经济代写|随机微积分代写Stochastic calculus代考|MA451A

Doug I. Jones

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随机微积分是处理含有随机成分的过程的数学领域,因此允许对随机系统进行建模。许多随机过程是基于连续的函数,但没有可微的地方。

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  • Longitudinal Data Analysis 纵向数据分析
  • Foundations of Data Science 数据科学基础
经济代写|随机微积分代写Stochastic calculus代考|MA451A

经济代写|随机微积分代写Stochastic calculus代考|Stochastic Integration

In this chapter we consider processes $X$ that are good integrators: i.e.
$$
J_X(f)(t)=\int_0^t f d X
$$
can be defined for a suitable class of integrands $f$ and the integral has some natural continuity properties. We will call such a process a stochastic integrator. In this chapter, we will prove basic properties of the stochastic integral $\int_0^t f d X$ for a stochastic integrator $X$.

In the rest of the book, $(\Omega, \mathcal{F}, \mathrm{P})$ will denote a complete probability space and $\left(\mathcal{F}\right.$.) will denote a filtration such that $\mathcal{F}_0$ contains all null sets in $\mathcal{F}$. All notions such as adapted, stopping time, martingale will refer to this filtration unless otherwise stated explicitly.

For some of the auxiliary results, we need to consider the corresponding right continuous filtration $\left(\mathcal{F}^{+}\right)=\left{\mathcal{F}t^{+}: t \geq 0\right}$ where $$ \mathcal{F}_t^{+}=\bigcap{s>1} \mathcal{F}_s .
$$
We begin with a discussion on the predictable $\sigma$-field.

经济代写|随机微积分代写Stochastic calculus代考|The Predictable σ-Field

Recall our convention that a process $X=\left(X_t\right)$ is viewed as a function on $\widetilde{\Omega}=$ $[0, \infty) \times \Omega$ and the predictable $v$-field $\mathcal{P}$ has been defined as the 0 -field on $\widetilde{\Omega}$ generated by $\mathbb{S}$. Here $\mathbb{S}$ consists of simple adapted processes:
$$
f(s)=a_0 1_{[0}}(s)+\sum_{k=0}^m a_{k+1} 1_{\left[s_k, s_{k+1}\right]}(s)
$$

where $0=s_0<s_1<s_2<\ldots<s_{m+1}<\infty, a_k$ is bounded $\mathcal{F}{s{k-1}}$ measurable random variable, $1 \leq k \leq(m+1)$, and $a_0$ is bounded $\mathcal{F}0$ measurable. $\mathcal{P}$ measurable processes have appeared naturally in the definition of the stochastic integral w.r.t. Brownian motion and play a very significant role in the theory of stochastic integration with respect to general semimartingales as we will see. A process $f$ will be called a predictable process if it is $\mathcal{P}$ measurable. Of course, $\mathcal{P}$ depends upon the underlying filtration and would refer to the filtration that we have fixed. If there are more than one filtration under consideration, we will state it explicitly. For example $\mathcal{P}(\mathcal{G}$.) denotes the predictable $\sigma$-field corresponding to a filtration $(\mathcal{G}$.) and $\mathbb{S}(\mathcal{G}$. $)$ denotes simple predictable process for the filtration $(\mathcal{G}$.). The following proposition lists various facts about the $\sigma$-field $\mathcal{P}$. Proposition 4.1 Let $(\mathcal{F}$.) be a filtration and $\mathcal{P}=\mathcal{P}(\mathcal{F}$.). (i) Let $f$ be $\mathcal{P}$ measurable. Then $f$ is $(\mathcal{F}$.) adapted. Moreover, for every $t<\infty$, $f_t$ is $\sigma\left(\cup{s<t} \mathcal{F}s\right)$ measurable. (ii) Let $Y$ be a left continuous adapted process. Then $Y$ is $\mathcal{P}$ measurable. (iii) Iet $\mathbb{A}$ he the class of all hounded adapted continuous processes. Then $\mathcal{P}=\sigma(\mathbb{A})$ and the smallest $\mathrm{bp}$-closed class that contains $\mathbb{A}$ is $\mathbb{B}(\widetilde{\Omega}, \mathcal{P})$. (iv) For any stopping time $\tau, U-1{[0, \tau]}$ (i.e. $U_t-1_{[0, \tau]}(t)$ ) is $\mathcal{P}$ measurable.
(v) For an r.c.l.l. adapted process $Z$ and a stopping time $\tau$, the process $X$ defined by
$$
X_t=Z_\tau 1_{(\tau, \infty)}(t)
$$
is predictable.
(vi) For a predictable process $g$ and a stopping time $\tau, g_\tau$ is a random variable and $h$ defined by
$$
h_t=g_\tau 1_{(\tau, \infty)}(t)
$$
is itself predictable.

经济代写|随机微积分代写Stochastic calculus代考|MA451A

随机微积分代考

经济代写|随机微积分代写Stochastic calculus代考|随机积分


在本章中,我们考虑的过程$X$是好的积分器:即
$$
J_X(f)(t)=\int_0^t f d X
$$
可以定义为一个合适的被积函数类$f$,并且积分具有一些自然连续性的性质。我们称这样的过程为随机积分器。本章将证明随机积分器$X$的随机积分$\int_0^t f d X$的基本性质

在本书的其余部分,$(\Omega, \mathcal{F}, \mathrm{P})$将表示一个完整的概率空间,$\left(\mathcal{F}\right.$ .)将表示一个过滤,使$\mathcal{F}_0$包含$\mathcal{F}$中的所有空集。除非另有明确说明,所有诸如适应、停止时间、鞅等概念均指此过滤 对于某些辅助结果,我们需要考虑相应的右连续过滤$\left(\mathcal{F}^{+}\right)=\left{\mathcal{F}t^{+}: t \geq 0\right}$,其中$$ \mathcal{F}_t^{+}=\bigcap{s>1} \mathcal{F}_s .
$$
我们首先讨论可预测的$\sigma$ -字段

经济代写|随机微积分代写随机演算代考|可预测的σ-场

回想一下我们的约定,进程$X=\left(X_t\right)$被视为$\widetilde{\Omega}=$$[0, \infty) \times \Omega$上的函数,可预测的$v$ -字段$\mathcal{P}$被定义为$\mathbb{S}$生成的$\widetilde{\Omega}$上的0 -字段。这里$\mathbb{S}$由简单的适应过程组成:
$$
f(s)=a_0 1_{[0}}(s)+\sum_{k=0}^m a_{k+1} 1_{\left[s_k, s_{k+1}\right]}(s)
$$

where $0=s_0<s_1<s_2<\ldots<s_{m+1}<\infty, a_k$ 是有界的 $\mathcal{F}{s{k-1}}$ 可测量随机变量, $1 \leq k \leq(m+1)$,以及 $a_0$ 是有界的 $\mathcal{F}0$ 可测量的。 $\mathcal{P}$ 可测过程在随机积分w.r.t.布朗运动的定义中自然地出现了,并且在一般半鞅的随机积分理论中起着非常重要的作用。一个过程 $f$ 如果是,会被称为可预测过程吗 $\mathcal{P}$ 可测量的。当然, $\mathcal{P}$ 取决于底层的过滤和我们已经固定的过滤。如果要考虑多个过滤,我们将显式声明。例如 $\mathcal{P}(\mathcal{G}$)表示可预测的 $\sigma$- filter对应的字段 $(\mathcal{G}$)和 $\mathbb{S}(\mathcal{G}$。 $)$ 表示过滤的简单可预测过程 $(\mathcal{G}$)。下面的命题列出了关于……的各种事实 $\sigma$-field $\mathcal{P}$。命题4.1出租 $(\mathcal{F}$.)是一个过滤和 $\mathcal{P}=\mathcal{P}(\mathcal{F}$)。(i)出租 $f$ 是 $\mathcal{P}$ 可测量的。然后 $f$ 是 $(\mathcal{F}$.)改编。此外,对于每一个 $t<\infty$, $f_t$ 是 $\sigma\left(\cup{s<t} \mathcal{F}s\right)$ 可测量的。(ii)让 $Y$ 是一个左连续的适应过程。然后 $Y$ 是 $\mathcal{P}$ 可测量的。(iii)让 $\mathbb{A}$ 他是所有被猎适应连续过程的一类人。然后 $\mathcal{P}=\sigma(\mathbb{A})$ 最小的 $\mathrm{bp}$-关闭类包含 $\mathbb{A}$ 是 $\mathbb{B}(\widetilde{\Omega}, \mathcal{P})$。(iv)任何停止时间 $\tau, U-1{[0, \tau]}$ (即 $U_t-1_{[0, \tau]}(t)$ ) $\mathcal{P}$
(v)适用于rc.l.l适应工艺 $Z$ 还有一个停止时间 $\tau$,过程 $X$ 由
定义$$
X_t=Z_\tau 1_{(\tau, \infty)}(t)
$$
是可预测的。
(vi)用于可预测的进程 $g$ 还有一个停止时间 $\tau, g_\tau$ 是随机变量和 $h$ 由
定义$$
h_t=g_\tau 1_{(\tau, \infty)}(t)
$$
本身是可预测的

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金融工程代写

金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题,以及设计新的和创新的金融产品。

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法,其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型;这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型(GLM)归属统计学领域,是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语 广义线性模型(GLM)通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归,以及方差分析和方差分析(仅含固定效应)。

有限元方法代写

有限元方法(FEM)是一种流行的方法,用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法,用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程(即一些边界值问题)。为了解决一个问题,有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分,称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的,它是通过构建对象的网格来实现的:用于求解的数值域,它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统,以模拟整个问题。然后,有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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随机分析代写


随机微积分是数学的一个分支,对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。

时间序列分析代写

随机过程,是依赖于参数的一组随机变量的全体,参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现,其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值(如1秒,5分钟,12小时,7天,1年),因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中,往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录,以得到其自身发展的规律。

回归分析代写

多元回归分析渐进(Multiple Regression Analysis Asymptotics)属于计量经济学领域,主要是一种数学上的统计分析方法,可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系,在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中,其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括:数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发,包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统,其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题,尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题,而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问,这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展,得到了许多用户的投入。在大学环境中,它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域,MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要,工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数(M 文件)的综合集合,可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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