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复分析是一个从复数到复数的函数。换句话说，它是一个以复数的一个子集为域，以复数为子域的函数。复数函数通常应该有一个包含复数平面的非空开放子集的域。

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数学代写|复分析作业代写Complex function代考|Examples of Laurent Expansions

In this section we consider several examples which illustrate techniques for calculating Laurent expansions. First, some terminology: When $f$ has a pole at $P$, it is customary to call the negative power part of the Laurent expansion of $f$ around $P$ the principal part of $f$ at $P$. That is, if
$$
f(z)=\sum_{j=-k}^{\infty} a_{j}(z-P)^{j}
$$
for $z$ near $P$, then the principal part of $f$ at $P$ is
$$
\sum_{j=-k}^{-1} a_{j}(z-P)^{j} \text {. }
$$
Next, we give an algorithm for calculating the coefficients of the Laurent expansion:

Proposition 4.4.1. Let $f$ be holomorphic on $D(P, r) \backslash{P}$ and suppose that $f$ has a pole of order $k$ at $P$. Then the Laurent series coefficients $a_{j}$ of $f$ expanded about the point $P$, for $j=-k,-k+1,-k+2, \ldots$, are given by the formula
$$
a_{j}=\left.\frac{1}{(k+j) !}\left(\frac{\partial}{\partial z}\right)^{k+j}\left((z-P)^{k} \cdot f\right)\right|_{z=P} .
$$
Proof. This is just a direct calculation with the Laurent expansion of $f$ and is left as an exercise (Exercise 29) for you.

数学代写|复分析作业代写Complex function代考|The Calculus of Residues

In the previous section we focused special attention on functions that were holomorphic on punctured discs, that is, on sets of the form $D(P, r) \backslash{P}$. The terminology for this situation was to say that $f: D(P, r) \backslash{P} \rightarrow$ $\mathbb{C}$ had an isolated singularity at $P$. It turns out to be useful, especially in evaluating various types of integrals, to consider functions which have more than one “singularity” in this same informal sense. More precisely, we want to consider the following general question: Suppose that $f: U \backslash$ $\left{P_{1}, P_{2}, \ldots, P_{n}\right} \rightarrow \mathbb{C}$ is a holomorphic function on an open set $U \subseteq \mathbb{C}$ with finitely many distinct points $P_{1}, P_{2}, \ldots, P_{n}$ removed. Suppose further that $\gamma:[0,1] \rightarrow U \backslash\left{P_{1}, P_{2}, \ldots, P_{n}\right}$ is a piecewise $C^{1}$ closed curve. Then how is $\oint_{\gamma} f$ related to the behavior of $f$ near the points $P_{1}, P_{2}, \ldots, P_{n}$ ?

The first step is naturally to restrict our attention to open sets $U$ for which $\oint_{\gamma} f$ is necessarily 0 if $P_{1}, P_{2}, \ldots P_{n}$ are removable singularities of $f$. Without this restriction we cannot expect our question to have any reasonable answer. We thus introduce the following definition:

Definition 4.5.1. An open set $U \subseteq \mathbb{C}$ is holomorphically simply connected (abbreviated h.s.c.) if $U$ is connected and if, for each holomorphic function $f: U \rightarrow \mathbb{C}$, there is a holomorphic function $F: U \rightarrow \mathbb{C}$ such that $F^{\prime} \equiv f$.
The connectedness of $U$ is assumed just for convenience. The important part of the definition is the existence of holomorphic antiderivatives $F$ for each holomorphic $f$ on $U$. The following statement is a consequence of our earlier work on complex line integrals.

复分析代写

数学代写|复分析作业代写Complex function代考|Examples of Laurent Expansions

在本节中，我们考虞几个示例来说明计算 Laurent 展开的技术。首先，一些术语: 当 $f$ 有一 个极点 $P$ ，习性上称的 Laurent 展开的负葛部分 $f$ 大约 $P$ 的主要部分 $f$ 在 $P$. 也就是说，如果
$$
f(z)=\sum_{j=-k}^{\infty} a_{j}(z-P)^{j}
$$
为了 $z$ 靠近 $P$. 那么主要部分 $f$ 在 $P$ 是
$$
\sum_{j=-k}^{-1} a_{j}(z-P)^{j}
$$
接下来，我们给出一个计算洛朗展开䒺数的算法:
提案 4.4.1。让 $f$ 全纯 $D(P, r) \backslash P$ 并假设 $f$ 有秩序的极点 $k$ 在 $P$. 然后是 Laurent 级数宗数 $a_{j}$ 的 $f$ 关于这一点展开 $P$ ，为了 $j=-k,-k+1,-k+2, \ldots$ 由公式给出
$$
a_{j}=\left.\frac{1}{(k+j) !}\left(\frac{\partial}{\partial z}\right)^{k+j}\left((z-P)^{k} \cdot f\right)\right|_{z=P} \text {. }
$$
证明。这只是用 Laurent 展开的直接计算 $f$ 并留给您作为练习（练习 29)。

数学代写|复分析作业代写Complex function代考|The Calculus of Residues

在上一节中，我们特别关注了穿孔圆盘上的全纯函数，即形式的隹合 $D(P, r) \backslash P$. 这种情况 的术语是说 $f: D(P, r) \backslash P \rightarrow \mathbb{C}$ 有一个孤立的奇点 $P$. 事实证明，在同样的非正式意义上 考虑具有多个“奇点”的函数是有用的，特别是在评估各种类型的积分时。更准确地说，我们 要考虑以下一般问题: 假设 $f: U \backslash$
left{P_{1}, P_{2}, Vdots, P_{n}}right } \rightarrow \mathbb{C} 是开集上的全纯函数 $U \subseteq \mathbb{C}$ 具有 有限多个不同点 $P_{1}, P_{2}, \ldots, P_{n}$ 删除。进一步假设 线。那么怎么样 $\oint_{\gamma} f$ 与行为有关 $f$ 靠近点 $P_{1}, P_{2}, \ldots, P_{n}$ ?
第一步自然是将我们的注意力限制在开堆上 $U$ 为此 $\oint_{\gamma} f$ 一定是 0 如果 $P_{1}, P_{2}, \ldots P_{n}$ 是可移 除的奇点 $f$. 没有这个限制，我们不能期望我们的问题有任何合理的答案。因此，我们引入以 下定义:
定义 4.5.1。开隹 $U \subseteq \mathbb{C}$ 是全纯简单连接的 (縮写为 hsc) 如果 $U$ 是连通的，如果，对于每 个全纯函数 $f: U \rightarrow \mathbb{C}$, 有一个全纯函数 $F: U \rightarrow \mathbb{C}$ 这样 $F^{\prime} \equiv f$.
的连通性 $U$ 假设只是为了方便。定义的重要部分是全纯反衍生物的存在 $F$ 对于每个全纯 $f$ 上 $U$. 以下陈述是我们早期对复线积分所做的工作的结果。

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金融工程代写

金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题，以及设计新的和创新的金融产品。

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语 广义线性模型（GLM）通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归，以及方差分析和方差分析（仅含固定效应）。

有限元方法代写

有限元方法（FEM）是一种流行的方法，用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法，用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程（即一些边界值问题）。为了解决一个问题，有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分，称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的，它是通过构建对象的网格来实现的：用于求解的数值域，它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统，以模拟整个问题。然后，有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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随机分析代写

随机微积分是数学的一个分支，对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。

时间序列分析代写

随机过程，是依赖于参数的一组随机变量的全体，参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现，其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值（如1秒，5分钟，12小时，7天，1年），因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中，往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录，以得到其自身发展的规律。

回归分析代写

多元回归分析渐进（Multiple Regression Analysis Asymptotics）属于计量经济学领域，主要是一种数学上的统计分析方法，可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系，在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。