi或Gauss-Seidel迭代之后的迭代改进(见第3.3节)通常被认为是这种方法的一个例子,其中Jacobi或Gauss-Seidel迭代大致类似于一种形式的预处理


在某些情况下,同时使用右侧预处理器和左侧预处理器是很重要的;例如,如果$A$是正定的,那么$M_1 A$可能不是,但$M_1 A M_2$可以是正定的,这可能是可取的。

数学代写|数值分析代写数值分析代考|Krylov空间方法


求解线性系统$A x=b$和寻找矩阵$A$的特征值和特征向量的许多迭代方法都是基于Krylov空间
$$
K_k=\operatorname{span}\left{w, A w, A^2 w, \ldots, A^{k-1} w\right}
$$
与$A$和一个给定向量$w$相关,是$\mathbb{R}^n$的一个子空间。我们称其为$A$和$w$生成的Krylov子空间。我们将专注于用它来解决线性系统而不是特征值问题。大致思路是这样的:给定线性系统$A x=b$,我们首先试图找到一个近似解$w_1$,它是$w$的倍数。然后我们寻找一个更好的近似解$w_2$,它是一个线性

$w$和$A w$的组合,即一个是$K_2$的元素。我们继续这样做,使$k$ th近似$w_k$是$K_k$的一个元素。由于
$$
K_n=\mathbb{R}^n
$$
(对于典型的$A$和$w$),如果存在一个解决方案,那么它似乎在$K_n$中。我们希望在$K_k$中为$k \ll n$找到一个好的近似解,因为在感兴趣的情况下$n$将非常大(而$A$将是稀疏的)。


有很多方法可以构建这样的方法。$w$的典型选择要么是$b$,要么是一些初始猜测$w_0$的剩余$b-A w_0$。我们来看一种使用$w=b$的方法,使式(5.1)变为
$$
K_k=\operatorname{span}\left{b, A b, A^2 b, \ldots, A^{k-1} b\right} .
$$
对$A x=b$的解选择一个初始猜测$w_0$。然后定义
$$
V_k=w_0+K_k
$$
,这意味着$V_h$是所有形式为$w_0+w$的向量的集合,其中$w_0$是初始猜测,$w$是$K_k$的任意元素。(通常我们使用$w_0=0$,在这种情况下是$V_k=K_k$。)我们说$V_k$是一个仿射空间,这意味着一个由特定向量(这里是$w_0$)移位的向量空间。请注意,如果$w_0 \notin K_k$,那么$V_k$不是一个向量空间

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金融工程代写

金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题,以及设计新的和创新的金融产品。

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法,其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型;这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型(GLM)归属统计学领域,是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语 广义线性模型(GLM)通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归,以及方差分析和方差分析(仅含固定效应)。

有限元方法代写

有限元方法(FEM)是一种流行的方法,用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法,用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程(即一些边界值问题)。为了解决一个问题,有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分,称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的,它是通过构建对象的网格来实现的:用于求解的数值域,它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统,以模拟整个问题。然后,有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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随机分析代写


随机微积分是数学的一个分支,对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。

时间序列分析代写

随机过程,是依赖于参数的一组随机变量的全体,参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现,其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值(如1秒,5分钟,12小时,7天,1年),因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中,往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录,以得到其自身发展的规律。

回归分析代写

多元回归分析渐进(Multiple Regression Analysis Asymptotics)属于计量经济学领域,主要是一种数学上的统计分析方法,可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系,在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中,其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括:数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发,包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统,其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题,尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题,而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问,这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展,得到了许多用户的投入。在大学环境中,它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域,MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要,工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数(M 文件)的综合集合,可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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