如果你也在 怎样代写交换代数Commutative Algebra 这个学科遇到相关的难题，请随时右上角联系我们的24/7代写客服。交换代数Commutative Algebra是计划的局部研究中的主要技术工具。对不一定是换元的环的研究被称为非换元代数；它包括环理论、表示理论和巴拿赫代数的理论。

交换代数Commutative Algebra换元代数本质上是对代数数论和代数几何中出现的环的研究。在代数理论中，代数整数的环是Dedekind环，因此它构成了一类重要的换元环。与模块化算术有关的考虑导致了估值环的概念。代数场扩展对子环的限制导致了积分扩展和积分封闭域的概念，以及估值环扩展的公理化概念。

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数学代写|交换代数代写commutative algebra代考|Finitely Presented Ideals

Consider a ring $\mathbf{A}$ and a generator set $\left(a_1, \ldots, a_n\right)=(a)$ for a finitely generated ideal $\mathfrak{a}$ of $\mathbf{A}$. We are interested in the $\mathbf{A}$-module structure of $\mathfrak{a}$.

Trivial Syzygies
Among the syzygies between the $a_i$ ‘s there are what we call the trivial syzygies (or trivial relators if we see them as algebraic dependence relations over $\mathbf{k}$ when $\mathbf{A}$ is a k-algebra):
$$
a_i a_j-a_j a_i=0 \text { for } i \neq j \text {. }
$$
If $\mathfrak{a}$ is finitely presented, we can always take a presentation matrix of $\mathfrak{a}$ for the generator set $(a)$ in the form
$$
W=\left[R_{a} \mid U\right]
$$
where $R_{a}$ is “the” $n \times n(n-1) / 2$ matrix of trivial syzygies (the order of the columns is without importance). For example, for $n=4$
$$
R_{a}=\left[\begin{array}{cccccc}
a_2 & a_3 & 0 & a_4 & 0 & 0 \
-a_1 & 0 & a_3 & 0 & a_4 & 0 \
0 & -a_1 & -a_2 & 0 & 0 & a_4 \
0 & 0 & 0 & -a_1 & -a_2 & -a_3
\end{array}\right]
$$

数学代写|交换代数代写commutative algebra代考|Regular Sequences

2.3 Definition A sequence $\left(a_1, \ldots, a_k\right)$ in a ring $\mathbf{A}$ is regular if each $a_i$ is regular in the ring $\mathbf{A} /\left\langle a_j ; j<i\right\rangle$.

Remark Here we have kept Bourbaki’s definition. Most authors also require that the ideal $\left\langle a_1, \ldots, a_k\right\rangle$ does not contain 1 .

As a first example, for every ring $\mathbf{k}$, the sequence $\left(X_1, \ldots, X_k\right)$ is regular in $\mathbf{k}\left[X_1, \ldots, X_k\right]$.

Our goal is to show that an ideal generated by a regular sequence is a finitely presented module.
We first establish a small lemma and a proposition.
Recall that a matrix $M=\left(m_{i j}\right) \in \mathbb{M}n(\mathbf{A})$ is said to be alternating if it is the matrix of an alternating bilinear form, i.e. $m{i i}=0$ and $m_{i j}+m_{j i}=0$ for $i, j \in \llbracket 1 . . n \rrbracket$.
The A-module of alternating matrices is free and of rank $\frac{n(n-1)}{2}$ and admits a natural basis. For example, for $n=3$,
$$
\left[\begin{array}{rrr}
0 & a & b \
-a & 0 & c \
-b & -c & 0
\end{array}\right]=a\left[\begin{array}{rrr}
0 & 1 & 0 \
-1 & 0 & 0 \
0 & 0 & 0
\end{array}\right]+b\left[\begin{array}{rrr}
0 & 0 & 1 \
0 & 0 & 0 \
-1 & 0 & 0
\end{array}\right]+c\left[\begin{array}{rrr}
0 & 0 & 0 \
0 & 0 & 1 \
0 & -1 & 0
\end{array}\right] .
$$

交换代数代考

数学代写|交换代数代写commutative algebra代考|Finitely Presented Ideals

考虑一个环$\mathbf{A}$和一个发电机组$\left(a_1, \ldots, a_n\right)=(a)$对于一个有限生成的理想$\mathfrak{a}$$\mathbf{A}$。我们对$\mathfrak{a}$的$\mathbf{A}$ -模块结构感兴趣。

琐碎的Syzygies
在$a_i$之间的协同中，我们称之为平凡的协同(或平凡的关系，如果我们把它们看作是$\mathbf{k}$上的代数依赖关系，当$\mathbf{A}$是一个k代数时):
$$
a_i a_j-a_j a_i=0 \text { for } i \neq j \text {. }
$$
如果$\mathfrak{a}$是有限表示的，我们总是可以取发电机组$(a)$的表示矩阵$\mathfrak{a}$的形式
$$
W=\left[R_{a} \mid U\right]
$$
其中$R_{a}$是“微不足道的”$n \times n(n-1) / 2$矩阵(列的顺序不重要)。例如，对于 $n=4$
$$
R_{a}=\left[\begin{array}{cccccc}
a_2 & a_3 & 0 & a_4 & 0 & 0 \
-a_1 & 0 & a_3 & 0 & a_4 & 0 \
0 & -a_1 & -a_2 & 0 & 0 & a_4 \
0 & 0 & 0 & -a_1 & -a_2 & -a_3
\end{array}\right]
$$

数学代写|交换代数代写commutative algebra代考|Regular Sequences

2.3定义A序列 $\left(a_1, \ldots, a_k\right)$ 在擂台上 $\mathbf{A}$ 是有规律的 $a_i$ 是拳击场上的常客吗 $\mathbf{A} /\left\langle a_j ; j<i\right\rangle$．

注:这里我们保留了布尔巴基的定义。大多数作者还要求理想的$\left\langle a_1, \ldots, a_k\right\rangle$不包含1。

作为第一个例子，对于每个环$\mathbf{k}$, $\mathbf{k}\left[X_1, \ldots, X_k\right]$中的序列$\left(X_1, \ldots, X_k\right)$是规则的。

我们的目标是证明由正则序列生成的理想是一个有限呈现的模块。
我们首先建立一个小引理和一个命题。
回想一下，如果矩阵$M=\left(m_{i j}\right) \in \mathbb{M}n(\mathbf{A})$是交替双线性形式的矩阵，则称其为交替矩阵，即$i, j \in \llbracket 1 . . n \rrbracket$的$m{i i}=0$和$m_{i j}+m_{j i}=0$。
交替矩阵的a模是自由的，秩为$\frac{n(n-1)}{2}$，并有一个自然基。例如，对于$n=3$，
$$
\left[\begin{array}{rrr}
0 & a & b \
-a & 0 & c \
-b & -c & 0
\end{array}\right]=a\left[\begin{array}{rrr}
0 & 1 & 0 \
-1 & 0 & 0 \
0 & 0 & 0
\end{array}\right]+b\left[\begin{array}{rrr}
0 & 0 & 1 \
0 & 0 & 0 \
-1 & 0 & 0
\end{array}\right]+c\left[\begin{array}{rrr}
0 & 0 & 0 \
0 & 0 & 1 \
0 & -1 & 0
\end{array}\right] .
$$

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