# 统计代写|贝叶斯网络代写Bayesian network代考|BNP 2022

#### Doug I. Jones

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## 统计代写|贝叶斯网络代写Bayesian network代考|Conditional Independence and Graphical Separation

BNs are a class of graphical models, which allow an intuitive representation of the probabilistic structure of multivariate data using graphs. We introduced them in Chapter 1 as the combination of:

• A set of random variables $X={X 1, X 2, \ldots, X p}$ describing the quantities of interest. The multivariate probability distribution of $\mathbf{X}$ is called the global distribution of the data, while the univariate distributions associated with the $\mathrm{Xi} \in \mathrm{X}$ are called local distributions.
• A directed acyclic graph (DAG), denoted $\mathrm{G}=(\mathrm{V}, \mathrm{A})$. Each node $\mathrm{v} \in \mathrm{V}$ is associated with one variable $X_{i}$. The directed arcs a€A that connect them represent direct probabilistic dependencies; so if there is no arc connecting two nodes the corresponding variables are either independent or conditionally independent given a subset of the remaining variables.
The link between the graphical separation (denoted $\Perp_{G}$ ) induced by the absence of a particular arc and probabilistic independence (denoted $\mathrm{H}_{\mathrm{P}}$ ) provides a direct and easily interpretable way to express the relationships between the variables. Following the seminal work of Pearl (1988), we distinguish three possible ways in which the former maps to the latter.

Definition $6.1$ (Maps) Let $M$ be the dependence structure of the probability distribution $P$ of $X$, that is, the set of conditional independence relationships linking any triplet $\mathbf{A}, \mathbf{B}, \mathbf{C}$ of subsets of $\mathbf{X}$. A graph $G$ is a dependency map (or D-map) of $M$ if there is a one-to-one correspondence between the random variables in $\mathbf{X}$ and the nodes $\mathbf{V}$ of $G$ such that for all disjoint subsets $\mathbf{A}, \mathbf{B}, \mathbf{C}$ of $\mathbf{X}$ we have $\mathrm{A} \Perp \mathrm{PB} \mid \mathrm{C} \Rightarrow \mathrm{A} \mathbb{I}_{\mathrm{GB} \mid \mathrm{C} .}$. (6.1)
Similarly, $G$ is an independency map (or l-map) of $M$ if
$\mathrm{A} \Perp \mathrm{P} \mathrm{PB}|\mathrm{C} \neq \mathrm{A} \Perp \mathrm{H} \mathrm{GB}| \mathrm{C} .(6.2)$
$G$ is said to be a perfect map of $M$ if it is both a D-map and I-map, that is
$\mathrm{A} \Perp \mathrm{PBIC} \Leftrightarrow \mathrm{A}$ 픈 $\mathrm{GB},(6.3)$
and in this case $G$ is said to be faithful or isomorphic to $M$.

## 统计代写|贝叶斯网络代写Bayesian network代考|Bayesian Networks

Having defined a criterion to determine whether two nodes are connected or not, and how to map those connections (or the lack thereof) to the probability distribution of $\mathbf{X}$. we are now ready to formally define BNs.

Definition $6.3$ (BNs) Given a probability distribution $P$ on a set of variables $\mathrm{X}$, a $D A G \mathrm{G}=(\mathrm{X}, \mathrm{A})$ is called a BN and denoted $\mathrm{B}=(\mathrm{G}, \mathrm{X})$ if and only if $G$ is a minimal I-map of $P$, so that none of its arcs can be removed without destroying its l-mapness.

This definition highlights two fundamental properties of BNs. First, assuming that $\mathrm{G}$ is an I-map leads to the general formulation of the decomposition of the global distribution $\operatorname{Pr}(X)$ introduced in Equation (1.1) on page 7:
$\operatorname{Pr}(X)=\Pi i=1 \mathrm{pPr} \quad(\mathrm{Xi} \mid \Pi \mathrm{Xi}),(6.4)$
where $\Pi \mathrm{Xi}$ is the set of the parents of $X$. If $X$ has two or more parents it depends on their joint distribution, because each pair of parents forms a convergent connection centred on $X$ and we cannot establish their independence. This decomposition is preferable to that obtained from the chain rule, Pr $(\mathrm{X})=\prod \mathrm{i}=1 \mathrm{pPr} \quad(\mathrm{Xi} \mid \mathrm{Xi}+1, \ldots, \mathrm{Xp})(6.5)$
because the conditioning sets are typically smaller. Only when the ordering of the variables is topological the chain rule simplifies to the decomposition in Equation (6.4). In the general case it is more difficult to write, even for the simple discrete and Gaussian BNs presented in Chapters 1 and $2$.

# 贝叶斯网络代考

## 统计代写|贝叶斯网络代写Bayesian network代考|Conditional Independence and Graphical Separation

BN 是一类图形模型，它允许使用图形直观地表示多元数据的概率结构。我们在第 1 章中将 它们介绍为以下各项的组合:

• 一组随机变量 $X=X 1, X 2, \ldots, X p$ 描述感兴趣的数量。的多元概率分布 $\mathbf{X}$ 称 为数据的全局分布，而与数据相关的单变量分布 $\mathrm{Xi} \in \mathrm{X}$ 称为局部分布。
• 有向无环图 (DAG), 表示为 $\mathrm{G}=(\mathrm{V}, \mathrm{A})$. 每个节点 $\mathrm{v} \in \mathrm{V}$ 与一个变量相关联 $X_{i}$. 连接它们的有向弧 $a € A$ 表示直接的概率依赖关系; 因此，如果没有连接两个节点 的弧，则在给定剩余变量的子集的情况下，相应的变量要么是独立的，要么是条件 独立的。
图形分离之间的联系 (表示为 $\backslash \mathrm{Perp}{G}$ ) 由缺乏特定弧和概率独立性 (表示为 $\mathrm{H}{\mathrm{P}}$ ) 提供了一种直接且易于解释的方式来表达变量之间的关系。根据 Pearl (1988) 的开 创性工作，我们区分了前者映射到后者的三种可能方式。
定义6.1 (地图) 让 $M$ 是概率分布的依赖结构 $P$ 的 $X$ ，即连接任意三元组的条件独立关系集 $\mathbf{A}, \mathbf{B}, \mathbf{C}$ 的子集 $\mathbf{X}$. 图表 $G$ 是一个依赖图（或 D-map） $M$ 如果随机变量之间存在一一对应 关系 $\mathbf{X}$ 和节点 $\mathbf{V}$ 的 $G$ 这样对于所有不相交的子集 $\mathbf{A}, \mathbf{B}, \mathbf{C}$ 的 $\mathbf{X}$ 我们有
$\mathrm{A} \backslash \operatorname{PerpPB} \mid \mathrm{C} \Rightarrow \mathrm{AI}_{\mathrm{GB} \mid \mathrm{C} \cdot \cdot(6.1)}$
同样， $G$ 是一个独立映射 (或 I-map) $M$ 如果
$\mathrm{A} \backslash \mathrm{PerpPPB}|\mathrm{C} \neq \mathrm{A} \backslash \mathrm{PerpHGB}| \mathrm{C}$. (6.2)
$G$ 据说是一张完美的地图 $M$ 如果它既是 D-map 又是 I-map，即
$\mathrm{A} \backslash \mathrm{PerpPBIC} \Leftrightarrow \mathrm{A}$ 打开GB, (6.3)
在这种情况下 $G$ 据说是忠实的或同构的 $M$.

## 统计代写|贝叶斯网络代写Bayesian network代考|Bayesian Networks

$\operatorname{Pr}(X)=\Pi i=1 \mathrm{pPr} \quad(\mathrm{Xi} \mid \Pi \mathrm{Xi}),(6.4)$

## 有限元方法代写

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