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拓扑学是数学的一个分支，有时被称为 “橡胶板几何”，在这个分支中，如果两个物体可以通过弯曲、扭曲、拉伸和收缩等空间运动连续变形为彼此，同时不允许撕开或粘在一起的部分，则被认为是等效的。

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• Longitudinal Data Analysis 纵向数据分析
• Foundations of Data Science 数据科学基础

数学代写|拓扑学代写Topology代考|Constructing a GIC

One may wonder how to efficiently construct the graph induced complexes in practice. Experiments show that the following procedure runs quite efficiently in practice. It takes advantage of computing nearest neighbors within a range and, more importantly, computing cliques only in a sparsified graph.

Let the ball $B(q, \delta)$ in metric d be called the $\delta$-cover for the point $q$. A graph induced complex $\mathcal{G}^\alpha(P, Q$, d) where $Q$ is a $\delta$-sparse $\delta$-sample can be built easily by identifying $\delta$-covers with a rather standard greedy (farthest point) iterative algorithm. Let $Q_i=\left{q_1, \ldots, q_i\right}$ be the point set sampled so far from $P$. We maintain the invariants (i) $Q_i$ is $\delta$-sparse and (ii) every point $p \in P$ that is in the union of $\delta$-covers $\bigcup_{q \in Q_i} B(q, \delta)$ has its closest point $v(p) \in \operatorname{argmin}{q \in Q_i} \mathrm{~d}(p, q)$ in $Q_i$ identified. To augment $Q_i$ to $Q{i+1}=Q_i \cup\left{q_{i+1}\right}$, we choose a point $q_{i+1} \in P$ that is outside the $\delta$ covers $\bigcup_{q \in Q_i} B(q, \delta)$. Certainly, $q_{i+1}$ is at least $\delta$ units away from all points in $Q_i$ thus satisfying the first invariant. For the second invariant, we check every point $p$ in the $\delta$-cover of $q_{i+1}$ and update $v(p)$ to include $q_{i+1}$ if its distance to $q_{i+1}$ is smaller than the distance $\mathrm{d}(p, v(p))$. At the end, we obtain a sample $Q \subseteq P$ whose $\delta$-covers cover the entire point set $P$ and thus is a $\delta$ sample of $(P, \mathrm{~d})$ which is also $\delta$-sparse due to the invariants maintained. Next, we construct the simplices of $\mathcal{G}^\alpha(P, Q, \mathrm{~d})$. This needs identifying cliques in $G^\alpha(P)$ that have vertices with different closest points in $Q$. We delete every edge $p p^{\prime}$ from $G^\alpha(P)$ where $v(p)=v\left(p^{\prime}\right)$. Then, we determine every clique $\left{p_1, \ldots p_k\right}$ in the remaining sparsified graph and include the simplex $\left{v\left(p_1\right), \ldots, v\left(p_k\right)\right}$ in $\mathcal{G}^\alpha(P, Q, \mathrm{~d})$. The main saving here is that many cliques of the original graph are removed before it is processed for clique computation.
Next, we focus on the second topic of this chapter, namely homology groups. They are algebraic structures to quantify topological features in a space. They do not capture all topological aspects of a space in the sense that two spaces with the same homology groups may not be topologically equivalent. However, two spaces that are topologically equivalent must have isomorphic homology groups. It turns out that the homology groups are computationally tractable in many cases, thus making them more attractive in topological data analysis. Before we introduce their definition and variants in Section 2.5, we need the important notions of chains, cycles, and boundaries given in the following section.

数学代写|拓扑学代写Topology代考|Algebraic Structures

First, we recall briefly the definitions of some standard algebraic structures that are used in the book. For details we refer the reader to any standard book on algebra, for example, [14].

Definition 2.18. (Group; Homomorphism; Isomorphism) A set $G$ together with a binary operation “+” is a group if it satisfies the following properties: (i) for every $a, b \in G, a+b \in G$; (ii) for every $a, b, c \in G$, $(a+b)+c=a+(b+c)$; (iii) there is an identity element denoted 0 in $G$ so that $a+0=0+a=a$ for every $a \in G$; and (iv) there is an inverse $-a \in G$ for every $a \in G$ so that $a+(-a)=0$. If the operation “+” commutes, that is, $a+b=b+a$ for every $a, b \in G$, then $G$ is called abelian. A subsèt $H \subseteq G$ is a subgroup of $(G,+)$ if $(H,+)$ is also a group.

Definition 2.19. (Free abelian group; Basis; Rank; Generator) An abelian group $G$ is called free if there is a subset $B \subseteq G$ so that every element of $G$ can be written uniquely as a finite sum of elements in $B$ and their inverses disregarding trivial cancellations $a+b=a+c-c+b$. Such a set $B$ is called a basis of $G$ and its cardinality is called its rank. If the condition of uniqueness is dropped, then $B$ is called a generator of $G$ and we also say that $B$ generates $G$.

Definition 2.20. (Coset; Quotient) For a subgroup $H \subseteq G$ and an element $a \in G$, the left coset is $a H={a+b \mid b \in H}$ and the right coset is $H a={b+a \mid b \in H}$. For abelian groups, the left and right cosets are identical and hence are simply called cosets. If $G$ is abelian, the quotient group of $G$ with a subgroup $H \subseteq G$ is given by $G / H={a H \mid a \in G}$ where the group operation is inherited from $G$ as $a H+b H=(a+b) H$ for every $a, b \in G$.

Definition 2.21. (Homomorphism; Isomorphism; Kernel; Image; Cokernel) A map $h: G \rightarrow H$ between two groups $(G,+)$ and $(H, *)$ is called a homomorphism if $h(a+b)=h(a) * h(b)$ for every $a, b \in G$. If, in addition, $h$ is bijective, it is called an isomorphism. Two groups $G$ and $H$ with an isomorphism are called isomorphic and denoted as $G \cong H$. The kernel, image, and cokernel of a homomorphism $h: G \rightarrow H$ are defined as subgroups ker $h={a \in G \mid h(a)=0}, \operatorname{Im} h={b \in H \mid \exists a \in G$ with $h(a)=b}$, and the quotient group coker $h=H /$ im $h$, respectively.

拓扑学代考

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人们可能想知道如何在实践中有效地构建图诱导复合 体。实验表明，以下过程在实践中运行得相当有效。它 利用计算范围内的最近邻居，更重要的是，仅在稀疏图 中计算派系。
让球 $B(q, \delta)$ 在公制 d 中称为 $\delta$ – 覆盖点 $q$. 图诱导复杂 $\mathcal{G}^\alpha(P, Q$ ， d) 其中 $Q$ 是一个 $\delta$-疏 $\delta$-可以通过识别轻松构 建示例 $\delta$-覆盖了相当标准的贪婪 (最远点) 迭代算法。 让Q_i=Vleft{q_1，Vdots, q_ilright $}$ 是到目前为止采样的点 集 $P$. 我们维护不变量 (i) $Q_i$ 是 $\delta$-稀疏和（ii) 每个点 $p \in P$ 那是在联合 $\delta$-盖子 $\bigcup_{q \in Q_i} B(q, \delta)$ 有它的最近点 $v(p) \in \operatorname{argmin} q \in Q_i \mathrm{~d}(p, q)$ 在 $Q_i$ 确定。增加 $Q_i$ $q_{i+1} \in P$ 那是在 $\delta$ 盖子 $\bigcup_{q \in Q_i} B(q, \delta)$. 当然， $q_{i+1}$ 至 少是 $\delta$ 距离所有点的单位 $Q_i$ 从而满足第一个不变量。对 于第二个不变量，我们检查每个点 $p$ 在里面 $\delta$-的封面 $q_{i+1}$ 并更新 $v(p)$ 包括 $q_{i+1}$ 如果它的距离 $q_{i+1}$ 小于距离 $\mathrm{d}(p, v(p))$. 最后，我们得到一个样本 $Q \subseteq P$ 谁的 $\delta$ covers 覆盖整个点集 $P$ 因此是一个 $\delta$ 样品的 $(P, \mathrm{~d})$ 这也 是 $\delta$-由于保持不变量而稀疏。接下来，我们构造单纯形 $\mathcal{G}^\alpha(P, Q, \mathrm{~d})$. 这需要识别派系 $G^\alpha(P)$ 具有不同最近点 的顶点 $Q$. 我们删除每条边 $p p^{\prime}$ 从 $G^\alpha(P)$ 在哪里$v(p)=v\left(p^{\prime}\right)$. 然后，我们确定每个集团
Ileft{p_1, Idots p_klright} 在剩余的稀疏图中并包括单纯 $\mathcal{G}^\alpha(P, Q, \mathrm{~d})$. 这里的主要节省是原始图的许多团在处 理团计算之前被删除。
接下来，我们关注本章的第二个主题，即同源群。它们 是量化空间中拓扑特征的代数结构。它们不捕获空间的 所有拓扑方面，因为具有相同同源群的两个空间可能在 拓扑上不等价。但是，拓扑等价的两个空间必然有同构 同调群。事实证明，同调群在许多情况下在计算上易于 处理，从而使它们在拓扑数据分析中更具吸引力。在 $2.5$ 节中介绍它们的定义和变体之前，我们需要在下一 节中给出链、环和边界的重要概念。

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首先，我们简要回顾一下书中使用的一些标准代数结构 的定义。有关详细信息，我们建议读者阅读任何有关代 数的标准书籍，例如 [14]。
定义 2.18。(群；同态; 同构) 一个集合 $G$ 连同二元运 算“+”是一个群，如果它满足以下性质: (i) 对于每个 $a, b \in G, a+b \in G$; (ii) 对于每个 $a, b, c \in G$ ， $(a+b)+c=a+(b+c)$; (iii) 中有一个标识为 0 的 元素 $G$ 以便 $a+0=0+a=a$ 每一个 $a \in G$; (iv) 有 一个逆 $-a \in G$ 每一个 $a \in G$ 以便 $a+(-a)=0$. 如 果操作”+”通勤，即 $a+b=b+a$ 每一个 $a, b \in G$ ， 然后 $G$ 称为阿贝尔。子集 $H \subseteq G$ 是一个子群 $(G,+)$ 如 果 $(H,+)$ 也是一个群体。
定义 2.19。（自由阿贝尔群；基；秩; 生成器) 阿贝尔 群 $G$ 如果有一个子集，则称为自由 $B \subseteq G$ 这样每一个元 素 $G$ 可以唯一地写成元素的有限和 $B$ 和他们的反面忽略 了微不足道的取消 $a+b=a+c-c+b$. 这样一套 $B$ 被称为的基础 $G$ 它的基数称为它的等级。如果放弃唯 一性条件，则 $B$ 称为生成器 $G$ 我们也说 $B$ 产生 $G$.
定义 2.20。(Coset; Quotient) 对于一个子群 $H \subseteq G$ 和 一个元素 $a \in G$, 左陪集是 $a H=a+b \mid b \in H$ 右陪 集是 $H a=b+a \mid b \in H$. 对于阿贝尔群，左右陪集 是相同的，因此简称为陪集。如果 $G$ 是交换群，商群是 $G$ 有一个子群 $H \subseteq G$ 是 (谁) 给的 $G / H=a H \mid a \in G$ 组操作继承自 $G$ 作为 $a H+b H=(a+b) H$ 每一个 $a, b \in G$.
定义 2.21。(Homomorphism; Isomorphism; Kernel;
Image; Cokernel) 地图 $h: G \rightarrow H$ 两组之间 $(G,+)$ 和 $(H, *)$ 称为同态如果 $h(a+b)=h(a) * h(b)$ 每一个 $a, b \in G$. 如果，此外， $h$ 是双射的，称为同构。两组 $G$ 和 $H$ 具有同构的称为同构并表示为 $G \cong H$. 同态的内 核、图像和上核 $h: G \rightarrow H$ 被定义为子群ker $h=a \in G|h(a)=0, \operatorname{Im} h=b \in H| \exists a \in G \$$ with $\$ h$ ，和商群 cokerh $h=H /$ 在里面 $h$ ，分别。

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金融工程代写

金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题，以及设计新的和创新的金融产品。

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语 广义线性模型（GLM）通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归，以及方差分析和方差分析（仅含固定效应）。

有限元方法代写

有限元方法（FEM）是一种流行的方法，用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法，用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程（即一些边界值问题）。为了解决一个问题，有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分，称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的，它是通过构建对象的网格来实现的：用于求解的数值域，它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统，以模拟整个问题。然后，有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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随机分析代写

随机微积分是数学的一个分支，对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。

时间序列分析代写

随机过程，是依赖于参数的一组随机变量的全体，参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现，其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值（如1秒，5分钟，12小时，7天，1年），因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中，往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录，以得到其自身发展的规律。

回归分析代写

多元回归分析渐进（Multiple Regression Analysis Asymptotics）属于计量经济学领域，主要是一种数学上的统计分析方法，可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系，在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。