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拓扑学是数学的一个分支,有时被称为 “橡胶板几何”,在这个分支中,如果两个物体可以通过弯曲、扭曲、拉伸和收缩等空间运动连续变形为彼此,同时不允许撕开或粘在一起的部分,则被认为是等效的。
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数学代写|拓扑学代写Topology代考|The Hopf fibration and polarization
One additional important example of a fiber bundle that comes up often in physics is the Hopf bundle. Recall that $S U(2)$ is the group of $2 \times 2$ special unitary matrices, the unitary matrices with determinant equal to $+1$. An element $s$ of $S U(2)$ can be viewed as a two-by-two complex matrix of the form:
$$
s=\left(\begin{array}{cc}
\alpha & -\beta^{} \ \beta & \alpha^{}
\end{array}\right),
$$
where $|\alpha|^{2}+|\beta|^{2}=1$. The reader can readily verify that
$$
s^{\dagger} s=1 \quad \text { and } \operatorname{Det}(s)=1 .
$$
Notice that the pair of complex numbers $\alpha$ and $\beta$ define a unit vector in $\mathbb{R}^{4}$; in other words, a point on the surface of the three-dimensional unit sphere $S^{3}$. We therefore have an isomorphism between the unitary group and the three-sphere, $S U(2) \sim S^{3}$.
Starting from $s \in S U(2)$, we now define a three-dimensional vector $x \in \mathbb{R}^{3}$ whose components are given by
$$
x^{i}=\frac{1}{2} \operatorname{Tr}\left(\sigma_{i} S \sigma_{3} S^{-1}\right),
$$
where $\sigma_{i}$ are the three Pauli matrices. This vector is a unit vector, $|x|^{2}=1$, which means that the mapping $\pi: s \rightarrow \boldsymbol{x}$ is a map between spheres,
$$
\pi: S^{3} \rightarrow S^{2} \text {. }
$$
This is a two-to-one mapping, since $s$ and $-s$ both project onto the same $\boldsymbol{x} \in S^{2}$. Explicitly, the mapping between $\boldsymbol{x}$ and $s$ is given by:
$$
\begin{gathered}
\alpha=\cos |x|+i x^{3} \sin |x| \
\beta=\left(i x^{1}-x^{2}\right) \sin |x|
\end{gathered}
$$
or equivalently,
$$
\begin{aligned}
&x^{1}=\operatorname{Re}\left(2 \alpha^{} \beta\right) \ &x^{2}=\operatorname{Im}\left(2 \alpha^{} \beta\right)
\end{aligned}
$$ $x^{3}=|\alpha|^{2}-|\beta|^{2} .$
数学代写|拓扑学代写Topology代考|Euler characteristic
For a manifold $M$, the Euler-Poincaré characteristic (often simply called the Euler characteristic) can be defined via triangulations. Every sufficiently well-behaved space can be given a triangulation; we describe the idea for two dimensions, but a similar process can be carried out in higher dimensions.
Cover a two-dimensional surface $\mathcal{S}$ by a network of line segments or curved arcs called edges, which join up at a set of points, called vertices. Together, the lines and edges form a graph on the surface (figure 5.1). Arrange the vertices and edges so that the entire surface is covered by a set of triangles enclosed by the edges, with the vertices lying at the corners of the triangles. These triangles are called faces. Let $E, F$, and $V$ represent the number of edges, faces, and vertices in this triangulation. Then the Euler characteristic for the surface is defined by the formula
$$
\chi(S)=F-F+V
$$
Notice that the sign alternates with dimension: the even dimensional vertices and faces come with plus signs, the odd dimensional edges come with a minus sign. For a more general manifold $M$, the pattern will continue with higher dimensional objects added into the alternating sum: $\chi(M)=\sum_{n}(-1)^{n} b_{n}$, where $b_{n}$ is the $n$th Betti number (the rank of the $n$th homology group).
The Euler characteristic is in fact independent of the triangulation: any triangulation that can be drawn on the surface will give the same result. This is easy enough to see through examples. Starting from a surface with some triangulation already given on it, and consider what happens when the triangulation is changed by adding an additional vertex and corresponding edges, as in figure 5.2. When we add the new vertex, this requires adding three new edges, which in turn replaces the original face inside which the vertex was added by three smaller faces. So
$$
V \rightarrow V+1, \quad E \rightarrow E+3, \quad F \rightarrow F+2,
$$
which results in
$$
\chi=F-E+V \rightarrow(F+2)-(E+3)+(V+1)=F-E+V=\chi .
$$
拓扑学代考
数学代写|拓扑学代写Topology代考|The Hopf fibration and polarization
物理学中经常出现的纤维束的另一个重要例子是 Hopf 束。回顾 $S U(2)$ 是一组 $2 \times 2$ 特殊酉 矩阵,行列式等于的酉矩阵 $+1$ 一个元责 $s$ 的 $S U(2)$ 可以看作是一个 $2 \times 2$ 复数矩阵,形式如 下:
$$
s=\left(\begin{array}{lll}
\alpha & -\beta \beta & \alpha
\end{array}\right),
$$
在吰里 $|\alpha|^{2}+|\beta|^{2}=1$. 读者可以很容易地验证
$$
s^{\dagger} s=1 \quad \text { and } \operatorname{Det}(s)=1 .
$$
请注意,这对复数 $\alpha$ 和 $\beta$ 定义一个单位向量 $\mathbb{R}^{4}$; 也就是说,三維单位球面上的一个点 $S^{3}$. 因 此,我们在酉群和三球体之间存在同构, $S U(2) \sim S^{3}$.
从…开始 $s \in S U(2)$ ,我们现在定义一个三维向量 $x \in \mathbb{R}^{3}$ 其组件由下式给出
$$
x^{i}=\frac{1}{2} \operatorname{Tr}\left(\sigma_{i} S \sigma_{3} S^{-1}\right),
$$
在哪里 $\sigma_{i}$ 是三个泡利矩阵。这个向量是一个单位向量, $|x|^{2}=1$ ,这意味着映射 $\pi: s \rightarrow \boldsymbol{x}$ 是球体之间的地图,
$$
\pi: S^{3} \rightarrow S^{2} .
$$
这是一个二对一的映射,因为 $s$ 和 $-s$ 两者都投射到同一个 $\boldsymbol{x} \in S^{2}$. 明确地,之间的映射 $\boldsymbol{x}$ 和 $s$ 是 (谁) 给的:
$$
\alpha=\cos |x|+i x^{3} \sin |x| \beta=\left(i x^{1}-x^{2}\right) \sin |x|
$$
或等效地,
$$
x^{1}=\operatorname{Re}(2 \alpha \beta) \quad x^{2}=\operatorname{Im}(2 \alpha \beta)
$$
$$
x^{3}=|\alpha|^{2}-|\beta|^{2} .
$$
数学代写|拓扑学代写Topology代考|Euler characteristic
对于歧管 $M$ ,欧拉-庞加莱特征 (通常简称为欧拉特征) 可以通过三角剖分来定义。每个足 够良好的空间都可以进行三角剖分;我们描述了二维的想法,但类似的过程可以在更高的维 度上进行。
覆盖二维表面 $\mathcal{S}$ 通过称为边的线段或弯曲弧的网络,它们在一组称为顶点的点处连接。线和 边一起在表面上形成一个图形 (图 5.1) 。排列顶点和边,使整个表面被一组由边包围的三 角形覆盖,顶点位于三角形的角上。这些三角形称为面。让 $E, F$ ,和 $V$ 表示此三角剖分中 边、面和顶点的数量。然后表面的欧拉特征由公式定义
$$
\chi(S)=F-F+V
$$
请注意,符号与维度交替: 偶数维度的顶点和面带有加号,奇数维度的边带有负号。对于更 一般的流形 $M ,$ 该模式将继续将高维对象添加到交坦总和中: $\chi(M)=\sum_{n}(-1)^{n} b_{n}$ , 在哪里 $b_{n}$ 是个 $n$th Betti 数 ( $n$ th同源组)。
欧拉特性实际上与三角剖分无关:任何可以在曲面上绘制的三角剖分都会給出相同的结果。 这很容易通过示例看到。从已经给出了一些三角剖分的曲面开始,并考慮通过添加额外的顶 点和相应的边来更改三角剖分时会发生什么,如图 $5.2$ 所示。当我们添加新顶点时,这需要 添加三个新边,这反过来又用三个较小的面萡换了在其中添加顶点的原始面。所以
$$
V \rightarrow V+1, \quad E \rightarrow E+3, \quad F \rightarrow F+2,
$$
这导致
$$
\chi=F-E+V \rightarrow(F+2)-(E+3)+(V+1)=F-E+V=\chi
$$
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金融工程代写
金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题,以及设计新的和创新的金融产品。
非参数统计代写
非参数统计指的是一种统计方法,其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型;这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。
广义线性模型代考
广义线性模型(GLM)归属统计学领域,是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。
术语 广义线性模型(GLM)通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归,以及方差分析和方差分析(仅含固定效应)。
有限元方法代写
有限元方法(FEM)是一种流行的方法,用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。
有限元是一种通用的数值方法,用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程(即一些边界值问题)。为了解决一个问题,有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分,称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的,它是通过构建对象的网格来实现的:用于求解的数值域,它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统,以模拟整个问题。然后,有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。
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随机分析代写
随机微积分是数学的一个分支,对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。
时间序列分析代写
随机过程,是依赖于参数的一组随机变量的全体,参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现,其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值(如1秒,5分钟,12小时,7天,1年),因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中,往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录,以得到其自身发展的规律。
回归分析代写
多元回归分析渐进(Multiple Regression Analysis Asymptotics)属于计量经济学领域,主要是一种数学上的统计分析方法,可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系,在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。
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MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中,其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括:数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发,包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统,其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题,尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题,而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问,这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展,得到了许多用户的投入。在大学环境中,它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域,MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要,工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数(M 文件)的综合集合,可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。