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热力学是对热、功、温度和能量之间关系的研究。热力学定律描述了一个系统中的能量如何变化，以及该系统是否能对其周围环境进行有用的工作。

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物理代写|热力学代写thermodynamics代考|Exchange Trapping between Atoms in a Cavity

Let us now consider the effect of a small near-zone difference $\eta_1-\eta_2$ that scales linearly with the separation $R$. This effect is most salient at the pseudocrossing (near-equality) of two eigenvalues in (8.49) (solid curves, Fig. 8.5), namely for $R$ close to the value $R_{\mathrm{c}}$ such that $\omega_{-}\left(R_{\mathrm{c}}\right)=\omega_{\mathrm{A}}\left(R_{\mathrm{c}}\right)$. This equality implies, in view of (8.50), that $\Delta_{12}\left(R_{\mathrm{c}}\right) \sim\left|\eta_1\right|$ for $\left|\omega_0-\omega_{\mathrm{a}}\right| \lesssim 2\left|\eta_1\right|$, or $\Delta_{12}\left(R_{\mathrm{c}}\right) \approx 2 \eta_1^2 /\left|\omega_0-\omega_{\mathrm{a}}\right|$ for $\left|\omega_0-\omega_{\mathrm{a}}\right| \gg 2\left|\eta_1\right|$. In both cases the RDDI-induced and cavity-QED level shifts (or splittings) become comparable.

The strong competition of RDDI and Rabi splittings near $R_{\mathrm{c}}$ modifies the eigenvalues in (8.49), replacing them with the more accurate solutions of (8.48),
$$
\omega_1 \approx \omega_{+}, \quad \omega_{2,3} \approx \frac{1}{2}\left(\omega_{-}+\omega_{\mathrm{A}} \pm \Omega^{\prime}\right)
$$
where
$$
\Omega^{\prime}=\sqrt{V_0^2+\left(\omega_{-}-\omega_{\mathrm{A}}\right)^2}, \quad V_0=\frac{\eta_1^2-\eta_2^2}{\sqrt{\Omega\left(\Omega+\omega_0-\omega_{\mathrm{S}}\right)}} .
$$
Here $\left|V_0\right|$, the minimal splitting between $\omega_2$ and $\omega_3$, determines the width of the pseudocrossing interval, $\left|R_1-R_2\right|$, where $\omega_a\left(R_{1,2}\right)-\omega_{-}\left(R_{1,2}\right)= \pm V_0$. For two atoms far from a node of a sinusoidal mode, $\left|V_0\right| \sim\left|\eta_1\left(\eta_1-\eta_2\right)\right| /\left(\sqrt{8}\left|\eta_1\right|+\right.$ $\left.\left|\omega_0-\omega_{\mathrm{S}}\right|\right)$

Whereas the eigenfunction $\left|\Psi_1\right\rangle=\left|\Psi_{+}\right\rangle$is not affected by the pseudocrossing, $\left|\Psi_{-}\right\rangle$and $\left|\Psi_{\mathrm{A}}\right\rangle$ are strongly mixed near $R_{\mathrm{c}}$. This mixing signifies the complete breaking of the symmetry [Eq. (8.46)], that characterizes the two-atom system subject to RDDI in open space. At $R=R_{\mathrm{c}}$ and for sufficiently large and positive detuning, such that $\omega_0-\omega_{\mathrm{S}} \approx \Omega$, we obtain the limit
$$
\left|\Psi_2\right\rangle \rightarrow\left|e_1 g_2,{0}\right\rangle, \quad\left|\Psi_3\right\rangle \rightarrow\left|e_2 g_1,{0}\right\rangle
$$
in which the excited eigenstates 2 and 3 become uncoupled, due to the interference of $\left|\Psi_{\mathrm{S}}\right\rangle$ and $\left|\Psi_{\mathrm{A}}\right\rangle$. The corresponding excitation-transfer probability undergoes strong suppression in the pseudocrossing interval, as shown by the time-averaged values (solid curves in Fig. 8.6): $\bar{P}2\left(R=R{\mathrm{c}}\right)=3 c_{+}^2 / 8 \ll 1$ and $\bar{P}1(R=$ $\left.R{\mathrm{c}}\right)=1-c_{+}+(3 / 8) c_{+}^2$, tending to 1 with the increase of $\omega_0-\omega_{\mathrm{S}}$, where $c_{+}=$ $\left[1+\left(\omega_{\mathrm{S}}-\omega_0\right) / \Omega\right] / 2$. The excitation is then strongly trapped at the initial atom, owing to the decoupling of the excited eigenstates.

物理代写|热力学代写thermodynamics代考|Model and Dynamics

We here consider $N$ noninteracting spin-1/2 particles or atomic TLS that are identically, linearly coupled to a bosonic (oscillator) bath via $\sigma_z$ (unlike $\sigma_x$ in the Dicke model). In the collective basis, the many-body Hamiltonian has the following form, without the RWA,
$$
H=H_{\mathrm{S}}+H_{\mathrm{B}}+H_{\mathrm{I}},
$$

where
$$
H_{\mathrm{S}}=\hbar \omega_x \hat{J}x, \quad H{\mathrm{B}}=\hbar \sum_k \omega_k a_k^{\dagger} a_k, \quad H_{\mathrm{I}}=\hbar \hat{J}z \sum_k \eta_k\left(a_k+a_k^{\dagger}\right) $$ Here the notation is as in Chapter 7 , particularly, $a_k^{\dagger}$ and $a_k$ are the creation and annihilation bosonic operators of the $k$ th bath mode, and the collective spin operators in $H{\mathrm{S}}$ and $H_1$ are, as before, $\hat{J}_i=(1 / 2) \sum_j \sigma_j^i(i=x, y, z)$.

The bath interacts separately with each subspace of the system labeled by the total-spin value $J$, since $H$ commutes with $\hat{J}^2=\sum_i \hat{J}_i^2$. It is thus sufficient to study the interaction of the bath with a $(2 J+1)$-dimensional system.

The noncommutativity of $\hat{J}x$ and $\hat{J}_z$ in (8.59) renders the dynamics of the system insolvable. In order to circumvent this difficulty, we prepare the system in an eigenstate of $\hat{J}_x=(1 / 2) \sum_k \sigma_k^x$ (a superposition of $\hat{J}_z$ eigenstates) and then switch off $H{\mathrm{S}}=\omega_x \hat{J}_x$. Equivalently, at time $t=0$ each spin is prepared in a superposition of its $\sigma_k^z$ (energy) eigenstates, so that the total system is initially in a product of such superposition states. The individual spins are then uncorrelated (unentangled). The initial state of the system can then be written as
$$
|\Psi(0)\rangle \equiv|\theta, \phi\rangle=\left|\psi_1\right\rangle \otimes\left|\psi_2\right\rangle \cdots\left|\psi_N\right\rangle
$$
with
$$
\left|\psi_j\right\rangle=\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\cos \frac{\theta}{2}|\uparrow\rangle+\sin \frac{\theta}{2} e^{i \phi}|\downarrow\rangle\right)
$$
where $\theta$ and $\phi$ are the spherical coordinates of the average particle spin. This state is an eigenstate of the collective spin operator $\hat{\boldsymbol{J}} \cdot \hat{\boldsymbol{n}}, \hat{\boldsymbol{n}}$ being the unit vector corresponding to the angles $\theta$ and $\phi$.

热力学代写

物理代写|热力学代写thermodynamics代考|Exchange Trapping between Atoms in a Cavity

$\eta_1-\eta_2$ 与分离成线性比例 $R$. 这种效应在 (8.49) 中两个 特征值的伪交叉 (接近相等) 处最为显着 (实线，图 8.5），即 $R$ 接近价值 $R_{\mathrm{c}}$ 这样 $\omega_{-}\left(R_{\mathrm{c}}\right)=\omega_{\mathrm{A}}\left(R_{\mathrm{c}}\right)$. 鉴 于 (8.50)，该等式意味着 $\Delta_{12}\left(R_{\mathrm{c}}\right) \sim\left|\eta_1\right|$ 为了 $\left|\omega_0-\omega_{\mathrm{a}}\right| \lesssim 2\left|\eta_1\right|$ ，或者 $\Delta_{12}\left(R_{\mathrm{c}}\right) \approx 2 \eta_1^2 /\left|\omega_0-\omega_{\mathrm{a}}\right|$ 为了
$\left|\omega_0-\omega_{\mathrm{a}}\right| \gg 2\left|\eta_1\right|$. 在这两种情况下，RDDI 引起的和 腔 QED 的能级偏移（或分裂）变得相当。

R_{\mathrm{c}}咐近 RDDI 和 Rabi 分裂的激烈竞争 $R_{\mathrm{C}}$ 修改 (8.49) 中的特征值，将它们替换为 (8.48) 中更准确 的解，
$$
\omega_1 \approx \omega_{+}, \quad \omega_{2,3} \approx \frac{1}{2}\left(\omega_{-}+\omega_A \pm \Omega^{\prime}\right)
$$
在哪旦
$$
\Omega^{\prime}=\sqrt{V_0^2+\left(\omega_{-}-\omega_{\mathrm{A}}\right)^2}, \quad V_0=\frac{\eta_1^2-\eta_2^2}{\sqrt{\Omega\left(\Omega+\omega_0-\omega_{\mathrm{S}}\right.}}
$$
这里 Veft|V_O1right ||$V_0 \mid$ ，之间的最小分裂 $\omega_2$ 和 $\omega_3$ ，确 定伪交叉区间的宽度， $\left|R_1-R_2\right|$ ，在哪里 $\omega_a\left(R_{1,2}\right)-\omega_{-}\left(R_{1,2}\right)= \pm V_0$. 对于远离正弦模式节 点的两个原子， $\left|V_0\right| \sim\left|\eta_1\left(\eta_1-\eta_2\right)\right| /\left(\sqrt{8}\left|\eta_1\right|+\right.$ $\left.\left|\omega_0-\omega_{\mathrm{S}}\right|\right)$
而本征函数 $\left|\Psi_1\right\rangle=\left|\Psi_{+}\right\rangle$不受伪交叉的影响， $\left|\Psi_{-}\right\rangle$和 混合 $R_{\mathrm{c}}$. 这种混合意味着对称性的完全破坏 [Eq. (8.46)]，它表征了开放空间中受 RDDI 影响的双原子系 统。在 $R=R_{\mathrm{c}}$ 并且对于足够大和正的失谐，这样 $\omega_0-\omega_{\mathrm{S}} \approx \Omega$, 我们得到极限
$$
\left|\Psi_2\right\rangle \rightarrow\left|e_1 g_2, 0\right\rangle, \quad\left|\Psi_3\right\rangle \rightarrow\left|e_2 g_1, 0\right\rangle
$$
其中激发的本征态 2 和 3 由于干扰而变得不耦合 $\left|\Psi_{\mathrm{S}}\right\rangle$ 和 $\left|\Psi_{\mathrm{A}}\right\rangle$. 相应的激发转移概率在伪交叉区间受到强烈抑 制，如时间平均值所示 (图 8.6 中的实线) : $\bar{P} 2(R=R \mathrm{c})=3 c_{+}^2 / 8 \ll 1$ 和 $\bar{P} 1(R=$ Veft.R $\left.{\backslash m a t h r m{c}} \backslash r i g h t)=1-c_{-}{+}+(3 / 8) c_{-}{+}\right}^{\wedge}$ $R \mathrm{c})=1-c_{+}+(3 / 8) c_{+}^2$ 随着 的增加趋于 1 $\omega_0-\omega_{\mathrm{S}}$ ，在哪里 $c_{+}=\left[1+\left(\omega_{\mathrm{S}}-\omega_0\right) / \Omega\right] / 2$. 由 于激发的本征态的解耦，激发随后被强烈地困在初始原子处。

物理代写|热力学代写thermodynamics代考|Model and Dynamics

我们这里考虑 $N$ 非相互作用的自旋 $1 / 2$ 粒子或原子 TLS，它们通过以下方式线性耦合到玻色子 (振荡器) 浴 $\sigma_z$ (不像 $\sigma_x$ 在 Dicke 模型中) 。在集体基础上，多体哈 密顿量具有以下形式，没有 RWA，
$$
H=H_{\mathrm{S}}+H_{\mathrm{B}}+H_{\mathrm{I}}
$$
在哪里
$$
H_{\mathrm{S}}=\hbar \omega_x \hat{J} x, \quad H \mathrm{~B}=\hbar \sum_k \omega_k a_k^{\dagger} a_k, \quad H_{\mathrm{I}}=\hbar \hat{J} z
$$
这里的符号与第 7 章中的一样，特别是， $a_k^{\dagger}$ 和 $a_k$ 是的创 造和湮玻色子算子 $k$ th 沐浴模式，以及集体自旋算子 $H \mathrm{~S}$ 和 $H_1$ 和以前一样，
$$
\hat{J}_i=(1 / 2) \sum_j \sigma_j^i(i=x, y, z) \text {. }
$$
浴缸分别与系统的每个子空间相互作用，这些子空间由 总自旋值标记 $J$ ，自从 $H$ 上下班 $\hat{J}^2=\sum_i \hat{J}_i^2$. 因此， 研究浴缶与水的相互作用就足够了 $(2 J+1)$ 维系统。
的非交换性 $\hat{J} x$ 和 $\hat{J}_z$ 在 (8.59) 中使系统的动力学无法求 解。为了规避这个困难，我们准备系统的本征态 $\hat{J}_x=(1 / 2) \sum_k \sigma_k^x$ (疍加 $\hat{J}_z$ 本征态)，然后关闭 $H \mathrm{~S}=\omega_x \hat{J}_x$. 等价地，在时间 $t=0$ 每个旋转都是在其 㳑加中准备的 $\sigma_k^z$ (能量) 本征态，因此整个系统最初是 这种疍加态的产物。然后各个自旋不相关 (末纠缠)。 系统的初始状态可以写成
$$
|\Psi(0)\rangle \equiv|\theta, \phi\rangle=\left|\psi_1\right\rangle \otimes\left|\psi_2\right\rangle \cdots\left|\psi_N\right\rangle
$$和
$$
\left|\psi_j\right\rangle=\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\cos \frac{\theta}{2}|\uparrow\rangle+\sin \frac{\theta}{2} e^{i \phi}|\downarrow\rangle\right)
$$
在哪里 $\theta$ 和 $\phi$ 是平均粒子自旋的球坐标。该状态是集体自 旋算子的本征态 $\hat{\boldsymbol{J}} \cdot \hat{\boldsymbol{n}}, \hat{\boldsymbol{n}}$ 是对应于角度的单位向量 $\theta$ 和 $\phi$

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金融工程代写

金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题，以及设计新的和创新的金融产品。

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语 广义线性模型（GLM）通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归，以及方差分析和方差分析（仅含固定效应）。

有限元方法代写

有限元方法（FEM）是一种流行的方法，用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法，用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程（即一些边界值问题）。为了解决一个问题，有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分，称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的，它是通过构建对象的网格来实现的：用于求解的数值域，它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统，以模拟整个问题。然后，有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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随机分析代写

随机微积分是数学的一个分支，对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。

时间序列分析代写

随机过程，是依赖于参数的一组随机变量的全体，参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现，其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值（如1秒，5分钟，12小时，7天，1年），因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中，往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录，以得到其自身发展的规律。

回归分析代写

多元回归分析渐进（Multiple Regression Analysis Asymptotics）属于计量经济学领域，主要是一种数学上的统计分析方法，可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系，在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。