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随机过程 用于表示在时间上发展的统计现象以及在处理这些现象时出现的理论模型，由于这些现象在许多领域都会遇到，因此这篇文章具有广泛的实际意义。

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统计代写|随机过程代写stochastic process代考|Perturbed Version of the Riemann Hypothesis

When I first investigated Poisson-binomial processes, it was to study the behavior of some mathematical functions represented by a series. The idea was to add little random perturbations to the index $k$ in the summation, in short, replacing $k$ by $X_k$, turning the mathematical series into a random function, and see what happens. Here this idea is applied to the Riemann zeta function [Wiki]. The purpose is to empirically check whether the Riemann Hypothesis [Wiki] still holds under small perturbations, as non-trivial zeros of the Riemann zeta function $\zeta$ are very sensitive to little perturbations. Instead of working with $\zeta(z)$, I worked with its sister, the Dirichlet eta function $\eta(z)$ with $z=\sigma+i t \in \mathbb{C}$ [Wiki]: it has the same non-trivial zeros in the critical strip $\frac{1}{2}<\sigma<1$, and its series converges in the critical strip, unlike that of $\zeta$. Its real and imaginary parts are respectively equal to
$$
\begin{aligned}
& \Re[\eta(z)]=\Re[\eta(\sigma+i t)]=-\sum_{k=1}^{\infty}(-1)^k \frac{\cos (t \log k)}{k^\sigma} \
& \Im[\eta(z)]=\Re[\eta(\sigma+i t)]=-\sum_{k=1}^{\infty}(-1)^k \frac{\sin (t \log k)}{k^\sigma}
\end{aligned}
$$
Note that $i$ represents the imaginary unit, that is $i^2=-1$. I investigated two cases: $\sigma=\frac{1}{2}$ and $\sigma=\frac{3}{4}$. I used a Poisson-binomial process with intensity $\lambda=1$, scaling factor $s=10^{-3}$ and a uniform $F$ to generate the $\left(X_k\right)^{\prime}$ ‘s and replace the index $k$ by $X_k$ in the two sums. I also replaced $(-1)^k$ by $\cos \pi k$. The randomized (perturbed) sums are
$$
\begin{aligned}
& \Re\left[\eta_s(z)\right]=\Re\left[\eta_s(\sigma+i t)\right]=-\sum_{k=1}^{\infty} \cos \left(\pi X_k\right) \cdot \frac{\cos \left(t \log X_k\right)}{X_k^\sigma} \
& \Im\left[\eta_s(z)\right]=\Re\left[\eta_s(\sigma+i t)\right]=-\sum_{k=1}^{\infty} \cos \left(\pi X_k\right) \cdot \frac{\cos \left(t \log X_k\right)}{X_k^\sigma}
\end{aligned}
$$

Proving the convergence of the above (random) sums is not obvious. The notation $\eta_s$ emphasizes the fact that the $\left(X_k\right)$ ‘s have been created using the scaling factor $s$; if $s=0$, then $X_k=k$ and $\eta_s=\eta$.

Figure 8 shows the orbits of $\eta_s(\sigma+i t)$ in the complex plane, for fixed values of $\sigma$ and $s$. The orbit consists of the points $P(t)=\left(\Re\left[\eta_s(\sigma+i t)\right], \Im\left[\eta_s(\sigma+i t)\right]\right)$ with $0<t<200$, and $t$ increasing by increments of $0.05$. The plots are based on a single realization of the Poisson-binomial process. The sums converge very slowly, though there are ways to dramatically increase the convergence: for instance, Euler’s transform [Wiki] or Borwein’s method [Wiki]. I used $10^4$ terms to approximate the infinite sums.

统计代写|随机过程代写stochastic process代考|Dirichlet Eta Function

Let $z=\sigma+$ it be a complex number, with $\sigma$ the real part, and $t$ the imaginary part. The Dirichlet eta function $\eta(z)$ provides an analytic continuation [Wiki] of the Riemann series $\zeta(z)$ in the complex plane $(z \in \mathbb{C})$. The two functions are defined as:
$$
\begin{aligned}
& \zeta(z)=\sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k^s}, \quad \sigma=\Re(z)>1 \
& \eta(z)=\sum_{k=1}^{\infty} \frac{(-1)^{k+1}}{k^s}, \quad \sigma=\Re(z)>0 .
\end{aligned}
$$
Thus, the function $\zeta$ can be uniquely extended to $\sigma>0$, using $\zeta(z)=\left(1-2^{1-z}\right)^{-1} \eta(z)$, while preserving Formula (22) if $\sigma>1$ : the first series converges if and only if $\sigma>1$, and the second one if and only if $\sigma>0$. Both functions, after the analytic continuation of $\zeta$, have the same zeroes in the critical strip $0<\sigma<1$. The famous Riemann Hypothesis [Wiki] claims that all the infinitely many zeroes in the critical strip occur at $\sigma=\frac{1}{2}$. This is one of the seven Millenium Problems, with a $\$ 1$ million prize, see here. For another one, “P versus NP”, see Exercise 21, about finding the maximum cliques of a nearest neighbor graph.

More than $10^{13}$ zeroes of $\zeta$ have been computed. The first two million are in Andrew Odlyzko’s table, here. See the OEIS sequences A002410 and A058303. You can find zeroes with the free online version of Mathematica using the FindRoot [] and Zeta [] functions, here. For fast computation, several methods are available, for example the Odlyzko-Schönhage algorithm [Wiki]. The statistical properties are studied in Guilherme França and André LeClair [28] (available online here), in André LeClair in the context of random walks [53] (available online here) and in Peter J. Forrester and Anthony Mays in the context of random matrix theory [27] (available online here). I discuss recent developments about the Riemann Hypothesis in my article “Fascinating Facts About Complex Random Variables and the Riemann Hypothesis”, here. See also my contributions on MathOverflow: “More mysteries about the zeros of the Riemann zeta function” (here) and “Normal numbers, Liouville function, and the Riemann Hypothesis” (here).

随机过程代考

统计代写|随机过程代写stochastic process代考|Perturbed Version of the Riemann Hypothesis

当我第一次研究泊松二项式过程时，是为了研究一些由级数表示的数 学函数的行为。这个想法是在索引中添加一些随机扰动 $k$ 总之，简而 言之，替换 $k$ 经过 $X_k$ ，将数学级数变成随机函数，看看会发生什么。 在这里，这个愳法被应用到黎晶 zeta 函数 [Wiki]。目的是根据经验检 查黎曼假设 [Wiki] 在小扰动下是否仍然成立，因为黎汉 zeta 函数的 非平凡䨐点 $\zeta$ 对微小的扰动非常敏感。而不是与 $\zeta(z)$ ，我与它的姊妺 函数 Dirichlet eta 函数一起工作 $\eta(z)$ 和 $z=\sigma+i t \in \mathbb{C}[\mathrm{Wiki}]$ : 它 在临界帯中有相同的非平凡零点 $\frac{1}{2}<\sigma<1$ ，它的级数收敛于临界 带，不像 $\zeta$. 它的实部和虚部分别等于
$$
\Re[\eta(z)]=\mathfrak{\Re}[\eta(\sigma+i t)]=-\sum_{k=1}^{\infty}(-1)^k \frac{\cos (t \log k)}{k^\sigma} \quad \mathfrak{I}[\eta(z)]
$$
注意 $i$ 表示虚数单位，即 $i^2=-1$. 我调查了两个案例: $\sigma=\frac{1}{2}$ 和 $\sigma=\frac{3}{4}$. 我使用了具有强度的泊松二项式过程 $\lambda=1$ ，比例因子 $s=10^{-3}$ 和制服 $F$ 生成 $\left(X_k\right)^{\prime}$ 的并替换索引 $k$ 经过 $X_k$ 在两个总和 中。我也换了 $(-1)^k$ 经过 $\cos \pi k$. 随机 (扰动) 总和是
$$
\Re\left[\eta_s(z)\right]=\Re\left[\eta_s(\sigma+i t)\right]=-\sum_{k=1}^{\infty} \cos \left(\pi X_k\right) \cdot \frac{\cos \left(t \log X_k\right)}{X_k^\sigma}
$$
证明上述 (随机) 和的收敛性并不明显。符号 $\eta_s$ 强调一个事实 $\left(X_k\right)$ 已使用比例因子创建 $s$; 如果 $s=0$ ， 然后 $X_k=k$ 和 $\eta_s=\eta$.
图 8 显示了轨道 $\eta_s(\sigma+i t)$ 在复平面上，对于固定值 $\sigma$ 和 $s$. 轨道由点 组成 $P(t)=\left(\Re\left[\eta_s(\sigma+i t)\right], \mathfrak{I}\left[\eta_s(\sigma+i t)\right]\right)$ 和 $0<t<200$ ， 和 $t$ 递增 $0.05$. 这些图基于泊松二项式过程的单一实现。总和收敛非常 缓慢，尽管有一些方法可以显着增加收敛：例如，欧拉变换 [Wiki] 或 Borwein 的方法 [Wiki]。我用了 $10^4$ 近似无限和的项。

统计代写|随机过程代写stochastic process代考|Dirichlet Eta Function

让 $z=\sigma+$ 它是一个复数，有 $\sigma$ 实部，和 $t$ 虚部。Dirichlet eta 函数 $\eta(z)$ 提供黎曼级数的解析延续 [Wiki] $\zeta(z)$ 在复平面 $(z \in \mathbb{C})$. 这两个 函数定义为:
$$
\zeta(z)=\sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k^s}, \quad \sigma=\Re(z)>1 \quad \eta(z)=\sum_{k=1}^{\infty} \frac{(-1)^{k+1}}{k^s}
$$
因此，函数 $\zeta$ 可以唯一地扩展到 $\sigma>0$ ，使用 $\zeta(z)=\left(1-2^{1-z}\right)^{-1} \eta(z)$, 同时保留公式 (22) 如果 $\sigma>1$ : 第一 个级数收玫当且仅当 $\sigma>1$, 而第二个当且仅当 $\sigma>0$. 这两个函数， 在分析延续之后 $\zeta$, 在关键带中有相同的雺点 $0<\sigma<1$. 著名的黎奴 假设 [Wiki] 声称临界带中的所有无限多个雺出现在 $\sigma=\frac{1}{2}$. 这是七个 个年问题之一， $\$ 1$ 百万奖金，看这里。对于另一个， ” $P$ 与 $N P^{\prime \prime}$ ，参见 练习 21，关于寻找最近邻图的最大团。
多于 $10^{13}$ 的零点 $\zeta$ 已被计算。前两百万在 Andrew Odlyzko 的表格 中，在这里。请参阅 OEIS 序列 A002410 和 A058303。您可以在免 费在线版 Mathematica 中使用 FindRoot [] 和 Zeta [] 函数在此处找 到雾点。对于快速计算，有几种方法可用，例如 Odlyzko-Schönhage 算法 [Wiki]。Guilherme França 和 André LeClair [28] (可在此处在 线获取) 、André LeClair 在随机游走的背景下 [53] (可在此处在线 获取) 以及 Peter J. Forrester 和 Anthony Mays 在随机矩阵理论 27 。我在我的文章“关于复杂随机变量和黎曼 假设的迷人事实”中讨论了关于黎曼假设的最新发展。另请参阅我对 MathOverflow 的贡献.

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金融工程代写

金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题，以及设计新的和创新的金融产品。

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语 广义线性模型（GLM）通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归，以及方差分析和方差分析（仅含固定效应）。

有限元方法代写

有限元方法（FEM）是一种流行的方法，用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法，用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程（即一些边界值问题）。为了解决一个问题，有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分，称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的，它是通过构建对象的网格来实现的：用于求解的数值域，它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统，以模拟整个问题。然后，有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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随机分析代写

随机微积分是数学的一个分支，对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。

时间序列分析代写

随机过程，是依赖于参数的一组随机变量的全体，参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现，其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值（如1秒，5分钟，12小时，7天，1年），因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中，往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录，以得到其自身发展的规律。

回归分析代写

多元回归分析渐进（Multiple Regression Analysis Asymptotics）属于计量经济学领域，主要是一种数学上的统计分析方法，可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系，在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。

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MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。