# 数学代写|实分析作业代写Real analysis代考|MATHS 2100

#### Doug I. Jones

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## 数学代写|实分析作业代写Real analysis代考|Limit Superior and Inferior of a Sequence

In this section, we define the limit superior and limit inferior of a sequence of real numbers. These two limit operations are important because unlike the limit of a sequence, the limit superior and limit inferior of a sequence always exist. The concept of the limit superior and limit inferior will also be important in our study of both series of real numbers and power series.

Let $\left{s_{n}\right}$ be a sequence in $\mathbb{R}$. For each $k \in \mathbb{N}$, we define $a_{k}$ and $b_{k}$ as follows:
\begin{aligned} a_{k} &=\inf \left{s_{n}: n \geq k\right}, \ b_{k} &=\sup \left{s_{n}: n \geq k\right} . \end{aligned}
Recall that for a nonempty subset $E$ of $\mathbb{R}$, sup $E$ is the least upper bound of $E$ if $E$ is bounded above, and $\infty$ otherwise.

From the definition, $a_{k} \leq b_{k}$ for all $k$. Furthermore, the sequences $\left{a_{k}\right}$ and $\left{b_{k}\right}$ satisfy the following:
$$a_{k} \leq a_{k+1} \quad \text { and } \quad b_{k} \geq b_{k+1}$$
for all $k$. To prove (3), let $E_{k}=\left{s_{n}: n \geq k\right}$. Then $E_{k+1} \subset E_{k}$. Therefore, if $b_{k}=\sup E_{k}, s_{n} \leq b_{k}$ for all $n \geq k$. In particular
$$s_{n} \leq b_{k} \quad \text { for all } n \geq k+1 \text {. }$$
Therefore $b_{k+1}=\sup E_{k+1} \leq b_{k}$. A similar argument will show that the sequence $\left{a_{k}\right}$ is nondecreasing.

As a consequence of (3) the sequence $\left{a_{k}\right}$ is monotone increasing and the sequence $\left{b_{k}\right}$ is monotone decreasing. Thus by Theorems $3.3 .2$ and 3.3.7, these two sequences always have limits in $\mathbb{R} \cup{-\infty, \infty}$.

## 数学代写|实分析作业代写Real analysis代考|Cauchy Sequences

In order to apply the definition to prove that a given sequence $\left{p_{n}\right}$ converges, it is required that we know the limit of the sequence $\left{p_{n}\right}$. For this reason, theorems that provide sufficient conditions for convergence, such as Theorem 3.3.2, are particularly useful. The drawback to Theorem 3.3.2 is that it applies only to monotone sequences of real numbers. In this section, we consider another criterion that for sequences in $\mathbb{R}$ is sufficient to ensure convergence of the sequence.

DEFINITION 3.6.1 Let $(X, d)$ be a metric space. A sequence $\left{p_{n}\right}_{n=1}^{\infty}$ in $X$ is a Cauchy sequence if for every $\epsilon>0$, there exists a positive integer $n_{o}$ such that
$$d\left(p_{n}, p_{m}\right)<\epsilon$$ for all integers $n, m \geq n_{o}$. Remark. In the above definition, the criterion $d\left(p_{n}, p_{m}\right)<\epsilon$ for all integers $n, m \geq n_{o}$ is equivalent to $$d\left(p_{n+k}, p_{n}\right)<\epsilon$$ for all $n \geq n_{o}$ and all $k \in \mathbb{N}$. Thus if $\left{p_{n}\right}$ is a Cauchy sequence in $X$, $$\lim {n \rightarrow \infty} d\left(p{n+k}, p_{n}\right)=0$$ for every $k \in \mathbb{N}$. The converse however is false; namely, if $\left{p_{n}\right}$ is a sequence in $\mathbb{R}$ that satisfies $\lim {n \rightarrow \infty} d\left(p{n+k}, p_{n}\right)=0$ for every $k \in \mathbb{N}$, this does not imply that the sequence $\left{p_{n}\right}$ is a Cauchy sequence (Exercise 4). The hypothesis only implies that for each $k \in \mathbb{N}$, given $\epsilon>0$, there exists a positive integer $n_{o}$ such that $d\left(p_{n+k}, p_{n}\right)<\epsilon$ for all $n \geq n_{o}$.

# 实分析代写

## 数学代写|实分析作业代写Real analysis代考|Limit Superior and Inferior of a Sequence

$$a_{k} \leq a_{k+1} \quad \text { and } \quad b_{k} \geq b_{k+1}$$ 果 $b_{k}=\sup E_{k}, s_{n} \leq b_{k}$ 对所有人 $n \geq k$. 尤其是
$$s_{n} \leq b_{k} \quad \text { for all } n \geq k+1 .$$

## 数学代写|实分析作业代写Real analysis代考|Cauchy Sequences

Veft {p_{n}\right } } \text { . 出于这个原因，为收敛提供充分条件的定理，例如定理 3.3.2，特别有 } 用。定理 $3.3 .2$ 的缺点是它只适用于实数的单调序列。在本节中，我们考虑另一个标准，即 $\mathbb{R}$ 足以保证序列的收敛。 柯西序列, 如果对于每个 $\epsilon>0$, 存在一个正整数 $n_{o}$ 这样
$$d\left(p_{n}, p_{m}\right)<\epsilon$$ 对于所有整数 $n, m \geq n_{o}$. 评论。在上述定义中，准则 $d\left(p_{n}, p_{m}\right)<\epsilon$ 对于所有整数 $n, m \geq n_{o}$ 相当于 $$d\left(p_{n+k}, p_{n}\right)<\epsilon$$ 对所有人 $n \geq n_{o}$ 和所有 $k \in \mathbb{N}$. 因此，如果 Veft{p_{n}}right} 是一个柯西序列 $X$ ， $$\lim n \rightarrow \infty d\left(p n+k, p_{n}\right)=0$$ 对于每个 $k \in \mathbb{N}$. 然而，反过来是错误的; 即，如果 lleft{⿰{p_{n}\right} 是一个序列 $\mathbb{R}$ 满足 $\lim n \rightarrow \infty d\left(p n+k, p_{n}\right)=0$ 对于每个 $k \in \mathbb{N}$, 这并不意味着序列 Veft{p_{n}}right $}$ 是 一个柯西序列 (绑习 4) 。该假设仅意味着对于每个 $k \in \mathbb{N}$, 给定 $\epsilon>0$, 存在一个正整数 $n_{o}$ 这样 $d\left(p_{n+k}, p_{n}\right)<\epsilon$ 对所有人 $n \geq n_{0}$.

## 有限元方法代写

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## MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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