# 英国补考|随机过程统计代写Stochastic process statistics代考|STAT3021

#### Doug I. Jones

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## 英国补考|随机过程统计代写Stochastic process statistics代考|Transience and recurrence

In Section $5.2$ we used Wald’s identities to obtain the distribution of a $\mathrm{BM}^{1}$ when exiting from the interval $(-a, b)$, cf. Corollary 5.11. Without much effort we can extend this to continuous martingales.
6.14 Corollary. Let $\left(M_{t}^{x}, \mathcal{F}{t}\right){t \geqslant 0}$ be a real-valued martingale with continuous paths and $M_{0}=x \in \mathbb{R}$ a.s. If the first exit time $\tau=\tau_{(r, R) \text { c }}$ from the interval $(r, R), r<R$, is a.s. finite, then we have for all $x \in(r, R)$
$$\mathbb{P}\left(M_{\tau}^{x}=r\right)=\frac{R-x}{R-r} \text { and } \mathbb{P}\left(M_{\tau}^{x}=R\right)=\frac{x-r}{R-r}$$
If we combine Corollary 6.14 with Theorem $5.6$ for a suitable function $f$ we obtain the exit probabilities of a $\mathrm{BM}^{d}$ from an annulus $\mathbb{B}(0, R) \backslash \mathbb{B}(0, r)$.
6.15 Theorem. Let $\left(B_{t}, \mathcal{F}{t}\right){t \geqslant 0}$ be a Brownian motion with right-continuous filtration, $r<R$ and denote by $\tau_{\mathbb{B}(0, r)}$ and $\tau_{\mathbb{B}^{c}(0, R)}$ the first hitting times of the sets $\mathbb{B}(0, r)$ and $\mathbb{B}^{c}(0, R)$. Then, for all $r<|x|<R$,
$$\mathbb{P}^{x}\left(\tau_{\mathrm{B}(0, r)}<\tau_{\mathrm{B}^{c}(0, R)}\right)= \begin{cases}\frac{R-|x|}{R-r}, & \text { if } d=1, \ \frac{\log R-\log |x|}{\log R-\log r}, & \text { if } d=2, \ \frac{R^{2-d}-|x|^{2-d}}{R^{2-d}-r^{2-d}}, & \text { if } d \geqslant 3\end{cases}$$

## 英国补考|随机过程统计代写Stochastic process statistics代考|Lévy’s triple law

In this section we show how we can apply the reflection principle repeatedly to obtain for a $\mathrm{BM}^{1},\left(B_{t}\right){t \geqslant 0}$, the joint distribution of $B{t}$, the running minimum $m_{t}=\inf {s \leqslant t} B{s}$ and maximum $M_{t}=\sup {s \leqslant t} B{s}$. This is known as P. Lévy’s loi à trois variables, [121, VI. $42.6,4^{\circ}$, p. 213]. In a different context this formula appears already in Bachelier $[5$, Nos. 413 and 504].
6.18 Theorem (Lévy 1948). Let $\left(B_{t}\right){t \geqslant 0}$ be a $\mathrm{BM}^{1}$ and denote by $m{t}$ and $M_{t}$ its running minimum and maximum respectively. Then
\begin{aligned} &\mathbb{P}\left(m_{t}>a, M_{t}0 and a<0t}=\left{m_{t}>a, M_{t}a, M_{t}t, B_{t} \in I\right) \ &=\mathbb{P}\left(B_{t} \in I\right)-\mathbb{P}\left(\tau \leqslant t, B_{t} \in I\right) \ &=\mathbb{P}\left(B_{t} \in I\right)-\mathbb{P}\left(B_{\tau}=a, \tau \leqslant t, B_{t} \in I\right)-\mathbb{P}\left(B_{\tau}=b, \tau \leqslant t, B_{t} \in I\right) . \end{aligned}

# 随机过程统计代考

## 英国补考|随机过程统计代写Stochastic process statistics代考|Transience and recurrence

6.14 推论。让 $\left(M_{t}^{x}, \mathcal{F} t\right) t \geqslant 0$ 是具有连紶路径的实值鞅，并且 $M_{0}=x \in \mathbb{R}$ 好像第一次 退出时间 $\tau=\tau_{(r, R) \mathrm{c}}$ 从 从区间 $(r, R), r<R$, 是有限的，那么我们对所有人都有 $x \in(r, R)$
$$\mathbb{P}\left(M_{\tau}^{x}=r\right)=\frac{R-x}{R-r} \text { and } \mathbb{P}\left(M_{\tau}^{x}=R\right)=\frac{x-r}{R-r}$$

6.15 定理。让 $\left(B_{t}, \mathcal{F} t\right) t \geqslant 0$ 是具有右连续滤波的布朗运动， $r<R$ 并表示为 $\tau_{\mathbb{B}}(0, r)$ 和 $\tau_{\mathbb{B}^{c}}(0, R)$ 套数的第一次击球次数 $\mathbb{B}(0, r)$ 和 $\mathbb{B}^{c}(0, R)$. 那么，对于所有人 $r<|x|<R$ ， $\mathbb{P}^{x}\left(\tau_{\mathrm{B}(0, r)}<\tau_{\mathrm{B}^{c}(0, R)}\right)=\left{\frac{R-|x|}{R-r}, \quad\right.$ if $d=1, \frac{\log R-\log |x|}{\log R-\log r}, \quad$ if $d=2, \frac{R^{2-d}-|x|^{2-d}}{R^{2-d}-r^{2-d}},$,

## 英国补考|随机过程统计代写Stochastic process statistics代考|Lévy’s triple law

$6.18$ 定理 (Lévy 1948) 。让 $\left(B_{t}\right) t \geqslant 0$ 做一个 $\mathrm{BM}^{1}$ 并表示为 $m t$ 和 $M_{t}$ 它的运行最小值 和最大值分别。然后 $\$ \

## 有限元方法代写

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## MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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