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流形学习是机器学习的一个流行且快速发展的子领域，它基于一个假设，即一个人的观察数据位于嵌入高维空间的低维流形上。本文介绍了流形学习的数学观点，深入探讨了核学习、谱图理论和微分几何的交叉点。重点放在图和流形之间的显著相互作用上，这构成了流形正则化技术的广泛使用的基础。

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机器学习代写|流形学习代写manifold data learning代考|Density Preserving Maps

Much of the recent work in manifold learning and nonlinear dimensionality reduction focuses on distance-based methods, i.e., methods that aim to preserve the local or global (geodesic) distances between data points on a submanifold of Euclidean space. While this is a promising approach when the data manifold is known to have no intrinsic curvature (which is the case for common examples such as the “Swiss roll”), classical results in Riemannian geometry show that it is impossible to map a $d$-dimensional data manifold with intrinsic curvature into $\mathbb{R}^{d}$ in a manner that preserves distances. Consequently, distance-based methods of dimensionality reduction distort intrinsically curved data spaces, and they often do so in unpredictable ways. In this chapter, we discuss an alternative paradigm of manifold learning. We show that it is possible to perform nonlinear dimensionality reduction by preserving the underlying density of the data, for a much larger class of data manifolds than intrinsically flat ones, and demonstrate a proof-of-concept algorithm demonstrating the promise of this approach.

Visual inspection of data after dimensional reduction to two or three dimensions is among the most common uses of manifold learning and nonlinear dimensionality reduction. Typically, what is sought by the user’s eye in two or three-dimensional plots is clustering and other relationships in the data. Knowledge of the density, in principle, allows one to identify such basic structures as clusters and outliers, and even define nonparametric classifiers; the underlying density of a data set is arguably one of the most fundamental statistical objects that describe it. Thus, a method of dimensionality reduction that is guaranteed to preserve densities may well be preferable to methods that aim to preserve distances, but end up distorting them in uncontrolled ways.

Many of the manifold learning methods require the user to set a neighborhood radius $h$, or, for $k$-nearest neighbor approaches, a positive integer $k$, to be used in determining the neighborhood graph. Most of the time, there is no automatic way to pick the appropriate values of the tweak parameters $h$ and $k$, and one resorts to trial and error, looking for values that result in reasonable-looking plots. Kernel density estimation, one of the most popular and useful methods of estimating the underlying density of a data set, comes with a natural way to choose $h$ or $k$; it suggests to us to pick the value that maximizes a cross-validation score for the density estimate. While the usual kernel density estimation does not allow one to estimate the density of data on submanifolds of Euclidean space, a small modification allows one to do so. This modification and its ramifications are discussed below in the context of density-preserving maps.

机器学习代写|流形学习代写manifold data learning代考|Dimensional Reduction to R

These results were formulated in terms of so-called closed manifolds, i.e., compact manifolds without boundary. The practical dimensionality reduction problem we would like to address, on the other hand, involves starting with a $d$-dimensional data submanifold $M$ of $\mathbb{R}^{D}$ (where $d<D$ ), and dimensionally reducing to $\mathbb{R}^{d}$. In order to be able to do this diffeomorphically, $M$ must be diffeomorphic to a subspace of $\mathbb{R}^{d}$, which is not generally the case for closed manifolds. For instance, although we can find a diffeomorphism from a hemisphere (a manifold with boundary, not a closed manifold) into the plane, we cannot find one from the unit sphere (a closed manifold) into the plane. This is a constraint on all dimensional reduction algorithms that preserve the global topology of the data space, not just density preserving maps. Any algorithm that aims to avoid “tearing” or “folding” the data subspace during the reduction will fail on problems like reducing a sphere to $\mathbb{R}^{2} .5$

Thus, in order to show that density preserving maps into $\mathbb{R}^{d}$ exist for a useful class of $d$-dimensional data manifolds, we have to make sure that the conclusion of Moser’s theorem and our corollary work for certain manifolds with boundary, or for certain non-compact manifolds, as well. Fortunately, this is not so hard, at least for a simple class of manifolds that is enough to be useful. In proving his theorem for closed manifolds, Moser [18] first gives a proof for a single “coordinate patch” in such a manifold, which, basically, defines a compact manifold with boundary minus the boundary itself. Not all $d$-dimensional manifolds with boundary (minus their boundaries) can be given by atlases consisting of a single coordinate patch, but the ones that can be so given cover a wide range of curved Riemannian manifolds, including the hemisphere and the Swiss roll, possibly with punctures. In the following, we will assume that $M$ consists of a single coordinate patch.

流形学习代写

机器学习代写|流形学习代写manifold data learning代考|Density Preserving Maps

最近在流形学习和非线性降维方面的大部分工作都集中在基于距离的方法上，即旨在保持欧几里得空间子流形上数据点之间的局部或全局（测地线）距离的方法。当已知数据流形没有内在曲率时，这是一种很有前途的方法（常见的例子就是“瑞士卷”），黎曼几何中的经典结果表明，不可能映射一个d具有内在曲率的维数据流形Rd以保持距离的方式。因此，基于距离的降维方法扭曲了本质上弯曲的数据空间，并且它们通常以不可预测的方式这样做。在本章中，我们将讨论流形学习的另一种范式。我们展示了通过保留数据的基础密度来执行非线性降维是可能的，对于比本质上平坦的数据流形更大的数据流形类别，并演示了一种概念验证算法，证明了这种方法的前景。

降维到二维或三维后的数据视觉检查是流形学习和非线性降维的最常见用途之一。通常，用户在二维或三维图中寻找的是数据中的聚类和其他关系。原则上，对密度的了解可以让人们识别诸如簇和异常值之类的基本结构，甚至可以定义非参数分类器；数据集的潜在密度可以说是描述它的最基本的统计对象之一。因此，保证保持密度的降维方法可能比旨在保持距离但最终以不受控制的方式扭曲它们的方法更可取。

许多流形学习方法需要用户设置邻域半径H, 或者, 对于ķ-最近邻方法，一个正整数ķ，用于确定邻域图。大多数时候，没有自动的方法来选择调整参数的适当值H和ķ，并且一个人诉诸试验和错误，寻找导致看起来合理的图的值。核密度估计是估计数据集底层密度的最流行和最有用的方法之一，它提供了一种自然的选择方式H或者ķ; 它建议我们选择最大化密度估计的交叉验证分数的值。虽然通常的核密度估计不允许人们估计欧几里得空间子流形上的数据密度，但稍作修改就可以这样做。这种修改及其后果将在下面的密度保持地图的背景下讨论。

机器学习代写|流形学习代写manifold data learning代考|Dimensional Reduction to R

这些结果是用所谓的封闭流形表示的，即没有边界的紧凑流形。另一方面，我们想要解决的实际降维问题涉及从一个d维数据子流形米的RD（在哪里d<D)，并在维度上减少到Rd. 为了能够微分同胚地做到这一点，米必须微分同胚于子空间Rd，这通常不是封闭歧管的情况。例如，虽然我们可以找到从半球（有边界的流形，而不是封闭的流形）到平面的微分同胚，但我们找不到从单位球体（封闭的流形）到平面的微分同胚。这是对保留数据空间全局拓扑的所有降维算法的约束，而不仅仅是保留密度图。任何旨在避免在缩减过程中“撕裂”或“折叠”数据子空间的算法都会在诸如将球体缩减为R2.5

因此，为了表明密度保持映射到Rd存在一个有用的类别d维数据流形，我们必须确保 Moser 定理的结论和我们的推论适用于某些有边界的流形，或者某些非紧流形。幸运的是，这并不难，至少对于一个简单的流形类来说就足够有用了。在证明他的闭流形定理时，Moser [18] 首先给出了这样一个流形中单个“坐标补丁”的证明，它基本上定义了一个紧凑流形，其边界减去边界本身。不是全部d具有边界（减去它们的边界）的维流形可以通过由单个坐标块组成的图集给出，但是可以给出的图集涵盖了广泛的弯曲黎曼流形，包括半球和瑞士卷，可能带有穿孔. 下面，我们假设米由单个坐标补丁组成。

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金融工程代写

金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题，以及设计新的和创新的金融产品。

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语 广义线性模型（GLM）通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归，以及方差分析和方差分析（仅含固定效应）。

有限元方法代写

有限元方法（FEM）是一种流行的方法，用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法，用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程（即一些边界值问题）。为了解决一个问题，有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分，称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的，它是通过构建对象的网格来实现的：用于求解的数值域，它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统，以模拟整个问题。然后，有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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随机分析代写

随机微积分是数学的一个分支，对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。

时间序列分析代写

随机过程，是依赖于参数的一组随机变量的全体，参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现，其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值（如1秒，5分钟，12小时，7天，1年），因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中，往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录，以得到其自身发展的规律。

回归分析代写

多元回归分析渐进（Multiple Regression Analysis Asymptotics）属于计量经济学领域，主要是一种数学上的统计分析方法，可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系，在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。