# 物理代写|流体力学代写Fluid Mechanics代考|ENGN3224

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To finish, a last simulation is performed using ADM. For this purpose, the slug flow test case $\left(\mathrm{J}{\mathrm{L}}=1.59 \mathrm{~m} \cdot \mathrm{s}^{-1}\right.$ and $\left.\mathrm{J}{\mathrm{G}}=0.127 \mathrm{~m} . \mathrm{s}^{-1}\right)$ is simulated considering only two continuous fields. For this simulation, the ADM order is equal to 3 and reduced close to the walls. A Gaussian filter is used. To model the relaxation term (Schlatter et al. 2004), the dynamic Smagorinsky’s model is applied (Germano et al. 1991). Moreover, a new definition is given for the filtered velocity. Indeed, in the two-fluid model, the velocity of a field $\mathrm{k}$ is defined in the whole domain, even if the field $\mathrm{k}$ is not present in one cell. In such cells, the value of the velocity of field $k$ has no meaning and can be criticized. Thus, the following expression of the velocity is used for the filtering process:
$$\overline{\boldsymbol{u}}{k}^{N E W}=\frac{\overline{\varepsilon{k}^{}} \overline{u_{k}}}{\max \left(\varepsilon_{k}^{}, 110^{-4}\right)}$$
With this expression, the smaller the volume fraction is, the smaller the velocity weight is in the filtering process.

To reconstruct the volume fractions with ADM, a treatment is made to correct the obtained values, such that the reconstructed volume fraction is between 0 and 1, which is not intrinsically ensured by the ADM process. Indeed, the reconstructed volume fraction has the following expression:
$${\overline{\varepsilon_{k}^{*}}}^{A D M}=\sum_{l=0}^{N}\left(I_{d}-G\right)^{l} * \overline{\varepsilon_{k}^{}}$$ where $N$ is the ADM order, $I_{d}$ is the identity matrix, $G$ is the LES filter, and $$is the convolution operator. With this expression, a simple analysis based on the barycenter theory shows that \overline{\varepsilon_{k}^{}} \in[0 ; 1] does not imply that {\overline{\varepsilon_{k}^{}}}^{A D M} \in[0 ; 1]. However, if \sum_{k} \overline{\varepsilon_{k}^{}}=1, then \sum_{k}{\overline{\varepsilon_{k}^{}}}^{A D M}=1. For this purpose, the negative value of \bar{\varepsilon}{k}^{A D M} is multiplied by -1. If {\overline{\varepsilon{k 1}^{}}}^{A D M} is negative, its value is multiplied by -1 and \bar{\varepsilon}{2}^{A D M} is readjusted, such that \overline{\varepsilon{l}^{}}+\overline{\varepsilon_{2}^{*}}=1. This point is a major uncertainty in our implementation of ADM that would require further consideration. Finally, in a first attempt, only \tau_{\text {conv }}, \tau_{\text {superf }} and \tau_{\text {diff }} are modeled. ## 物理代写|流体力学代写Fluid Mechanics代考|Implementation of the new heat flux model To obtain the new heat flux model, the same methodology proposed by Brackbill et al. (1992) for the surface tension force is used. For this purpose,we consider an interface with zero thickness, represented in red in Figure 2.14. For such interfaces, the heat flux expression for the liquid phase is:$$
q_{l}^{S}=\lambda_{l} \nabla T_{l} \cdot \boldsymbol{n}
$$For the demonstration here, only the liquid term is considered. Nevertheless, the same process can be followed to obtain the volume reformulation of the vapor term. As in for the surface tension model, the volume expression of the heat fluxes q_{l}^{V} corresponding to an interface with a thickness equal to h, can be obtained by considering:$$
\lim {h \rightarrow 0} \int{V^{\text {tat }}} q_{l}^{V}(x) d x^{3}=\int_{A^{\text {Iw }}} q_{l}^{S}\left(x^{\operatorname{lnt}}\right) d A
$$where V^{I n t} is the volume of an interface with a thickness equal to h and A^{I n t} is the area of a zero thickness interface. To obtain the expression of q_{l}^{V}(x), the definition of q_{l}^{S}\left(x^{I n t}\right) is used:$$
\begin{aligned}
\int_{A^{\operatorname{lnt}}} q_{l}^{S}\left(x^{I n t}\right) d A &=\int_{V^{\ln t}} q_{l}^{S}(x) \delta\left(\boldsymbol{n}\left(x^{I n t}\right) \cdot\left(x-x^{I n t}\right) d x^{3}\right.\
&=\int_{V^{I n t}} \lambda_{l} \nabla T_{l}(x) \boldsymbol{n}(x) \delta\left(\boldsymbol{n}\left(x^{I n t}\right) \cdot\left(x-x^{I n t}\right) d x^{3}\right.
\end{aligned}
$$where \delta is a Dirac function indicating interface. In Brackbill et al. (1992), the interface is located with a color function C, using a VOF approach. Thus, by introducing the notations of this chapter, we can write the following relation between the color function gradient of the diffused interface and the normal vector \boldsymbol{n} :$$
\lim {h \rightarrow 0} \nabla C(x)=\boldsymbol{n}(x) \delta\left(\boldsymbol{n}\left(x^{i n t}\right) \cdot\left(x-x^{i n t}\right)[C]\right. $$with [C] being the jump of the color function over the interface. Using this expression, we obtain:$$ \int{A^{\ln t}} q_{l}^{S}\left(x^{\operatorname{lnt}}\right) d A=\lim {h \rightarrow 0} \int{V \operatorname{lnt}} \lambda_{l} \nabla T_{l}(x) \frac{\nabla C(x)}{[C]} d x^{3}
$$## 流体力学代写 ## 物理代写|流体力学代写Fluid Mechanics代考|ADM implementation 最后，使用 A D M 执行最后一次模拟。为此, 团状流测试用例 \left(\mathrm{JL}=1.59 \mathrm{~m} \cdot \mathrm{s}^{-1}\right. 和 \mathrm{JG}=0.127 \mathrm{~m} \cdot \mathrm{s}^{-1} ) 双考虑两个连续场进行模拟。对于此模拟， ADM 阶数等于 3 ，并在 靠近墙壁的位置减少。使用高斯滤波器。为了模拟松驰项 (Schlatter et al. 2004)，应用了动 态 Smagorinsky 模型 (Germano et al. 1991)。此外，对滤波后的速度给出了新的定义。实 际上，在二流体模型中，场的速度 \mathrm{k} 在整个域中定义，即使该域k不存在于一个细胞中。在这 样的单元格中，场速的值 k 没有意义，可以批评。因此，以下速度表达式用于过滤过程:$$
\overline{\mathbf{u}} k^{N E W}=\frac{\overline{\varepsilon k} \overline{u_{k}}}{\max \left(\varepsilon_{k}, 110^{-4}\right)}
$$用这个表达式，体积分数越小，过滤过程中的速度权重就越小。 为了用 A D M 重建体积分数，需要对获得的值进行校正，以使重建的体积分数在 0 和 1 之 间，这在 ADM 过程中不能保证。实际上，重建的体积分数具有以下表达式:$$
\overline{\varepsilon_{k}^{*}} A D M=\sum_{l=0}^{N}\left(I_{d}-G\right)^{l} * \overline{\varepsilon_{k}}
$$在䧁里 N 是 ADM 订单， I_{d} 是单位矩阵， G 是 LES 过滤器，\\ 是卷积算子。有了这个表达 式，其于重心理论的简单分析表明 \overline{\varepsilon_{k}} \in[0 ; 1] 并不意味着 \bar{\varepsilon}{k} A D M \in[0 ; 1]. 然而，如果 \sum{k} \overline{\varepsilon_{k}}=1 ，然后 \sum_{k} \overline{\varepsilon_{k}} A D M=1. 得 \bar{\varepsilon} l+\overline{\varepsilon_{2}^{*}}=1. 这一点是我们实施 ADM 的主要不确定性，需要进一步考虑。最后，在第一 次尝试中，只有 \tau_{\text {conv }}, \tau_{\text {superf }} 和 \tau_{\text {diff }} 被建模。 ## 物理代写|流体力学代写Fluid Mechanics代考|Implementation of the new heat flux model 为了获得新的热通量模型，Brackbill 等人提出了相同的方法。(1992) 用于表面张力。为此， 我们考虑一个厚度为零的界面，在图 2.14 中用红色表示。对于此㚐界面，液相的热通量表达 式为:$$
q_{l}^{S}=\lambda_{l} \nabla T_{l} \cdot \boldsymbol{n}
$$对于此处的演示，仅考虑液体项。然而，可以遭循相同的过程来获得蒸汽项的体积重构。与 表面张力模型一样，热通量的体积表达式 q_{l}^{V} 对应于厚度等于的界面 h, 可以通过考虑获得:$$
\lim h \rightarrow 0 \int V^{\mathrm{tat}} q_{l}^{V}(x) d x^{3}=\int_{A^{\mathrm{IW}}} q_{l}^{S}\left(x^{\operatorname{lnt}}\right) d A
$$在哪里 V^{I n t} 是界面的体积，其厚度等于 h 和 A^{\text {Int }} 是零厚度界面的面积。获得表达式 q_{l}^{V}(x), 的定义 q_{l}^{S}\left(x^{I n t}\right) 用来:$$
\int_{A^{\operatorname{lnt}}} q_{l}^{S}\left(x^{I n t}\right) d A=\int_{V^{\ln t}} q_{l}^{S}(x) \delta\left(\boldsymbol{n}\left(x^{I n t}\right) \cdot\left(x-x^{I n t}\right) d x^{3}=\int_{V^{I n t}} \lambda_{l} \nabla T_{l}(x) \boldsymbol{n}(x) \delta\left(\boldsymbol { n } ( x ^ { I n t } ) \cdot \left(x-x^{I n t}\right.\right.\right.
$$在哪里 \delta 是指示界面的狄拉克函数。 在 Brackbill 等人中。 (1992)，界面位于颜色功能 C ，使用VOF方法。因此，通过引入本 章的符号，我们可以写出扩散界面的颜色函数勿度与法向量的关系如下: n :$$
\lim h \rightarrow 0 \nabla C(x)=\boldsymbol{n}(x) \delta\left(\boldsymbol{n}\left(x^{i n t}\right) \cdot\left(x-x^{i n t}\right)[C]\right.
$$和 [C] 是颜色函数在界面上的跳转。使用这个表达式，我们得到:$$
\int A^{\ln t} q_{l}^{S}\left(x^{\operatorname{lnt}}\right) d A=\lim h \rightarrow 0 \int V \operatorname{lnt} \lambda_{l} \nabla T_{l}(x) \frac{\nabla C(x)}{[C]} d x^{3}


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