数学代写|凸优化作业代写Convex Optimization代考|ORF523

2022年7月12日

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凸优化是数学优化的一个子领域,研究的是凸集上凸函数最小化的问题。许多类凸优化问题都有多项时间算法,而数学优化一般来说是NP困难的。

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  • Longitudinal Data Analysis 纵向数据分析
  • Foundations of Data Science 数据科学基础
数学代写|凸优化作业代写Convex Optimization代考|ORF523

数学代写|凸优化作业代写Convex Optimization代考|Perspective function and linear-fractional function

Linear-fractional functions are functions which are more general than affine but still preserve convexity. The perspective function scales or normalizes vectors so that the last component is one, and then drops the last component.

The perspective function $\boldsymbol{p}: \mathbb{R}^{n+1} \rightarrow \mathbb{R}^{n}$, with dom $\boldsymbol{p}=\mathbb{R}^{n} \times \mathbb{R}{++}$, is defined as $$ \boldsymbol{p}(\mathbf{z}, t)=\frac{\mathbf{z}}{t} . $$ The perspective function $\boldsymbol{p}$ preserves the convexity of the convex set. Proof: Consider two points $\left(\mathbf{z}{1}, t_{1}\right)$ and $\left(\mathbf{z}{2}, t{2}\right)$ in a convex set $C$ and so $\mathbf{z}{1} / t{1}$ and $\mathbf{z}{2} / t{2} \in \boldsymbol{p}(C)$. Then
$$
\theta\left(\mathbf{z}{1}, t{1}\right)+(1-\theta)\left(\mathbf{z}{2}, t{2}\right)=\left(\theta \mathbf{z}{1}+(1-\theta) \mathbf{z}{2}, \theta t_{1}+(1-\theta) t_{2}\right) \in C
$$
for any $\theta \in[0,1]$ implying
$$
\frac{\theta \mathbf{z}{1}+(1-\theta) \mathbf{z}{2}}{\theta t_{1}+(1-\theta) t_{2}} \in \boldsymbol{p}(C)
$$
Now, by defining
$$
\mu=\frac{\theta t_{1}}{\theta t_{1}+(1-\theta) t_{2}} \in[0,1],
$$
we get
$$
\frac{\theta \mathbf{z}{1}+(1-\theta) \mathbf{z}{2}}{\theta t_{1}+(1-\theta) t_{2}}=\mu \frac{\mathbf{z}{1}}{t{1}}+(1-\mu) \frac{\mathbf{z}{2}}{t{2}} \in \boldsymbol{p}(C)
$$
which implies $\boldsymbol{p}(C)$ is convex.

数学代写|凸优化作业代写Convex Optimization代考|Generalized inequalities

Proper cones and generalized inequalities
A cone $K \subseteq \mathbb{R}^{n}$ is called a proper cone if it satisfies the following conditions:

  • $K$ is convex.
  • $K$ is closed.
  • $K$ is solid, which means it has nonempty interior.
  • $K$ is pointed, which means that it contains no line (or equivalently, $\mathbf{x} \in$ $K,-\mathrm{x} \in K \Rightarrow \mathrm{x}=0)$

A proper cone $K$ can be used to define a “generalized inequality,” which is a partial ordering on $\mathbb{R}^{n}$ (meaning that not all pairs of vectors in $\mathbb{R}^{n}$ are comparable) that has many of the properties of ordering on $\mathbb{R}$. The generalized inequality associated with proper cone $K$ can be defined by
Non-strict generalized inequality: $\mathbf{x} \preceq K \mathbf{y} \Longleftrightarrow \mathbf{y}-\mathbf{x} \in K$.
Strict generalized inequality: $\mathbf{x} \prec_{K} \mathbf{y} \Longleftrightarrow \mathbf{y}-\mathbf{x} \in$ int $K$.
Remark 2.14 The nonnegative orthant $\mathbb{R}{+}^{n}$, which is a polyhedral cone, is also a proper cone (see Figure 2.9). The second-order cone $C=\left{(\mathbf{x}, t) \in \mathbb{R}^{n+1} \mid|\mathbf{x}|{2} \leq\right.$ $t} \subseteq \mathbb{R}^{n+1}$ is also a proper cone (see Figure 2.11).

Example 2.9 The positive semidefinite cone $K=\mathbb{S}{+}^{n}$ is a proper cone in $\mathbb{S}^{n}$. Therefore it can be seen that for any $\mathbf{A}, \mathbf{B} \in \mathbb{S}^{n}, \mathbf{A} \preceq{K} \mathbf{B}$ (or simply denoted by $\mathbf{A} \preceq \mathbf{B}$ only when $K=\mathbb{S}{+}^{n}$ ) if and only if $\mathbf{B}-\mathbf{A} \in K=\mathbb{S}{+}^{n}$ by the definition of $\preceq_{K}$, i.e., $\lambda_{i}(\mathbf{B}-\mathbf{A}) \geq 0$ for all $i$, where $\lambda_{i}(\cdot)$ denotes the $i$ th eigenvalue of a matrix. It can also be shown that for any $\mathbf{A}, \mathbf{B} \in \mathbb{S}{++}^{n}$, $$ \mathbf{A} \preceq \mathbf{B} \Leftrightarrow \mathcal{E}{\mathbf{A}}=\left{\mathbf{u} \mid \mathbf{u}^{T} \mathbf{A}^{-1} \mathbf{u} \leq 1\right} \subseteq \mathcal{E}{\mathbf{B}} $$ where both $\mathcal{E}{\mathrm{A}}$ and $\mathcal{E}{\mathrm{B}}$ are ellipsoids centered at the origin (cf. (2.37)). The proof of (2.79) is straightforward by (2.80) which is proven in Remark $2.15$ below. For instance, supposing that $\mathbf{B}=\mathbf{I}{2} \in \mathbb{S}{++}^{2}$, and $\mathbf{A} \in \mathbb{S}{++}^{2}$ with $\lambda_{i}(\mathbf{A}) \leq 1, i=$ 1,2 , it can be seen that $\mathbf{A} \preceq \mathbf{B} ; \mathcal{E}{\mathbf{B}}$ is a Euclidean ball with center at the origin and radius equal to unity, and $\mathcal{E}{\mathbf{A}}$, an ellipsoid with center at the origin and the maximum semiaxis length less than or equal to unity, is contained in $\mathcal{E}_{\mathbf{B}}$.

数学代写|凸优化作业代写Convex Optimization代考|ORF523

凸优化代写

数学代写|凸优化作业代写Convex Optimization代考| Perspective function and linear-fractional function

线性分数函数是比仿射更通用但仍然保持凸性的函数。透视函数缩放或规范化向量,以便 最后一个分量为 1 ,然后删除最后一个分量。
透视函数 $\boldsymbol{p}: \mathbb{R}^{n+1} \rightarrow \mathbb{R}^{n}$ ,带圆顶 $\boldsymbol{p}=\mathbb{R}^{n} \times \mathbb{R}++$ ,定义为
$$
\boldsymbol{p}(\mathbf{z}, t)=\frac{\mathbf{z}}{t} .
$$
逗视函数 $\boldsymbol{p}$ 保留凸集的凸性。证明:考虑两点 $\left(\mathbf{z} 1, t_{1}\right)$ 和 $(\mathbf{z} 2, t 2)$ 在凸集中 $C$ 等等 $\mathbf{z} 1 / t 1$ 和 $\mathbf{z} 2 / t 2 \in \boldsymbol{p}(C)$.然后
$$
\theta(\mathbf{z} 1, t 1)+(1-\theta)(\mathbf{z} 2, t 2)=\left(\theta \mathbf{z} 1+(1-\theta) \mathbf{z} 2, \theta t_{1}+(1-\theta) t_{2}\right) \in C
$$
对于任何 $\theta \in[0,1]$ 暗示
$$
\frac{\theta \mathbf{z} 1+(1-\theta) \mathbf{z} 2}{\theta t_{1}+(1-\theta) t_{2}} \in \boldsymbol{p}(C)
$$
现在,通过定义
$$
\mu=\frac{\theta t_{1}}{\theta t_{1}+(1-\theta) t_{2}} \in[0,1]
$$
我们得到
$$
\frac{\theta \mathbf{z} 1+(1-\theta) \mathbf{z} 2}{\theta t_{1}+(1-\theta) t_{2}}=\mu \frac{\mathbf{z} 1}{t 1}+(1-\mu) \frac{\mathbf{z} 2}{t 2} \in \boldsymbol{p}(C)
$$
这意味着 $\boldsymbol{p}(C)$ 是凸的。

数学代写|凸优化作业代写Convex Optimization代考| Generalized inequalities

真雉和广义不等式
$\mathrm{A}$ 锥 $K \subseteq \mathbb{R}^{n}$ 如果它满足以下条件,则称为适当的雉体:

  • $K$ 是凸的。
  • $K$ 已关闭。
  • $K$ 是固体,这意味着它具有非空的内部。
  • $K$ 是指向的,这意味着它不包含任何线条(或等效地, $\mathbf{x} \in$ $K,-\mathrm{x} \in K \Rightarrow \mathrm{x}=0)$
    适当的锥体 $K$ 可以用来定义 “广义不等式”,它是 $\mathbb{R}^{n}$ (意味着并非所有向量对都在 $\mathbb{R}^{n}$ 具有
    可比性),它具有许多排序属性 $\mathbb{R}$.与真圆锥相关的广义不等式 $K$ 可以用
    非严格广义不等式来定义: $\mathbf{x} \preceq K \mathbf{y} \Longleftrightarrow \mathbf{y}-\mathbf{x} \in K$.
    严格广义不等式: $\mathbf{x} \prec_{K} \mathbf{y} \Longleftrightarrow \mathbf{y}-\mathbf{x} \in$ 整型 $K$.
    注 $2.14$ 非负数 $\mathbb{R}+{ }^{n}$ ,这是一个多面体雉体,也是一个合适的圆雉体 (见图2.9) 。二阶雉
    体 也是一个合适的圆锥体 (见图2.11)。
    例 $2.9$ 正半定性雉体 $K=\mathbb{S}+^{n}$ 是一个适当的圆雉体 $\mathbb{S}^{n}$. 因此,可以看出,对于任何
    $\mathbf{A}, \mathbf{B} \in \mathbb{S}^{n}, \mathbf{A} \preceq K \mathbf{B}$ (或简单地表示为 $\mathbf{A} \preceq \mathbf{B}$ 仅当 $K=\mathbb{S}+{ }^{n}$ ) 当且仅当
    $\mathbf{B}-\mathbf{A} \in K=\mathbb{S}+{ }^{n}$ 根据以下定义 $_{K}$ ,即 $\lambda_{i}(\mathbf{B}-\mathbf{A}) \geq 0$ 面向所有人 $i$ 哪里 $\lambda_{i}(\cdot)$ 表
    示 $i$ 矩阵的特征值。也可以证明,对于任何 $\mathbf{A}, \mathbf{B} \in \mathbb{S}++^{n}$ ,
    其中两者兼而有之 $\mathcal{E A}$ 和 $\mathcal{E} \mathrm{B}$ 是以原点为中心的椭球体(参见(2.37))。(2.79)的证
    明由 (2.80) 直接证明,这在畕注中得到了证明 $2.15$ 下面。例如,假设
    $\mathbf{B}=\mathbf{I} 2 \in \mathbb{S}++^{2}$ 和 $\mathbf{A} \in \mathbb{S}++^{2}$ 跟 $\lambda_{i}(\mathbf{A}) \leq 1, i=1 , 2$ ,可以看出 $\mathbf{A} \preceq \mathbf{B} ; \mathcal{E} \mathbf{B}$ 是
    一个欧几里得球,其中心在原点和半径处等于单位,并且 $\mathcal{E} \mathbf{A}$, 以原点为中心且最大半轴
    长度小于或等于单位的椭球体包含在 $\mathcal{E}_{\mathrm{B}}$.
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金融工程代写

金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题,以及设计新的和创新的金融产品。

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法,其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型;这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型(GLM)归属统计学领域,是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语 广义线性模型(GLM)通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归,以及方差分析和方差分析(仅含固定效应)。

有限元方法代写

有限元方法(FEM)是一种流行的方法,用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法,用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程(即一些边界值问题)。为了解决一个问题,有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分,称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的,它是通过构建对象的网格来实现的:用于求解的数值域,它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统,以模拟整个问题。然后,有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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随机分析代写


随机微积分是数学的一个分支,对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。

时间序列分析代写

随机过程,是依赖于参数的一组随机变量的全体,参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现,其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值(如1秒,5分钟,12小时,7天,1年),因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中,往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录,以得到其自身发展的规律。

回归分析代写

多元回归分析渐进(Multiple Regression Analysis Asymptotics)属于计量经济学领域,主要是一种数学上的统计分析方法,可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系,在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中,其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括:数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发,包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统,其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题,尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题,而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问,这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展,得到了许多用户的投入。在大学环境中,它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域,MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要,工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数(M 文件)的综合集合,可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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