# 数学代写|随机过程统计代写Stochastic process statistics代考|STAT4061

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## 数学代写|随机过程统计代写Stochastic process statistics代考|The strong Markov property

Let us now show that (6.4) remains valid if we replace $s$ by a stopping time $\sigma(\omega)$. Since stopping times can attain the value $+\infty$, we have to take care that $B_{\sigma}$ is defined even in this case. If $\left(X_{t}\right){t \geqslant 0}$ is a stochastic process and $\sigma$ a stopping time, we set $$X{\sigma}(\omega):= \begin{cases}X_{\sigma(\omega)}(\omega) & \text { if } \sigma(\omega)<\infty, \ \lim {t \rightarrow \infty} X{t}(\omega) & \text { if } \sigma(\omega)=\infty \text { and if the limit exists, } \ 0 & \text { in all other cases. }\end{cases}$$

6.5 Theorem (Strong Markov property). Let $\left(B_{t}\right){t \geqslant 0}$ be a $\mathrm{BM}^{d}$ with admissible filtration $\left(\mathcal{F}{t}\right){t \geqslant 0}$ and $\sigma<\infty$ some a.s. finite stopping time. Then $\left(W{t}\right){t \geqslant 0}$, where $W{t}:=B_{\sigma+t}-B_{\sigma}$, is again $a \mathrm{BM}^{d}$, which is independent of $\mathcal{F}_{\sigma+} .$

Proof. We know, cf. Lemma A.16, that $\sigma_{j}:=\left(\left\lfloor 2^{j} \sigma\right\rfloor+1\right) / 2^{j}$ is a decreasing sequence of stopping times such that $\inf {j \geqslant 1} \sigma{j}=\sigma$. For all $0 \leqslant s<t, \xi \in \mathbb{R}^{d}$ and all $F \in \mathcal{F}{\sigma+}$ we find by the continuity of the sample paths $\mathbb{E}\left[e^{i\left\langle\xi, B{\sigma+t}-B_{\sigma+s}\right\rangle} \mathbb{1}{F}\right]$ $=\lim {j \rightarrow \infty} \mathbb{E}\left[e^{i\left(\xi, B_{\sigma_{j}+t}-B_{\sigma_{j}}+s\right)} \mathbb{1}{F}\right]$ $\left.=\lim {j \rightarrow \infty} \sum_{k=1}^{\infty} \mathbb{E}\left[e^{i\left\langle\xi, B_{k 2}-j+t\right.}-B_{k 2-j+s}\right\rangle \mathbb{1}{\left{\sigma{j}=k 2^{-j}\right}} \cdot \mathbb{1}{F}\right]$ $=\lim {j \rightarrow \infty} \sum_{k=1}^{\infty} \mathbb{E}[\overbrace{e^{i\left\langle\xi, B_{k 2^{-j}+t}-B_{k 2-j}+s\right)}}^{\Perp \mathcal{F}{k 2^{-j}, \sim B{t-s}}^{\text {by }(\mathrm{B} 1)(5.1),(\mathrm{B} 2)}} \underbrace{\left.\mathbb{1}{\left{(k-1) 2^{-j}\right.} \leqslant \sigma{\in \mathcal{F}{k 2^{-j}} \text { as } F \in \mathcal{F}{\sigma+}} \mathbb{1}{F}]$ $=\lim {j \rightarrow \infty} \sum_{k=1}^{\infty} \mathbb{E}\left[e^{i\left(\xi, B_{t-s}\right)}\right] \mathbb{P}\left(\left{(k-1) 2^{-j} \leqslant \sigma<k 2^{-j}\right} \cap F\right)$
$=\mathbb{E}\left[e^{i \xi \cdot B_{t-s}}\right] \mathbb{P}(F) .$

## 数学代写|随机过程统计代写Stochastic process statistics代考|Desiré André’s reflection principle

Let us briefly discuss one of the most famous applications of the strong Markov property of a Brownian motion. Let $\left(B_{t}\right){t \geqslant 0}$ be a one-dimensional Brownian motion and $\tau{b}=\inf \left{t \geqslant 0: B_{t}=b\right}$ the first passage time for $b$. Assume that $B$ has reached the level $b$ for the first time and that $\tau_{b}<t$. Stop at $\tau_{b}$ and start anew from $B_{\tau_{b}}=b$. Since $W_{s}+b=B_{\tau_{b}+s}-B_{\tau_{b}}+b=B_{\tau_{b}+s}$ is, by Theorem 6.5, again a Brownian motion (started at $b$ ), the probability to be at time $t$ above or below $b$ is the same, cf. Figure 6.2. Since $B_{\tau_{b}}=b$ and since $\tau_{b}$ is $\mathcal{F}{\tau{b}}^{B}$ measurable, cf. Lemma A.15, we have
and so
\begin{aligned} \mathbb{P}\left(\tau_{b} \leqslant t\right) &=\mathbb{P}\left(\tau_{b} \leqslant t, B_{t} \geqslant b\right)+\mathbb{P}\left(\tau_{b} \leqslant t, B_{t}<b\right) \ &=\mathbb{P}\left(\tau_{b} \leqslant t, B_{t} \geqslant b\right)+\frac{1}{2} \mathbb{P}\left(\tau_{b} \leqslant t\right) \ &=\mathbb{P}\left(B_{t} \geqslant b\right)+\frac{1}{2} \mathbb{P}\left(\tau_{b} \leqslant t\right) \end{aligned}

This shows that $\mathbb{P}\left(\tau_{b} \leqslant t\right)=2 \mathbb{P}\left(B_{t} \geqslant b\right)$. Observe that $\left{\tau_{b} \leqslant t\right}=\left{M_{t} \geqslant b\right}$ where $M_{t}:-\sup {s \leqslant t} B{s}$. Therefore,
$$\mathbb{P}\left(M_{t} \geqslant b\right)=\mathbb{P}\left(\tau_{b} \leqslant t\right)=2 \mathbb{P}\left(B_{t} \geqslant b\right) \text { for all } b>0 .$$
From this we can calculate the probability distributions of various functionals of a Brownian motion.

# 随机过程统计代考

## 数学代写|随机过程统计代写Stochastic process statistics代考|The strong Markov property

$X \sigma(\omega):=\left{X_{\sigma(\omega)}(\omega) \quad\right.$ if $\sigma(\omega)<\infty, \lim t \rightarrow \infty X t(\omega) \quad$ if $\sigma(\omega)=\infty$ and if th
$6.5$ 定理 (强马尔可夫性质) 。让 $\left(B_{t}\right) t \geqslant 0$ 做一个 $\mathrm{BM}^{d}$ 允许过滤 $(\mathcal{F} t) t \geqslant 0$ 和 $\sigma<\infty$ 有些是有限的停止时间。然后 $(W t) t \geqslant 0$ ，在哪里 $W t:=B_{\sigma+t}-B_{\sigma}$ ，又是 $a \mathrm{BM}^{d}$ ， 它独立于 $\mathcal{F}{\sigma+} \cdot$ 证明。我们知道，参见。引理 A.16，即 $\sigma{j}:=\left(\left\lfloor 2^{j} \sigma\right\rfloor+1\right) / 2^{j}$ 是停止时间的递减序列， 使得inf $j \geqslant 1 \sigma j=\sigma$. 对所有人 $0 \leqslant s<t, \xi \in \mathbb{R}^{d}$ 和所有 $F \in \mathcal{F} \sigma$ 十我们通过样本路 径的连续性找到 $\mathbb{E}\left[e^{i\left\langle\xi, B \sigma+t-B_{\sigma+\beta}\right\rangle} 1 F\right]=\lim j \rightarrow \infty \mathbb{E}\left[e^{i\left(\xi, B_{\sigma_{j}+t}-B_{\sigma_{j}}+s\right)} 1 F\right]$

## 有限元方法代写

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