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是真实的。在本节中，我们将描述几个典型的数论问题。其中有些问题我们最终会解决，有些问题的已知解法对我们来说太难了，所以要包括在内。困难的问题，以及一些至今仍未解决的问题。
数论number theory是纯数学的一个分支，专门研究自然数和整数。它是对正整数集合的研究，通常称为自然数集合。
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数学代写|数论代写number theory代考|Finding the gcd
Most readers will know the Euclidean algorithm, used to find the greatest common divisor (ged) of two given integers. For example, to determine the greatest common divisor of 85 and 48 , we begin by subtracting the smaller from the larger, 48 from 85 , to obtain $85-48=37$. Now $\operatorname{gcd}(85,48)=\operatorname{gcd}(48,37)$, because the common divisors of 48 and 37 are precisely the same as those of 85 and 48 , and so we apply the algorithm again to the pair 48 and 37. So we subtract the smaller from the larger to obtain $48-37=11$, so that $\operatorname{ged}(48,37)=\operatorname{gcd}(37,11)$. Next we should subtract 11 from 37 , but then we would only do so again, and a third time, so let’s do all that in one go and take $37-3 \times 11=4$, to obtain $\operatorname{gcd}(37,11)=\operatorname{ged}(11,4)$. Similarly we take $11-2 \times 4=3$, and then $4-3=1$, so that the ged of 85 and 48 is 1. This is the Euclidean algorithm that you might already have seen, 1 but did you ever prove that it really works?
To do so, we will first carefully define terms that we have implicitly used in the above paragraph, perhaps mathematical terms that you have used for years (such as “divides”, “quotient”, and “remainder”) without a formal definition. This may seem pedantic but the goal is to make sure that the rules of basic arithmetic are really established on a sound footing.
Let $a$ and $b$ be given integers. We say that $a$ is divisible by $b$, or that $b$ divides $a, 2$ if there exists an integer $q$ such that $a=q b$. For convenience we write ” $b \mid a$ ” $3 .$ We now set an exercise for the reader to check that the definition allows one to manipulate the notion of division in several familiar ways.
数学代写|数论代写number theory代考|Linear combinations
The Euclidean algorithm can also be used to determine a linear combination $]^{7}$ of $a$ and $b$, over the integers, which equals $\operatorname{gcd}(a, b)$; that is, one can always use the Euclidean algorithm to find integers $u$ and $v$ such that
$$
a u+b v=\operatorname{gcd}(a, b) \text {. }
$$
Let us see how to do this in an example, by finding integers $u$ and $v$ such that $85 u+48 v=1$; remember that we found the ged of 85 and 48 at the beginning of section 1.1. We retrace the steps of the Euclidean algorithm, but in reverse: The final step was that $1=1 \cdot 4-1 \cdot 3$, a linear combination of 4 and 3 . The second to last step used that $3=11-2 \cdot 4$, and so substituting $11-2 \cdot 4$ for 3 in $1=1 \cdot 4-1 \cdot 3$, we obtain
$$
1=1 \cdot 4-1 \cdot 3=1 \cdot 4-1 \cdot(11-2 \cdot 4)=3 \cdot 4-1 \cdot 11,
$$
a linear combination of 11 and 4. This then implies, since we had $4=37-3 \cdot 11$, that
$$
1=3 \cdot(37-3 \cdot 11)-1 \cdot 11=3 \cdot 37-10 \cdot 11,
$$
a linear combination of 37 and 11. Continuing in this way, we successively deduce, using that $11=48-37$ and then that $37=85-48$,
数学代写|数论代写number theory代考|The set of linear combinations of two integers
Theorem 1.1 states that the greatest common divisor of two integers is a linear combination of those two integers. This suggests that it might be useful to study the set of linear combinations
$$
I(a, b):={a m+b m: m, n \in \mathbb{Z}}
$$
of two given integers $a$ and $b \otimes$ We see that $I(a, b)$ contains $0, a, b, a+b, a+$ $2 b, 2 b+a, a-b, b-a, \ldots$ and any sum of integer multiples of $a$ and $b$, so that $I(a, b)$ is closed under addition. Let $I(a):=I(a, 0)={a m: m \in \mathbb{Z}}$, the set of integer multiples of $a$. We now prove that $I(a, b)$ can be described as the set of integer multiples of ged $(a, b)$, a set which is easier to understand:
Corollary 1.3.1. For any given non-zero integers $a$ and b, we have
$$
{a m+b n: m, n \in \mathbb{Z}}={g k: k \in \mathbb{Z}}
$$
where $g:=\operatorname{gcd}(a, b)$; that is, $I(a, b)=I(g)$. In other words, there exist integers $m$ and $n$ with $a m+b n=c$ if and only if $\operatorname{ged}(a, b)$ divides $c$.
Proof. By Theorem $1.1$ we know that there exist $u, v \in \mathbb{Z}$ for which $a u+b v=g$. Therefore $a(u k)+b(v k)=g k$ so that $g k \in I(a, b)$ for all $k \in \mathbb{Z}$; that is, $I(g) \subset I(a, b)$. On the other hand, as $g$ divides both $a$ and $b$, there exist integers $A, B$ such that $a=g A, b=g B$, and so any $a m+b n=g(A m+B n) \in I(g)$. That is, $I(a, b) \subset I(g)$. The result now follows from the two inclusions.
数学代写|数论代写number theory代考|Finding the gcd
大多数读者都知道欧几里得算法，用于找到两个给定整数的最大公约数 (ged)。例如，要确定 85 和 48 的最大公约 数，我们首先从较大的减去较小的，从 85 中减去 48 , 得到 $85-48=37$. 现在 $\operatorname{gcd}(85,48)=\operatorname{gcd}(48,37)$, 因为 48 和 37 的公约数与 85 和 48 的公约数完全相同，所以我们再次将算法应用于 48 和 37 对。所以我们从较大的减去 较小的得到 $48-37=11$ ，以便 $\operatorname{ged}(48,37)=\operatorname{gcd}(37,11)$. 接下来我们应该从 37 中减去 11 ，但是我们只会再 次这样做，并且第三次，所以让我们一次完成所有这些并采取 $37-3 \times 11=4$, 获得 $\operatorname{gcd}(37,11)=\operatorname{ged}(11,4)$. 同样我们取 $11-2 \times 4=3$ ，接着 $4-3=1$ ，因此 85 和 48 的 ged 为 1 。这是您可能已经见过的欧几里得算法， 1 但您有没有证明它确实有效?
为此，我们将首先仔细定义我们在上一段中隐含使用的术语，也许是您多年来使用的数学术语（例如“除数”、“商”和“余 数”），但没有正式定义。这可能看起来很迂腐，但目标是确保其本算术规则真正建立在稳固的基础上。
让 $a$ 和 $b$ 给定整数。我们说 $a$ 可以被 $b$ ，或者那个 $b$ 划分 $a, 2$ 如果存在整数 $q$ 这样 $a=q b$. 为方便起见，我们写” $b \mid a^{\prime \prime} 3$. 我们现在为读者设置一个练习，以检眸该定义是否允许人们以几种孰悉的方式操纵除法的概念。
数学代写|数论代写number theory代考|Linear combinations
欧几里得算法也可用于确定线性组合 $]^{7}$ 的 $a$ 和 $b$, 在整数上，等于 $\operatorname{gcd}(a, b)$; 也就是说，总是可以使用欧几里得算法来求 整数 $u$ 和 $v$ 这样
$$
a u+b v=\operatorname{gcd}(a, b)
$$
让我们通过垤找整数来看看如何在示例中执行此操作 $u$ 和 $v$ 这样 $85 u+48 v=1$; 请记住，我们在 $1.1$ 节的开头找到了 85 和 48 的 ged。我们追溯欧几里得算法的步骤，但反过来：最后一步是 $1=1 \cdot 4-1 \cdot 3,4$ 和 3 的线性组合。倒数 第二个步䀼使用了 $3=11-2 \cdot 4$ ，所以代入 $11-2 \cdot 43$ 英寸 $1=1 \cdot 4-1 \cdot 3$ ，我们获得
$$
1=1 \cdot 4-1 \cdot 3=1 \cdot 4-1 \cdot(11-2 \cdot 4)=3 \cdot 4-1 \cdot 11
$$
11 和 4 的线性组合。这意味着，因为我们有 $4=37-3 \cdot 11$ ，那
$$
1=3 \cdot(37-3 \cdot 11)-1 \cdot 11=3 \cdot 37-10 \cdot 11
$$
37 和 11 的线性组合。以这种方式继续，我们依次推导，使用 $11=48-37$ 然后那个 $37=85-48$,
数学代写|数论代写number theory代考|The set of linear combinations of two integers
定理 $1.1$ 指出两个整数的最大公约数是这两个整数的线性组合。这表明研究线性组合的集合可能是有用的
$$
I(a, b):=a m+b m: m, n \in \mathbb{Z}
$$
两个给定整数 $a$ 和 $b \otimes$ 我们看到 $I(a, b)$ 包含 $0, a, b, a+b, a+2 b, 2 b+a, a-b, b-a, \ldots$ 和任何整数倍的总和 $a$ 和 $b$ ，以便 $I(a, b)$ 在添加下关闭。让 $I(a):=I(a, 0)=a m: m \in \mathbb{Z}$, 整数倍的集合 $a$. 我们现在证明 $I(a, b)$ 可以描述
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