经济代写|随机微积分代写Stochastic calculus代考|FE610

Doug I. Jones

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经济代写|随机微积分代写Stochastic calculus代考|Levy’s Characterization of Brownian Motion

Definition 3.5 Let $\left(W_t\right)$ be $d$-dimensional Brownian motion adapted to a filtration $\left(\mathcal{F}t\right)$. Then $\left(W_t, \mathcal{F}_t\right){(t \geq 0}}$ is said to be a Wiener martingale if $W$ is a martingale w.r.t. $(\mathcal{F}$.) and
$$\left{W_t-W_s: t \geq s\right} \text { is independent of } \mathcal{F}s \text {. }$$ It follows that for a one-dimensional Wiener martingale $\left(W_t, \mathcal{F}_t\right){{t \geq 0}} M_t=W_t^2-t$ is also a martingale w.r.t $\left(\mathcal{F}_t\right)$. Levy had proved that if $W$ is any continuous process such that both $W, M$ are $(\mathcal{F}$.)-martingales then $W$ is a Brownian motion and (3.2.1) holds. Most proofs available in texts today deduce this as an application of Ito’s formula. We will give an elementary proof of this result which uses interplay of martingales and stopping times. The proof is motivated by the proof given in Ito’s lecture notes [25], but the same has been simplified using partition via stopping times instead of deterministic partitions.
Exercise 3.6 Show that (3.2.1) is equivalent to
$$W_t-W_s \text { is independent of } \mathcal{F}_s \text { for all } t \geq s \text {. }$$
We will use the following inequalities on the exponential function which can be easily proven using Taylor’s theorem with remainder. For $a, b \in \mathbb{R}$
\begin{aligned} \left|e^b-(1+b)\right| & \leq \frac{1}{2} e^{|b|}|b|^2 \ \left|e^{i a}-1\right| & \leq|a| \ \left|e^{i a}-\left(1+i a-\frac{1}{2} a^2\right)\right| & \leq \frac{1}{6}|a|^3 \end{aligned}

经济代写|随机微积分代写Stochastic calculus代考|The Ito’s Integral

Let $\mathbb{S}$ be the class of stochastic processes $f$ of the form
$$f_s(\omega)=a_0(\omega) 1_{[0}}(s)+\sum_{j=0}^m a_{j+1}(\omega) 1_{(s j, s j+1]}(s)$$
where $0=s_0<s_1<s_2<\ldots<s_{m+1}<\infty, a_j$ is bounded $\mathcal{F}{s{j-1}}$ measurable random variable for $1 \leq j \leq(m+1)$, and $a_0$ is bounded $\mathcal{F}0$ measurable. Elements of $\mathbb{S}$ will be called simple processes. For an $f$ given by (3.3.1), we define $X=\int f d W$ by $$X_t(\omega)=\sum{j=0}^m a_{j+1}(\omega)\left(W_{s_{j+1} \wedge t}(\omega)-W_{s_j \wedge t}(\omega)\right) .$$
$a_0$ does not appear on the right side because $W_0=0$. It can be easily seen that $\int f d W$ defined via (3.3.1) and (3.3.2) for $f \in \mathbb{S}$ does not depend upon the representation (3.3.1). In other words, if $g$ is given by
$$g_t(\omega)=b_0(\omega) 1_{[0]}(s)+\sum_{j=0}^n b_{j+1}(\omega) 1_{\left(r_j, r_{j+1}\right]}(t)$$
where $0=r_0<r_1<\ldots<r_{n+1}$ and $b_j$ is $\mathcal{F}{r{j-1}}$ measurable bounded random variable, $1 \leq j \leq(n+1)$, and $b_0$ is bounded $\mathcal{F}0$ measurable and $f=g$, then $\int f d W=$ $\int y d W$, i.e. \begin{aligned} \sum{j=0}^m a_{j+1}(\omega) &\left(W_{s_{j+1} \wedge t}(\omega)-W_{s_j \wedge t}(\omega)\right) \ =& \sum_{j=0}^n b_{j+1}(\omega)\left(W_{r_{j+1} \wedge t}(\omega)-W_{r j \wedge t}(\omega)\right) \end{aligned}
By definition, $X$ is a continuous adapted process. We will denote $X_t$ as $\int_0^t f d W$.

随机微积分代考

经济代写|随机微积分代写随机微积分代考|利维的布朗运动的表征

$$\left{W_t-W_s: t \geq s\right} \text { is independent of } \mathcal{F}s \text {. }$$由此得出，对于一维的维纳鞅$\left(W_t, \mathcal{F}_t\right){{t \geq 0}} M_t=W_t^2-t$也是一个鞅w.r.t $\left(\mathcal{F}_t\right)$。Levy证明了如果$W$是任意连续过程，使得$W, M$和$(\mathcal{F}$都是)-鞅，那么$W$是一个布朗运动，(3.2.1)成立。今天的大多数证明都是用伊藤公式推导出来的。我们将利用鞅和停止时间的相互作用，对这一结果给出一个初步的证明。证明的动机来自于伊藤课堂笔记[25]中给出的证明，但同样的证明通过通过停止时间的划分而不是确定的划分被简化了。证明(3.2.1)等价于
$$W_t-W_s \text { is independent of } \mathcal{F}_s \text { for all } t \geq s \text {. }$$

\begin{aligned} \left|e^b-(1+b)\right| & \leq \frac{1}{2} e^{|b|}|b|^2 \ \left|e^{i a}-1\right| & \leq|a| \ \left|e^{i a}-\left(1+i a-\frac{1}{2} a^2\right)\right| & \leq \frac{1}{6}|a|^3 \end{aligned}

经济代写|随机微积分代写随机微积分代考|伊藤积分

$$f_s(\omega)=a_0(\omega) 1_{[0}}(s)+\sum_{j=0}^m a_{j+1}(\omega) 1_{(s j, s j+1]}(s)$$

有限元方法代写

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MATLAB代写

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