# 数学代写|凸优化作业代写Convex Optimization代考|ORF523

#### Doug I. Jones

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## 数学代写|凸优化作业代写Convex Optimization代考|Perspective function and linear-fractional function

Linear-fractional functions are functions which are more general than affine but still preserve convexity. The perspective function scales or normalizes vectors so that the last component is one, and then drops the last component.

The perspective function $\boldsymbol{p}: \mathbb{R}^{n+1} \rightarrow \mathbb{R}^{n}$, with dom $\boldsymbol{p}=\mathbb{R}^{n} \times \mathbb{R}{++}$, is defined as $$\boldsymbol{p}(\mathbf{z}, t)=\frac{\mathbf{z}}{t} .$$ The perspective function $\boldsymbol{p}$ preserves the convexity of the convex set. Proof: Consider two points $\left(\mathbf{z}{1}, t_{1}\right)$ and $\left(\mathbf{z}{2}, t{2}\right)$ in a convex set $C$ and so $\mathbf{z}{1} / t{1}$ and $\mathbf{z}{2} / t{2} \in \boldsymbol{p}(C)$. Then
$$\theta\left(\mathbf{z}{1}, t{1}\right)+(1-\theta)\left(\mathbf{z}{2}, t{2}\right)=\left(\theta \mathbf{z}{1}+(1-\theta) \mathbf{z}{2}, \theta t_{1}+(1-\theta) t_{2}\right) \in C$$
for any $\theta \in[0,1]$ implying
$$\frac{\theta \mathbf{z}{1}+(1-\theta) \mathbf{z}{2}}{\theta t_{1}+(1-\theta) t_{2}} \in \boldsymbol{p}(C)$$
Now, by defining
$$\mu=\frac{\theta t_{1}}{\theta t_{1}+(1-\theta) t_{2}} \in[0,1],$$
we get
$$\frac{\theta \mathbf{z}{1}+(1-\theta) \mathbf{z}{2}}{\theta t_{1}+(1-\theta) t_{2}}=\mu \frac{\mathbf{z}{1}}{t{1}}+(1-\mu) \frac{\mathbf{z}{2}}{t{2}} \in \boldsymbol{p}(C)$$
which implies $\boldsymbol{p}(C)$ is convex.

## 数学代写|凸优化作业代写Convex Optimization代考|Generalized inequalities

Proper cones and generalized inequalities
A cone $K \subseteq \mathbb{R}^{n}$ is called a proper cone if it satisfies the following conditions:

• $K$ is convex.
• $K$ is closed.
• $K$ is solid, which means it has nonempty interior.
• $K$ is pointed, which means that it contains no line (or equivalently, $\mathbf{x} \in$ $K,-\mathrm{x} \in K \Rightarrow \mathrm{x}=0)$

A proper cone $K$ can be used to define a “generalized inequality,” which is a partial ordering on $\mathbb{R}^{n}$ (meaning that not all pairs of vectors in $\mathbb{R}^{n}$ are comparable) that has many of the properties of ordering on $\mathbb{R}$. The generalized inequality associated with proper cone $K$ can be defined by
Non-strict generalized inequality: $\mathbf{x} \preceq K \mathbf{y} \Longleftrightarrow \mathbf{y}-\mathbf{x} \in K$.
Strict generalized inequality: $\mathbf{x} \prec_{K} \mathbf{y} \Longleftrightarrow \mathbf{y}-\mathbf{x} \in$ int $K$.
Remark 2.14 The nonnegative orthant $\mathbb{R}{+}^{n}$, which is a polyhedral cone, is also a proper cone (see Figure 2.9). The second-order cone $C=\left{(\mathbf{x}, t) \in \mathbb{R}^{n+1} \mid|\mathbf{x}|{2} \leq\right.$ $t} \subseteq \mathbb{R}^{n+1}$ is also a proper cone (see Figure 2.11).

Example 2.9 The positive semidefinite cone $K=\mathbb{S}{+}^{n}$ is a proper cone in $\mathbb{S}^{n}$. Therefore it can be seen that for any $\mathbf{A}, \mathbf{B} \in \mathbb{S}^{n}, \mathbf{A} \preceq{K} \mathbf{B}$ (or simply denoted by $\mathbf{A} \preceq \mathbf{B}$ only when $K=\mathbb{S}{+}^{n}$ ) if and only if $\mathbf{B}-\mathbf{A} \in K=\mathbb{S}{+}^{n}$ by the definition of $\preceq_{K}$, i.e., $\lambda_{i}(\mathbf{B}-\mathbf{A}) \geq 0$ for all $i$, where $\lambda_{i}(\cdot)$ denotes the $i$ th eigenvalue of a matrix. It can also be shown that for any $\mathbf{A}, \mathbf{B} \in \mathbb{S}{++}^{n}$, $$\mathbf{A} \preceq \mathbf{B} \Leftrightarrow \mathcal{E}{\mathbf{A}}=\left{\mathbf{u} \mid \mathbf{u}^{T} \mathbf{A}^{-1} \mathbf{u} \leq 1\right} \subseteq \mathcal{E}{\mathbf{B}}$$ where both $\mathcal{E}{\mathrm{A}}$ and $\mathcal{E}{\mathrm{B}}$ are ellipsoids centered at the origin (cf. (2.37)). The proof of (2.79) is straightforward by (2.80) which is proven in Remark $2.15$ below. For instance, supposing that $\mathbf{B}=\mathbf{I}{2} \in \mathbb{S}{++}^{2}$, and $\mathbf{A} \in \mathbb{S}{++}^{2}$ with $\lambda_{i}(\mathbf{A}) \leq 1, i=$ 1,2 , it can be seen that $\mathbf{A} \preceq \mathbf{B} ; \mathcal{E}{\mathbf{B}}$ is a Euclidean ball with center at the origin and radius equal to unity, and $\mathcal{E}{\mathbf{A}}$, an ellipsoid with center at the origin and the maximum semiaxis length less than or equal to unity, is contained in $\mathcal{E}_{\mathbf{B}}$.

## 数学代写|凸优化作业代写Convex Optimization代考| Perspective function and linear-fractional function

$$\boldsymbol{p}(\mathbf{z}, t)=\frac{\mathbf{z}}{t} .$$

$$\theta(\mathbf{z} 1, t 1)+(1-\theta)(\mathbf{z} 2, t 2)=\left(\theta \mathbf{z} 1+(1-\theta) \mathbf{z} 2, \theta t_{1}+(1-\theta) t_{2}\right) \in C$$

$$\frac{\theta \mathbf{z} 1+(1-\theta) \mathbf{z} 2}{\theta t_{1}+(1-\theta) t_{2}} \in \boldsymbol{p}(C)$$

$$\mu=\frac{\theta t_{1}}{\theta t_{1}+(1-\theta) t_{2}} \in[0,1]$$

$$\frac{\theta \mathbf{z} 1+(1-\theta) \mathbf{z} 2}{\theta t_{1}+(1-\theta) t_{2}}=\mu \frac{\mathbf{z} 1}{t 1}+(1-\mu) \frac{\mathbf{z} 2}{t 2} \in \boldsymbol{p}(C)$$

## 数学代写|凸优化作业代写Convex Optimization代考| Generalized inequalities

$\mathrm{A}$ 锥 $K \subseteq \mathbb{R}^{n}$ 如果它满足以下条件，则称为适当的雉体:

• $K$ 是凸的。
• $K$ 已关闭。
• $K$ 是固体，这意味着它具有非空的内部。
• $K$ 是指向的，这意味着它不包含任何线条（或等效地， $\mathbf{x} \in$ $K,-\mathrm{x} \in K \Rightarrow \mathrm{x}=0)$
适当的锥体 $K$ 可以用来定义 “广义不等式”，它是 $\mathbb{R}^{n}$ (意味着并非所有向量对都在 $\mathbb{R}^{n}$ 具有
可比性），它具有许多排序属性 $\mathbb{R}$.与真圆锥相关的广义不等式 $K$ 可以用
非严格广义不等式来定义: $\mathbf{x} \preceq K \mathbf{y} \Longleftrightarrow \mathbf{y}-\mathbf{x} \in K$.
严格广义不等式: $\mathbf{x} \prec_{K} \mathbf{y} \Longleftrightarrow \mathbf{y}-\mathbf{x} \in$ 整型 $K$.
注 $2.14$ 非负数 $\mathbb{R}+{ }^{n}$ ，这是一个多面体雉体，也是一个合适的圆雉体 (见图2.9) 。二阶雉
体 也是一个合适的圆锥体 (见图2.11)。
例 $2.9$ 正半定性雉体 $K=\mathbb{S}+^{n}$ 是一个适当的圆雉体 $\mathbb{S}^{n}$. 因此，可以看出，对于任何
$\mathbf{A}, \mathbf{B} \in \mathbb{S}^{n}, \mathbf{A} \preceq K \mathbf{B}$ （或简单地表示为 $\mathbf{A} \preceq \mathbf{B}$ 仅当 $K=\mathbb{S}+{ }^{n}$ ) 当且仅当
$\mathbf{B}-\mathbf{A} \in K=\mathbb{S}+{ }^{n}$ 根据以下定义 $_{K}$ ，即 $\lambda_{i}(\mathbf{B}-\mathbf{A}) \geq 0$ 面向所有人 $i$ 哪里 $\lambda_{i}(\cdot)$ 表
示 $i$ 矩阵的特征值。也可以证明，对于任何 $\mathbf{A}, \mathbf{B} \in \mathbb{S}++^{n}$ ，
其中两者兼而有之 $\mathcal{E A}$ 和 $\mathcal{E} \mathrm{B}$ 是以原点为中心的椭球体（参见（2.37））。（2.79）的证
明由 (2.80) 直接证明，这在畕注中得到了证明 $2.15$ 下面。例如，假设
$\mathbf{B}=\mathbf{I} 2 \in \mathbb{S}++^{2}$ 和 $\mathbf{A} \in \mathbb{S}++^{2}$ 跟 $\lambda_{i}(\mathbf{A}) \leq 1, i=1 ， 2$ ，可以看出 $\mathbf{A} \preceq \mathbf{B} ; \mathcal{E} \mathbf{B}$ 是
一个欧几里得球，其中心在原点和半径处等于单位，并且 $\mathcal{E} \mathbf{A}$, 以原点为中心且最大半轴
长度小于或等于单位的椭球体包含在 $\mathcal{E}_{\mathrm{B}}$.

## 有限元方法代写

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