## 统计代写|随机过程代写stochastic process代考|MATH3801

2023年3月31日

couryes-lab™ 为您的留学生涯保驾护航 在代写随机过程stochastic process方面已经树立了自己的口碑, 保证靠谱, 高质且原创的统计Statistics代写服务。我们的专家在代写随机过程stochastic process代写方面经验极为丰富，各种代写随机过程stochastic process相关的作业也就用不着说。

• Statistical Inference 统计推断
• Statistical Computing 统计计算
• (Generalized) Linear Models 广义线性模型
• Statistical Machine Learning 统计机器学习
• Longitudinal Data Analysis 纵向数据分析
• Foundations of Data Science 数据科学基础
couryes™为您提供可以保分的包课服务

## 统计代写|随机过程代写stochastic process代考|The Borel–Cantelli Lemma

Consider a sequence of events $\left{A_n\right}_{n \geq 1}$. Let
$$\left{A_n \text { i.o. }\right}:=\left{\omega ; \omega \in A_n \text { for an infinity of indices } n\right} .$$
Here i.o. means infinitely often. We have the Borel-Cantelli lemma:
Theorem 1.5.2
$$\sum_{n=1}^{\infty} P\left(A_n\right)<\infty \Longrightarrow P\left(A_n \text { i.o. }\right)=0 .$$
Proof. First observe that
$$\left{A_n \text { i.o. }\right}=\bigcap_{n=1}^{\infty} \bigcup_{k \geq n} A_k .$$
(Indeed, if $\omega$ belongs to the set on the right-hand side, then for all $n \geq 1, \omega$ belongs to at least one among $A_n, A_{n+1}, \ldots$, which implies that $\omega$ is in $A_n$ for an infinite number of indices $n$. Conversely, if $\omega$ is in $A_n$ for an infinite number of indices $n$, it is for all $n \geq 1$ in at least one of the sets $A_n, A_{n+1}, \ldots$ )

The set $\cup_{k \geq n} A_k$ decreases as $n$ increases, so that by the sequential continuity property of probability,
$$P\left(A_n \text { i.o. }\right)=\lim {n \uparrow \infty} P\left(\bigcup{k \geq n} A_k\right) .$$
But by sub- $\sigma$-additivity,
$$P\left(\bigcup_{k \geq n} A_k\right) \leq \sum_{k \geq n} P\left(A_k\right),$$
and by the summability assumption, the right-hand side of this inequality goes to 0 as $n \uparrow \infty$.

## 统计代写|随机过程代写stochastic process代考|Markov’s Inequality

Theorem 1.5.4 Let $Z$ be a non-negative real random variable and let $a>0$. Then,
$$P(Z \geq a) \leq \frac{E[Z]}{a} .$$
Proof. From the inequality
$$Z \geq a 1_{{Z \geq a}}$$
it follows by taking expectations that
$$\mathrm{E}[Z] \geq a \mathrm{E}\left[1_{{Z \geq a}}\right]=a P(Z \geq a) .$$

EXAMPLE 1.5.6: THE WEAK LAW OF LARGE NUMBERS. Let $\left{X_n\right}_{n \geq 1}$ be an IID sequence of real square-integrable random variables with common mean $\mu$ and common variance $\sigma^2<\infty$. Since the variance of the empirical mean $\frac{S_n}{n}:=\frac{X_1+\cdots+X_n}{n}$ is equal to $\frac{\sigma^2}{n}$, we have by Chebyshev’s inequality, for all $\varepsilon>0$,
$$P\left(\left|\frac{S_n}{n}-\mu\right| \geq \varepsilon\right)=P\left(\left|\frac{\sum_{i=1}^n\left(X_i-\mu\right)}{n} \geq \varepsilon\right|\right) \leq \frac{\sigma^2}{n^2 \varepsilon} .$$
In other words, the empirical mean $\frac{S_n}{n}$ converges to the mean $\mu$ in probability, which means exactly (by definition of the convergence in probability) that, for all $\varepsilon>0$,
$$\lim _{n \uparrow \infty} P\left(\left|\frac{S_n}{n}-\mu\right| \geq \varepsilon\right)=0$$
This specific result is called the weak law of large numbers.

# 随机过程代考

## 统计代写|随机过程代写stochastic process代考|The Borel–Cantelli Lemma

Veft{A_n Itext ${$ io $} \backslash$ right $}:=$ \left{lomega ; lomega lin A_n

$$\sum_{n=1}^{\infty} P\left(A_n\right)<\infty \Longrightarrow P\left(A_n \text { i.o. }\right)=0 .$$

Veft $\left{A_{_} n\right.$ Itext ${$ io $} \backslash$ right $}=\mid$ bigcap_{ ${n=1}^{\wedge}{$ linfty $}$ \bigcup
（的确，如果 $\omega$ 属于右手边的集合，那么对于所有 $n \geq 1, \omega$ 至少属于其中之 $A_n, A_{n+1}, \ldots$, 这意味着 $\omega$ 在 $A_n$ 对于无限数量的指数 $n$. 相反，如果 $\omega$ 在 $A_n$ 对于无 限数量的指数 $n$, 它对所有 $n \geq 1$ 在至少一组中
$$\left.A_n, A_{n+1}, \ldots\right)$$

$$P\left(A_n \text { i.o. }\right)=\lim n \uparrow \infty P\left(\bigcup k \geq n A_k\right)$$

$$P\left(\bigcup_{k \geq n} A_k\right) \leq \sum_{k \geq n} P\left(A_k\right),$$
，当n luparrow linfty时，这个不等式的右边变为 0 $n \uparrow \infty$ 。

## 统计代写|随机过程代写stochastic process代考|Markov’s Inequality

$$P(Z \geq a) \leq \frac{E[Z]}{a} \text {. }$$

$$Z \geq a 1_{Z \geq a}$$

$$\mathrm{E}[Z] \geq a \mathrm{E}\left[1_{Z \geq a}\right]=a P(Z \geq a) .$$

$$P\left(\left|\frac{S_n}{n}-\mu\right| \geq \varepsilon\right)=P\left(\left|\frac{\sum_{i=1}^n\left(X_i-\mu\right)}{n} \geq \varepsilon\right|\right)$$
$\frac{S_n}{n} \mu$ 概率，这意味着 (根据概率收敛的定义) 对于所 有，这个具体结果被称为弱大数定律。 $\varepsilon>0$
$$\lim _{n \uparrow \infty} P\left(\left|\frac{S_n}{n}-\mu\right| \geq \varepsilon\right)=0$$

## 有限元方法代写

tatistics-lab作为专业的留学生服务机构，多年来已为美国、英国、加拿大、澳洲等留学热门地的学生提供专业的学术服务，包括但不限于Essay代写，Assignment代写，Dissertation代写，Report代写，小组作业代写，Proposal代写，Paper代写，Presentation代写，计算机作业代写，论文修改和润色，网课代做，exam代考等等。写作范围涵盖高中，本科，研究生等海外留学全阶段，辐射金融，经济学，会计学，审计学，管理学等全球99%专业科目。写作团队既有专业英语母语作者，也有海外名校硕博留学生，每位写作老师都拥有过硬的语言能力，专业的学科背景和学术写作经验。我们承诺100%原创，100%专业，100%准时，100%满意。

## MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。