## 统计代写|随机过程代写stochastic process代考|STAT6540

2023年1月3日

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## 统计代写|随机过程代写stochastic process代考|Gaussian Processes as Subsets of a Hilbert Space

In this section, we learn to think of a Gaussian process as a subset of a Hilbert space. This will reveal our lack of understanding of basic geometric questions.

First, consider a Gaussian process $\left(Y_I\right){I \in T}$, and assume (the only case which is of interest to us) that there is a countable set $T^{\prime} \subset T$ which is dense in $T$. We view each $Y_t$ as a point in the Hilbert space $L^2(\Omega, \mathrm{P})$ where $(\Omega, \mathrm{P})$ is the basic probability space. The closed linear span of the r.v.s $\left(Y_t\right){t \in T}$ in $L^2(\Omega, \mathrm{P})$ is a separable Hilbert space, and the map $t \mapsto Y_t$ is an isometry from $(T, d)$ to its image (by the very definition of the distance $d$ ). In this manner, we associate a subset of a Hilbert space to each Gaussian process.

Conversely, consider a separable Hilbert space, which we may assume to be $\ell^2=$ $\ell^2(\mathbb{N}){ }^{23}$ Consider an independent sequence $\left(g_i\right){i \geq 1}$ of standard Gaussian r.v.s. We can then define the Gaussian process $\left(X_t\right){t \in \ell^2}$, where
$$X_t=\sum_{i \geq 1} t_i g_i$$
(the series converges in $L^2(\Omega)$ ). Thus,
$$\mathrm{E} X_t^2=\sum_{i \geq 1} t_i^2=|t|^2 .$$
In this manner, for each subset $T$ of $\ell^2$, we can consider the Gaussian process $\left(X_t\right)_{t \in T}$. The distance induced on $T$ by the process coincides with the distance of $\ell^2$ by $(2.129)$.

A subset $T$ of $\ell^2$ will always be provided with the distance induced by $\ell^2$, so we may also write $\gamma_2(T)$ rather than $\gamma_2(T, d)$. We denote by conv $T$ the convex hull of $T$.
Theorem 2.11.1 For a subset $T$ of $\ell^2$, we have
$$\gamma_2(\operatorname{conv} T) \leq L \gamma_2(T) .$$
Of course we also have $\gamma_2(T) \leq \gamma_2(\operatorname{conv} T)$ since $T \subset \operatorname{conv} T$.

## 统计代写|随机过程代写stochastic process代考|Dreams

We may reformulate the inequality (2.114)
$$\frac{1}{L} \gamma_2(T, d) \leq \mathrm{E} \sup _{t \in T} X_t \leq L \gamma_2(T, d)$$
of Theorem $2.10 .1$ by the statement
Chaining suffices to explain the size of a Gaussian process.
We simply mean that the “natural” chaining bound for the size of a Gaussian process (i.e., the right-hand side inequality in (2.114)) is of correct order, provided one uses the best possible chaining. This is what the left-hand side of (2.114) shows. We may dream of removing the word “Gaussian” in that statement. The desire to achieve this lofty goal in as many situations as possible motivates much of the rest of the book.
Besides the generic chaining, we have found in Theorem $2.11 .9$ another optimal way to bound Gaussian processes: to put them into the convex hull of a “small” process, that is, to use the inequality

Since we do not really understand the geometry of going from a set to its convex hull, it is better (for the time being) to consider this method as somewhat distinct from the generic chaining. Let us try to formulate it in a way which is suitable for generalizations. Given a countable set $\mathcal{V}$ of r.v.s, let us define the (possibly infinite) quantity
$$S(\mathcal{V})=\inf \left{S>0 ; \int_S^{\infty} \sum_{V \in \mathcal{V}} \mathrm{P}(|V|>u) \mathrm{d} u \leq S\right} .$$
Lemma 2.12.1 It holds that
$$\mathrm{E} \sup {V \in \operatorname{conv} \mathcal{V}}|V| \leq 2 S(\mathcal{V}) .$$ Proof We combine (2.6) with the fact that for $S>S(\mathcal{V})$, we have $$\int_0^{\infty} \mathrm{P}\left(\sup {V \in \operatorname{conv} \mathcal{V}}|V| \geq u\right) \mathrm{d} u \leq S+\int_S^{\infty} \sum_{V \in \mathcal{V}} \mathrm{P}(|V|>u) \mathrm{d} u \leq 2 S .$$

# 随机过程代考

## 统计代写|随机过程代写stochastic process代考|Gaussian Processes as Subsets of a Hilbert Space

$$X_t=\sum_{i \geq 1} t_i g_i$$
(该系列收敛于 $L^2(\Omega)$ ). 因此，
$$\mathrm{E} X_t^2=\sum_{i \geq 1} t_i^2=|t|^2$$

$$\gamma_2(\operatorname{conv} T) \leq L \gamma_2(T)$$

## 统计代写|随机过程代写stochastic process代考|Dreams

$$\frac{1}{L} \gamma_2(T, d) \leq \operatorname{Esup}{t \in T} X_t \leq L \gamma_2(T, d)$$ 定理2.10.1通过语句 Chaining 足以解释高斯过程的大小。 我们的意思是，只要使用可能的最佳链接，高斯过程大 小的“自然”链接边界 (即 (2.114) 中的右侧不等式) 是正 确顺序的。这就是 (2.114) 的左侧显示的内容。我们可 能梦想在该声明中删除“高斯”一词。在尽可能多的情况 下实现这一崇高目标的愿望激发了本书其余部分的大部 分内容。 除了通用链接之外，我们还发现了 Theorem2.11.9另 一种限制高斯过程的最佳方法: 将它们放入“小”过程的 凸包中，即使用不等式 由于我们并不真正理解从集合到其凸包的几何结构，因 此 (暂时) 最好将此方法视为与通用链㢺有些不同。让 我们尝试以适合概括的方式来表述它。给定一个可数集 $\mathcal{V}$ rvs，让我们定义 (可能是无限的) 数量 引理 $2.12 .1$ 它认为 $\operatorname{Esup} V \in \operatorname{conv} \mathcal{V}|V| \leq 2 S(\mathcal{V})$ 证明 我们将 (2.6) 与以下事实结合起来 $S>S(\mathcal{V})$ ， 我 们有 $$\int_0^{\infty} \mathrm{P}(\sup V \in \operatorname{conv} \mathcal{V}|V| \geq u) \mathrm{d} u \leq S+\int_S^{\infty} \sum{V \in \mathcal{V}}$$

## 有限元方法代写

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## MATLAB代写

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