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流形学习是机器学习的一个流行且快速发展的子领域，它基于一个假设，即一个人的观察数据位于嵌入高维空间的低维流形上。本文介绍了流形学习的数学观点，深入探讨了核学习、谱图理论和微分几何的交叉点。重点放在图和流形之间的显著相互作用上，这构成了流形正则化技术的广泛使用的基础。

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• Statistical Machine Learning 统计机器学习
• Longitudinal Data Analysis 纵向数据分析
• Foundations of Data Science 数据科学基础

机器学习代写|流形学习代写manifold data learning代考|Intuition on Non-Uniqueness

Note that the results above claim the existence of volume (or density) preserving maps, but not uniqueness. In fact, the space of volume-preserving maps is very large. An intuitive way to see this is to consider the flow of an incompressible fluid in $\mathbb{R}^{3}$. The fluid may cover the same region in space at two given times, but the fluid particles may have gone through significant shuffling. The map from the original configuration of the fluid to the final one is a volume preserving diffeomorphism, assuming the flow is smooth. The infinity of ways a fluid can move shows the infinity of ways of preserving volume.

Distance-preserving maps may also have some non-uniqueness, but this is parametrized by a finite-dimensional group, namely, the isometry group of the Riemannian manifold under consideration. ${ }^{6}$ The case of volume-preserving maps is much worse, the space of volumepreserving diffeomorphisms being infinite-dimensional. Since the aim of this chapter is to describe a manifold-learning method that preserves volumes/densities, we are faced with the following question: Given a data manifold with intrinsic dimension $d$ that is diffeomorphic to a subset of $\mathbb{R}^{d}$, which map, in the infinite-dimensional space of volume-preserving maps from this manifold to $\mathbb{R}^{d}$, is the “best”? In Section 3.4, we will describe an approach to this problem by setting up a specific optimization procedure. But first, let us describe a method for estimating densities on submanifolds.

机器学习代写|流形学习代写manifold data learning代考|Density Estimation on Submanifolds

Kernel density estimation (KDE) [21] is one of the most popular methods of estimating the underlying probability density function (PDF) of a data set. Roughly speaking, KDE consists of having the data points contribute to the estimate at a given point according to their distances from that point – closer the point, the bigger the contribution. More precisely, in the simplest multi-dimensional KDE [5], the estimate $\hat{f}{m}\left(\mathbf{y}{0}\right)$ of a PDF $f\left(\mathbf{y}{0}\right)$ at a point $\mathbf{y}{0} \in \mathbb{R}^{D}$ is given in terms of a sample $\left{\mathbf{y}{1}, \ldots, \mathbf{y}{m}\right}$ as,
$$
\hat{f}{m}\left(\mathbf{y}{0}\right)=\frac{1}{m} \sum_{i=1}^{m} \frac{1}{h_{m}^{D}} K\left(\frac{\left|\mathbf{y}{i}-\mathbf{y}{0}\right|}{h_{m}}\right)
$$
where $h_{m}>0$, the bandwidth, is chosen to approach to zero in a suitable manner as the number $m$ of data points increases, and $K:[0, \infty) \rightarrow[0, \infty)$ is a kernel function that satisfies certain properties such as boundedness. Various theorems exist on the different types and rates of convergence of the estimator to the correct result. The earliest result on the pointwise convergence rate in the multivariable case seems to be given in [5], where it is stated that under certain conditions for $f$ and $K$, assuming $h_{m} \rightarrow 0$ and $m h_{m}^{D} \rightarrow \infty$ as $m \rightarrow \infty$, the mean squared error in the estimate $\hat{f}\left(\mathbf{y}{0}\right)$ of the density at a point goes to zero with the rate, $$ \operatorname{MSE}\left[\hat{f}{m}\left(\mathbf{y}{0}\right)\right]=\mathrm{E}\left[\left(\hat{f}{m}\left(\mathbf{y}{0}\right)-f\left(\mathbf{y}{0}\right)\right)^{2}\right]=O\left(h_{m}^{4}+\frac{1}{m h_{m}^{D}}\right)
$$
as $m \rightarrow \infty$. If $h_{m}$ is chosen to be proportional to $m^{-1 /(D+4)}$, one gets,
$$
\operatorname{MSE}\left[\hat{f}{m}(p)\right]=O\left(\frac{1}{m^{4 /(D+4)}}\right) $$ as $m \rightarrow \infty$. The two conditions $h{m} \rightarrow 0$ and $m h_{m}^{D} \rightarrow \infty$ ensure that, as the number of data points increases, the density estimate at a point is determined by the values of the density in a smaller and smaller region around that point, but the number of data points contributing to the estimate (which is roughly proportional to the volume of a region of size $h_{m}$ ) grows unboundedly, respectively.

流形学习代写

机器学习代写|流形学习代写manifold data learning代考|Intuition on Non-Uniqueness

请注意，上述结果声称存在体积（或密度）保留图，但不是唯一性。事实上，保体贴图的空间非常大。看到这一点的一种直观方法是考虑不可压缩流体的流动R3. 流体可能在两个给定时间覆盖空间中的相同区域，但流体粒子可能已经经历了显着的改组。假设流动是平滑的，从流体的原始配置到最终配置的映射是一个保持体积的微分同胚。流体可以移动的无限方式显示了保持体积的无限方式。

距离保持映射也可能有一些非唯一性，但这是由一个有限维群参数化的，即所考虑的黎曼流形的等距群。6保体映射的情况更糟，保体微分同胚的空间是无限维的。由于本章的目的是描述一种保留体积/密度的流形学习方法，我们面临以下问题：给定具有内在维度的数据流形d微分同胚于Rd，它映射，在体积保持映射的无限维空间中，从这个流形到Rd， 是最好的”？在第 3.4 节中，我们将通过设置特定的优化程序来描述解决此问题的方法。但首先，让我们描述一种估计子流形上的密度的方法。

机器学习代写|流形学习代写manifold data learning代考|Density Estimation on Submanifolds

核密度估计 (KDE) [21] 是估计数据集的潜在概率密度函数 (PDF) 的最流行的方法之一。粗 略地说，KDE 包括让数据点根据它们与该点的距蓠对给定点的估计做出贡南一一越接近该 点，贡献越大。更淮确地说，在最简单的多维 KDE [5] 中，估计 $\hat{f} m(\mathbf{y} 0) \operatorname{PDF}$ 的 $f(\mathbf{y} 0)$ 为，
$$
\hat{f} m(\mathbf{y} 0)=\frac{1}{m} \sum_{i=1}^{m} \frac{1}{h_{m}^{D}} K\left(\frac{|\mathbf{y} i-\mathbf{y} 0|}{h_{m}}\right)
$$
在哪里 $h_{m}>0$ ，带宽，被选择为以适当的方式接近零作为数字 $m$ 数据点的增加，并且 $K:[0, \infty) \rightarrow[0, \infty$ )是满足某些属性 (例如有界性) 的核函数。关于估计㗍对正确结果 的不同类型和收敛速度，存在各种定理。关于多变量情况下逐点收致速度的最早结果似乎 在 [5] 中给出，其中指出在某些条件下 $f$ 和 $K$ ，假设 $h_{m} \rightarrow 0$ 和 $m h_{m}^{D} \rightarrow \infty$ 作为 $m \rightarrow \infty$, 估计中的均方误差 $\hat{f}(\mathbf{y} 0)$ 一个点的密度随速率变为零，
$$
\operatorname{MSE}[\hat{f} m(\mathbf{y} 0)]=\mathrm{E}\left[(\hat{f} m(\mathbf{y} 0)-f(\mathbf{y} 0))^{2}\right]=O\left(h_{m}^{4}+\frac{1}{m h_{m}^{D}}\right)
$$
作为 $m \rightarrow \infty$. 如果 $h_{m}$ 选择成正比于 $m^{-1 /(D+4)}$ ，一个得到，
$$
\operatorname{MSE}[\hat{f} m(p)]=O\left(\frac{1}{m^{4 /(D+4)}}\right)
$$
作为 $m \rightarrow \infty$. 两个条件 $h m \rightarrow 0$ 和 $m h_{m}^{D} \rightarrow \infty$ 确保随着数据点数量的增加，一个点的 密度估计值由该点周围越来越小的区域中的密度值决定，但对估计值有贡献的数据点数量 （大呚成正比）到一个大小区域的体积 $h_{m}$ ) 分别无限增长。

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金融工程代写

金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题，以及设计新的和创新的金融产品。

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语 广义线性模型（GLM）通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归，以及方差分析和方差分析（仅含固定效应）。

有限元方法代写

有限元方法（FEM）是一种流行的方法，用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法，用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程（即一些边界值问题）。为了解决一个问题，有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分，称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的，它是通过构建对象的网格来实现的：用于求解的数值域，它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统，以模拟整个问题。然后，有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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随机分析代写

随机微积分是数学的一个分支，对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。

时间序列分析代写

随机过程，是依赖于参数的一组随机变量的全体，参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现，其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值（如1秒，5分钟，12小时，7天，1年），因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中，往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录，以得到其自身发展的规律。

回归分析代写

多元回归分析渐进（Multiple Regression Analysis Asymptotics）属于计量经济学领域，主要是一种数学上的统计分析方法，可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系，在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。