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拓扑学是数学的一个分支，有时被称为 “橡胶板几何”，在这个分支中，如果两个物体可以通过弯曲、扭曲、拉伸和收缩等空间运动连续变形为彼此，同时不允许撕开或粘在一起的部分，则被认为是等效的。

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数学代写|拓扑学代写Topology代考|Cycle and Boundary Groups

Definition 2.25. (Cycle; Cycle group) A $p$-chain $c$ is a $p$-cycle if $\partial c=0$. In words, a chain that has empty boundary is a cycle. All p-cycles together form the $p$-th cycle group $Z_p$ under the addition that is used to define the chain groups. In terms of the boundary operator, $\mathbf{Z}p$ is the subgroup of $\mathbf{C}_p$ which is sent to the zero of $C{p-1}$, that is, $\operatorname{ker} \partial_p=Z_p$.

For example, in Figure 2.9(b), the 1-chain $a b+b c+c a$ is a 1-cycle since
$$
\partial_1(a b+b c+c a)=(a+b)+(b+c)+(c+a)=0 .
$$
Also, observe that the above 1-chain is the boundary of the triangle $a b c$. It is no accident that the boundary of a simplex is a cycle. Thanks to Proposition 2.8, the boundary of a $p$-chain is a $(p-1)$-cycle. This is a fundamental fact in homology theory.

The set of $(p-1)$-chains that can be obtained by applying the boundary operator $\partial_p$ on $p$-chains forms a subgroup of $(p-1)$-chains, called the ( $p-1)$-th boundary group $\mathrm{B}{p-1}=\partial_p\left(\mathrm{C}_p\right)$; or, in other words, the image of the boundary homomorphism is the boundary group, $\mathrm{B}{p-1}=\operatorname{im} \partial_p$. We have $\partial_{p-1} \mathrm{~B}{p-1}=0$ for $p>0$ due to Proposition $2.8$ and hence $\mathrm{B}{p-1} \subseteq \mathbf{Z}_{p-1}$. Figure $2.10$ illustrates cycles and boundaries.

数学代写|拓扑学代写Topology代考|Homology

The homology groups classify the cycles in a cycle group by putting together those cycles in the same class that differ by a boundary. From a group theoretic point of view, this is done by taking the quotient of the cycle groups with the boundary groups, which is allowed since the boundary group is a subgroup of the cycle group.

Definition 2.26. (Homology group) For $p \geq 0$, the $p$-th homology group is the quotient group $\mathrm{H}_p=\mathrm{Z}_p / \mathrm{B}_p$. Since we use a field, namely $\mathbb{Z}_2$, for coefficients, $\mathrm{H}_p$ is a vector space and its dimension is called the $p$-th Betti number, denoted by $\beta_p:$
$$
\beta_p:=\operatorname{dim} \mathrm{H}_p .
$$
Every element of $\mathrm{H}_p$ is obtained by adding a $p$-cycle $c \in Z_p$ to the entire boundary group, $c+\mathbf{B}_p$, which is a coset of $\mathbf{B}_p$ in $\mathbf{Z}_p$. All cycles constructed by adding an element of $\mathrm{B}_p$ to $c$ form the class $[c]$, referred to as the homology class of $c$. Two cycles $c$ and $c^{\prime}$ in the same homology class are called homologous, which also means $[c]=\left[c^{\prime}\right]$. By definition, $[c]=\left[c^{\prime}\right]$ if and only if $c \in c^{\prime}+\mathrm{B}_p$, and under $\mathbb{Z}_2$ coefficients, this also means that $c+c^{\prime} \in \mathbf{B}_p$. For example, in Figure $2.10$, the outer cycle $c_5$ is homologous to the sum $c_2+c_4$ because they together bound the 2 -chain consisting of all triangles. Also, obseerve that the group operation for $\mathrm{H}_p$ is defined by $[c]+\left[c^{\prime}\right]=\left[c+c^{\prime}\right.$.
Example 2.1. Consider the boundary complex $K$ of a tetrahedron which consists of four triangles, six edges, and four vertices. Consider the 0 -skeleton $\mathrm{K}^0$ of $K$ which consists of four vertices only (see Figure 2.11a). All four vertices whose classes coincide with them are necessary to generate $\mathrm{H}_0\left(K^0\right)$. Therefore, these four vertices form a basis of $\mathrm{H}_0\left(K^0\right)$. However, one can verify that $\mathrm{H}_0\left(K^1\right)$ for the 1-skeleton $K^1$ is generated by any one of the four vertices because all four vertices belong to the same class when we consider $K^1$. This exemplifies the fact that the rank of $\mathrm{H}_0(K)$ captures the number of connected components in a complex $K$.

拓扑学代考

数学代写|拓扑学代写Topology代考|Cycle and Boundary Groups

定义 2.25。(循环；循环组) $A p$-链 $c$ 是一个 $p$-循环如果 $\partial c=0$. 换句话说，具有空边界的链是一个循环。所有 $\mathrm{p}$ 循环一起形成 $p$-th循环组 $Z_p$ 在用于定义链组的添加项 下。就边界算子而言， $\mathbf{Z} p$ 是的子群 $\mathbf{C}p$ 这是发送到零 $C p-1$ ，那是， $\operatorname{ker} \partial_p=Z_p$. 例如，在图 2.9(b) 中，1-chainab $b c+c a$ 是 1 个循 $$ \partial_1(a b+b c+c a)=(a+b)+(b+c)+(c+a)=0 $$ 另外，观察上面的 1-chain 是二角形的边界 $a b c$. 单纯形 的边界是圈并不是偶然的。由于提案 2.8，a 的边界 $p$-链 是一个 $(p-1)$-循环。这是同源理论中的一个基本事 实。 该组的 $(p-1)$-可以通过应用边界运算符获得的链 $\partial_p$ 在 $p$-链形成一个子群 $(p-1)$-链，称为 $(p-1)$-th 边界组 $\mathrm{B} p-1=\partial_p\left(\mathrm{C}_p\right)$; 或者换句话说，边界同态的图像 是边界群， $\mathrm{B} p-1=\operatorname{im} \partial_p$. 我们有 $\partial{p-1} \mathrm{~B} p-1=0$ 为了 $p>0$ 由于提议 $2.8$ 因此 $\mathrm{B} p-1 \subseteq \mathbf{Z}_{p-1}$. 数字 $2.10$ 说明循环和边界。

数学代写|拓扑学代写Topology代考|Homology

同源组通过将边界不同的那些循环放在同一类中来对循 环组中的循环进行分类。从群论的角度来看，这是通过 取循环群与边界群的商来完成的，这是允许的，因为边 界群是循环群的子群。
定义 2.26。 (同源群) 对于 $p \geq 0$ ， 这 $p$-th 同调群是商 群 $\mathrm{H}_p=\mathrm{Z}_p / \mathrm{B}_p$. 由于我们使用一个字段，即 $\mathbb{Z}_2$ ，对于 系数 $\mathrm{H}_p$ 是一个向量空间，它的维数称为 $p$-th Betti 数， 表示为 $\beta_p$ :
$$
\beta_p:=\operatorname{dim} \mathrm{H}_p .
$$
每一个元素 $\mathrm{H}_p$ 是通过添加一个 $p$-循环 $c \in Z_p$ 对整个边 界组， $c+\mathbf{B}_p$, 这是一个陪集 $\mathbf{B}_p$ 在 $\mathbf{Z}_p$. 通过添加元素 构造的所有循环 $\mathrm{B}_p$ 到 $c$ 组成班级 $[c]$, 称为同源类 $c$. 两个 周期 $c$ 和 $c^{\prime}$ 在同一同源类别中的称为同源的，这也意味着 $[c]=\left[c^{\prime}\right]$. 根据定义， $[c]=\left[c^{\prime}\right]$ 当且仅当 $c \in c^{\prime}+\mathrm{B}_p$ ，在 $\mathbb{Z}_2$ 系数，这也意味着 $c+c^{\prime} \in \mathbf{B}_p$. 例如，在图 $2.10$ ， 外循环 $c_5$ 与总和同源 $c_2+c_4$ 因为它们一起绑定了 由所有三角形组成的 2 链。另外，观察组操作 $\mathrm{H}_p$ 由定义 $[c]+\left[c^{\prime}\right]=\left[c+c^{\prime}\right.$
示例 2.1。考虑边界复形 $K$ 由四个三角形、六个边和四 个顶点组成的四面体。考虑 0 骨架 $K^0$ 的 $K$ 它仅由四个 顶点组成 (见图 2.11a) 。类与其重合的所有四个顶点 都是生成所必需的 $\mathrm{H}_0\left(K^0\right)$. 因此，这四个顶点构成了 $\mathrm{H}_0\left(K^0\right)$. 但是，可以验证 $\mathrm{H}_0\left(K^1\right)$ 对于 1 骨架 $K^1$ 由 四个顶点中的任何一个生成，因为当我们考虑时所有四 个顶点都属于同一类 $K^1$. 这说明了这样一个事实，即 $\mathrm{H}_0(K)$ 捕获一个复杂的连接组件的数量 $K$.

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金融工程代写

金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题，以及设计新的和创新的金融产品。

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语 广义线性模型（GLM）通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归，以及方差分析和方差分析（仅含固定效应）。

有限元方法代写

有限元方法（FEM）是一种流行的方法，用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法，用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程（即一些边界值问题）。为了解决一个问题，有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分，称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的，它是通过构建对象的网格来实现的：用于求解的数值域，它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统，以模拟整个问题。然后，有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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随机分析代写

随机微积分是数学的一个分支，对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。

时间序列分析代写

随机过程，是依赖于参数的一组随机变量的全体，参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现，其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值（如1秒，5分钟，12小时，7天，1年），因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中，往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录，以得到其自身发展的规律。

回归分析代写

多元回归分析渐进（Multiple Regression Analysis Asymptotics）属于计量经济学领域，主要是一种数学上的统计分析方法，可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系，在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。